Ekonomia matematyczna pytania i odpowiedzi - Notatki - Ekonomia, Notatki'z Ekonomia. Cracow University of Economics

Ekonomia

Opis: Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu ekonomii: ekonomia matematyczna; pytania i odpowiedzi.
Showing pages  1  -  4  z  13
1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.
2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.
3. Podać określenie przestrzeni towarów.
4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.
5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.
6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.
7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.
8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.
9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.
10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.
11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.
12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów
n
RX
mogła
pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.
13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na
n
R
jest wklęsła na tym wzorze.
14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na
n
R
jest rosnąca na tym zbiorze.
15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.
16. Przyjmując, że
1
:R
n
Ru
to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej
użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.
17. Uzasadnić, że funkcja w postaci
xxu )(
jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest
tzw. Prawo Gossena.
18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym
koszyku dóbr.
19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym
koszyku dóbr.
20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności.
21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka,
” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).
22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxxi - yi dla i = 1, 2, ..., n spełnia
odpowiednie aksjomaty.
23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe
koszyków.
24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.
25. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.
26. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.
27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru
2
RM
, który jest domknięty i ograniczony.
28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru
2
RM
, który jest domknięty i nieograniczony.
29. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru
2
RM
, który jest otwarty i nieograniczony.
30. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru
2
RM
, który jest wypukły i nieograniczony.
31. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60), y
= (20, 50, 10).
32. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c),
(d, d)} jest zupełna i przechodnia.
33. Funkcja użyteczności ma postać:
4
)( xxu
. Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci:
.34)( xxg
34. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci:
3
3
2
2
1
)( xxxxu
znaleźć krańcowe
użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.
35. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.
36. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci:
dla koszyka
postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.
37. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.
38. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.
39. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru.
40. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.
41. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena.
42. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.
43. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.
44. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.
docsity.com
45. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.
46. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.
47. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.
48. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.
49. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji.
50. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.
51. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.
52. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.
53. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze
produkcji.
54. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.
55. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.
56. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem
technicznego uzbrojenia pracy.
57. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji produkcji postaci
zbkaxu )(
jest stała, równa
a
b
.
58. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji
produkcji.
59. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywnosść kapitału dla liniowej funkcji
produkcji.
60. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej
funkcji produkcji.
61. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji.
62. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie parametrów „” i „”.
63. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ + ”.
64. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy + = 1, a co gdy + < 1.
65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy
jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
66. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej efektywności
kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
67. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału.
68. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.
69. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji
technicznego uzbrojenia pracy.
70. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako
funkcji technicznego uzbrojenia pracy.
71. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.
72. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.
73. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności.
74. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to tzw.
niesubstytucyjna funkcja produkcji.
75. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:
- zbieżna do liniowej funkcji produkcji,
- zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa,
- zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa.
1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.
x = (x1, x2) X i y = (y1, y2) X d(x, y) = max xi yi
Odległość między koszykami wyrażona jest zawsze w tych samych jednostkach co towar, dlatego różnica
xi yi jest maksymalna.
2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.
Przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną, co oznacza, że spełnione są następujące trzy warunki:
a)
 
 
yxyxdyxd
Xyx
0),(0),(
,
b)
 
),(),( , xydyxdXyx
c)
 
),(),(),(
,,
yzdzxdyxd
Xzyx
3. Podać określenie przestrzeni towarów.
Przestrzenią towarów nazywamy zbiór
n
RX
dostępnych na rynku koszyków towarów z odległością
między koszykami zdefiniowaną wzorem d(x, y) = max xi yi (definicja z książki).
docsity.com
Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków dóbr z odległością między
koszykami
i
y
i
xyxd max),(
(definicja z zeszytu).
4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.
a) dodawanie
),...,
22
,
11
(n
y
n
xyxyxyx
b) mnożenie przez liczbę (skalar)
0
),...,
2
,
1
(
R
n
xxxx
5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.
Liniową kombinacją wypukłą dwóch koszyków
n
Ryx
,
nazywamy każdy koszyk z postaci
yxz
gdzie
.1 ,0,
czyli
) ,
,...,
2
2
,
1
1
(
n
y
n
x
yxyxZ
6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.
Zbiór
n
RM
nazywamy wypukłym, jeżeli wszystkie liniowe kombinacje wypukłe dowolnych dwóch
koszyków należących do zbioru M również należą do zbioru M, co zapisujemy:
Myx
Myx
1
0, ,
.
7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.
Relacją indyferencji konsumenta nazywamy zbiór I wszystkich par koszyków złożonych z koszyków
względem siebie obojętnych (indyferentnych), co zapisujemy:
 
yxXXyxI ~;),(
Własności powyższej relacji:
1)
xxXx ~
(zwrotność)
2)
xyyxXyx ~~ ,
(symetryczność)
8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.
Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór Ps wszystkich par koszyków takich, że pierwszy
koszyk w parze jest lepszy od drugiego koszyka w parze, co zapisujemy
 
yxXXyx
s
P;),(
9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.
Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk
towarów w parze jest słabo preferowany nad drugi koszyk w parze (jest nie gorszy od drugiego koszyka),
co zapisujemy:
yxXXyxP
~
;),(
Własności:
1)
xyyxXyx
~~
,
- zupełność
2)
zxzyyxXzyx
~~~
,,
- przechodniość (tranzytywność)
10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.
Obszarem obojętności względem danego koszyka
Xx
jest zbiór wszystkich koszyków należących do
przestrzeni towarów, które są indyferentne (obojętne) z koszykiem
Xx
, co zapisujemy:
 
yxXy
x
K~;
.
Jest to relacja równorzędności.
11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.
Koszyk
Mx
jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeśli jest on nie gorszy od każdego innego koszyka
z tego zbioru, co zapisujemy:
).(xxMx
(Jest on jedynym najlepszym koszykiem albo jest jednym z wielu).
12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów
n
RX
mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.
Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów
n
RX
funkcję
1
:R
n
Ru
spełniającą dla dowolnej pary koszyków
n
Ryx
,
warunki:
1)
yxyuxu ~)()(
docsity.com
2)
yxyuxu )()(
Funkcja użyteczności
u
wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków
towarów (bez względu na jego wymowę społeczną czy przyjęte normy).
13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na
n
R
jest wklęsła na tym wzorze.
Funkcję
1
:R
n
Ru
nazywamy wklęsłą na
n
R
, jeżeli
n
Ryx
, ,1 0 ,
spełniony jest warunek
).( )( ) ( yuxuyxu
14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na
n
R
jest rosnąca na tym zbiorze.
Funkcję
1
:R
n
Ru
nazywamy rosnącą na
n
R
, jeżeli
n
Ryx
,
prawdziwa jest implikacja:
).()()( yuxuyxyx
15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.
Warunek
)( yxyx
oznacza, że w koszyku x żadnego towaru nie ma mniej niż w koszyku y, a
przynajmniej jednego jest więcej. Możemy zatem powiedzieć, że jeżeli z relacją preferencji konsumenta P
związana jest rosnąca funkcja użyteczności, to jakikolwiek wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w
jakimkolwiek koszyku zwiększa użyteczność tego koszyka w oczach konsumenta (nowy koszyk x staje się
silnie preferowany nad koszyk y).
Mówimy w takim przypadku, że w polu preferencji konsumenta
),( P
n
R
występuje zjawisko niedosytu.
16. Przyjmując, że
1
R
n
R:u
to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej
użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.
Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku X (i = 1, 2, 3, ..., n) nazywamy pochodną cząstko
rzędu pierwszego
i
x
n
x
i
xxxu
i
x
n
x
i
x
i
xxxu
x
i
x
xu
),...,,...,
2
,
1
(
),...,
2
,...,
2
,
1
(
0
lim
)(
)(xfy
x
xfxxf
x
xf
)()
0
(
lim
0
)
0
(
)
,...,1
,
,...,,...,
1
,...,
2
,
1
()(
n
xi
x
i
x
i
xxxuxu
Interpretacja ekonomiczna:
Krańcowa użyteczność i-tego towaru informuje nas, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność koszyka
x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę przy czym ilości pozostałych towarów nie
ulegną zmianie.
17. Uzasadnić, że funkcja w postaci
xu(x)
jest przykładem funkcji użyteczności, dla której
spełnione jest tzw. Prawo Gossena.
Prawo Gossena: Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie.
Dowód:
xxu )(
pierwszy koszyk x = (2) < drugi koszyk x = (3)
32
1
2
1
)3(
22
1
2
1
2
1
2
1
)2(
x
i
x
u
x
x
i
x
u
18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w
danym koszyku dóbr.
docsity.com
The preview of this document ends here! Please or to read the full document or to download it.
Informacje o dokumencie
Uploaded by: Misio_88
wizyty: 1884
Pobrania : 2
Adres:
Uniwersytet: Cracow University of Economics
Subject: Ekonomia
Upload date: 07/03/2013
Embed this document:
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome