Przestrzeń metryczna - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Przestrzeń metryczna - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (163.4 KB)
1 strona
281Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: przestrzeń metryczna.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia Lista 1 (przestrzenie metryczne)

Zad 1. Sprawdzić, czy funkcja d : R× R→ R jest metryką na R, gdzie

a) d(x, y) = |x|+ |y|, b) d(x, y) = |x| · |y|, c) d(x, y) = |x− y|2.

Zad 2. Dla jakich odwzorowań f : X → R funkcja d : X ×X → R dana wzorem d(x, y) = |f(x)− f(y)| jest metryka w X? Zad 3. Sprawdzić, czy funkcja d : N × N → R dana wzorem d(m,n) =

∣∣ 1 m − 1

n

∣∣, m,n ∈ N, jest metryką w N. Jeśli tak, to jak wyglądają kule K1(1), K 1

2 (1) oraz K 1

2 (3) w tej metryce.

Zad 4. Pokazać, że jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to metrykami są również funkcje

d1(x, y) = a · d(x, y), a > 0, d2(x, y) = min{d(x, y), 1}, d3(x, y) = d(x, y)

1 + d(x, y) .

Pokazać, że metryki te wprowadzają na X tą samą rodzinę zbiorów otwartych, co wyjściowa metryka d.

Zad 5. Uzasadnić, że następujące funkcje na płaszczyźnie R2 są metrykami:

de(x, y) = √

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 (metryka euklidesowa),

dt(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2| (metryka taksówkowa), dm(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|} (metryka maximum), dw(x, y) =

√ |x1 − y1|+

√ |x2 − y2| (metryka „wklęsła”),

gdzie x = (x1, x2), y = (y1, y2). Wyznaczyć postać kul otwartych dla tych metryk oraz pokazać, że wprowadzają one na R2 tę samą rodzinę zbiorów otwartych.

Zad 6. Uzasadnić, że następujące funkcje są metrykami na płaszczyźnie R2. Są to odpowied- nio tzw. metryka studni oraz metryka rzeki :

ds(x, y) =

 de(x, y), gdy x, y leżą na tej samej prostej

przechodzącej przez punkt (0, 0), de(x, (0, 0)) + de(y, (0, 0)), w przeciwnym wypadku,

dr(x, y) =

{ |x2 − y2|, gdy x1 = y1 |x1 − y1|+ |x2|+ |y2|, w przeciwnym wypadku,

gdzie x = (x1, x2), y = (y1, y2) oraz de jest metryką euklidesową. Wyznaczyć postać kul otwartych oraz podać interpretacje „topologiczne” dla tych metryk.

Zad 7. Niech dd metryką dyskretną na prostej R. Pokazać, że funkcja

dg ( (x1, x2)(y1, y2)

) = |x1 − y1|+ dd(x2, y2)

jest metryką na płaszczyźnie R2 oraz wyznaczyć postać kul w tej metryce. Dlaczego można by ją nazwać metryką stoku górskiego?

Zad 8. Uogólnić powyższe zadanie, pokazując, że dla dowolnych dwóch przestrzeni me- trycznych (X1, d1), (X2, d2) na iloczynie kartezjańskim X1 ×X2 funkcja

d ( (x1, x2)(y1, y2)

) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2)

zadaje metrykę. Jak wyglądają kule w tej przestrzeni, jeśli X1 = X2 = R i d1 = d2 = de?

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome