Całki podwójne, krzywe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Całki podwójne, krzywe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (244.3 KB)
1 strona
415Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: całki podwójne, krzywe.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 2

Zad 1 (konstrukcja funkcji gładkiej o zwartym nośniku). Niech

fa,b(x) =

{ e−(x−a)

2 e−(x−b)

2 , x ∈ (a, b),

0, x /∈ (a, b).

a) Pokazać, że fa,b : R→ R jest funkcją gładką (klasy C∞), która jest dodatnia na przedziale (a, b) i zeruje się poza nim.

b) Pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje funkcja gładka g : R→ [0, 1] taka, że g(x) = 0 dla x ≤ 0 oraz g(x) = 1 dla x ≥ ε. Wskazówka: Położyć g(x) = ∫ x0 f0,ε(t) dt/ ∫ ε0 f0,ε(t) dt.

c) Dla a ∈ Rn zdefiniujmy funkcję g : Rn → R wzorem

g(x) = f−ε,ε(x1 − a1) · ... · f−ε,ε(xn − an).

Pokazać, że g jest funkcją gładką, dodatnią na prostopadłościanie

(a1 − ε, a1 + ε)× ...× (an − ε, an + ε)

i zerującą się poza nim.

d) Niech K ⊂ U , gdzie K jest zbiorem zwartym a U zbiorem otwartym w Rn. Pokazać, że istnieje nieujemna funkcja f : Rn → R dodatnia na K i zerująca się poza U .

e) Pokazać, że w podpunkcie d) funkcję f można wybrać tak, aby f : U → [0, 1] oraz f(x) = 1 dla x ∈ K. Wskazówka: Jeśli dla funkcji f z podpunktu d) mamy f(x) ≥ ε dla x ∈ K, rozważyć g ◦ f , gdzie g jest funkcją z podpunktu b).

Zad 2. Obliczyć całkę podwójną w prostokącie:

a)

∫∫ [0,2]×[0,6]

xy(x+y) dx dy, b)

∫∫ B

dx dy

(x+ y + 1)2 , gdzie B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 ≤ y ≤ 2},

c)

∫∫ [− √ π,0]×[0,π]

x cos(x2+y) dx dy, d)

∫∫ D

ex+y+1 dx dy, gdzie D = {(x, y) : |x|, |y| < 1},

Zad 3. Obliczyć całki podwójne ∫∫ G

f(x, y)dx dy w obszarze G ograniczonym przez krzywe

dane równaniami: f G f G

a) x+ y x = 0, y = 0, x+ y = 1 f) 3x2y y3 = x2, y = 1 b) (x+ y + 1)2 x = 0, x+ y = 1, x− y = 1 g) 1 y = 2

x dla x > 0, y = 2x, y = 2

x

c) xy x = 0, y = x2, y = 0, x = 1 h) 2x y = x2, y = x2 4 dla x ≥ 0, y = 1

d) x2 y2

xy = 1, x = 2, y = x i) 2x y2 = x+ 2, y = −x e) 1 y2 = x+ 4, y2 = −x+ 4 j) 2|x|y y = x2, y = 2 + |x|

Zad 4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi a) y = x2, y = x

2

4 , x = 2 c) y = sinx, y = cosx, x ∈ [ π 4 ,

5π 4 ] e) xy = 4, y = x, x = 4

b) y = lnx, y = x− 1, y = −1 d) y = x2, x2 + y2 = 2 dla y ≥ 0 f) xy = 1, xy = 8, y = x2, y = x28

Zad 5. Zamienić kolejność całkowania w całce iterowanej

a) ∫ 2 0

∫ x 0 f(x, y) dy dx c)

∫ 2 0

∫√8−y2 √ 2y

f(x, y) dx dy e) ∫ 1 0

∫ y2 y−1 f(x, y) dx dy

b) ∫ 1 0

∫ 2−x2 x

f(x, y) dy dx d) ∫ 0 −2

∫ 0 y2−4 f(x, y) dx dy f)

∫ 1 0

∫ 2−x x2

f(x, y) dy dx

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome