Ekonomia matematyczna pytania i odpowiedzi - Notatki - Ekonomia, Notatki'z Ekonomia. Cracow University of Economics

Ekonomia

Opis: Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu ekonomii: ekonomia matematyczna; pytania i odpowiedzi.
Showing pages  1  -  2  z  13
The preview of this document ends here! Please or to read the full document or to download it.
Informacje o dokumencie
Uploaded by: Misio_88
wizyty: 1000+
Pobrania : 2
Uniwersytet: Cracow University of Economics
Adres: Ekonomia
Subject: Ekonomia
Upload date: 07/03/2013
Embed this document:

1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr. 2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.

3. Podać określenie przestrzeni towarów. 4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.

5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków. 6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.

7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta. 8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.

9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta. 10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.

11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.

12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów nRX  mogła

pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.

13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na nR jest wklęsła na tym wzorze.

14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na nR jest rosnąca na tym zbiorze.

15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.

16. Przyjmując, że 1: RnRu  to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej

użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.

17. Uzasadnić, że funkcja w postaci xxu )( jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest

tzw. Prawo Gossena.

18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności. 21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka,

„” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).

22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxxi - yi dla i = 1, 2, ..., n spełnia

odpowiednie aksjomaty.

23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe koszyków.

24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta. 25. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.

26. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.

27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2 RM , który jest domknięty i ograniczony.

28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2 RM , który jest domknięty i nieograniczony.

29. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2 RM , który jest otwarty i nieograniczony.

30. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2 RM , który jest wypukły i nieograniczony.

31. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60), y

= (20, 50, 10). 32. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c),

(d, d)} jest zupełna i przechodnia.

33. Funkcja użyteczności ma postać: 4)( xxu  . Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci: .34)(  xxg

34. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci: 3 3 2

2 1)( xxxxu  znaleźć krańcowe

użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.

35. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.

36. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci: 32 2 1)( xxxu  dla koszyka

postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku. 37. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.

38. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.

39. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru. 40. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.

41. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena. 42. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.

43. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie. 44. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

docsity.com

45. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta. 46. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.

47. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji. 48. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.

49. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji. 50. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.

51. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów. 52. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.

53. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze produkcji.

54. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.

55. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy. 56. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem

technicznego uzbrojenia pracy. 57. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji produkcji postaci

zbkaxu )( jest stała, równa a

b .

58. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

59. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywnosść kapitału dla liniowej funkcji produkcji.

60. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej

funkcji produkcji. 61. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji.

62. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie parametrów „” i „”.

63. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ + ”.

64. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy  +  = 1, a co – gdy  +  < 1.

65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy

jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy. 66. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej efektywności

kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy. 67. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału.

68. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.

69. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

70. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

71. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy. 72. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.

73. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności. 74. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to tzw.

niesubstytucyjna funkcja produkcji.

75. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest: - zbieżna do liniowej funkcji produkcji,

- zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa, - zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa.

1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.

x = (x1, x2)  X i y = (y1, y2)  X d(x, y) = max xi – yi

Odległość między koszykami wyrażona jest zawsze w tych samych jednostkach co towar, dlatego różnica

 xi – yi jest maksymalna.

2. Podać określenie przestrzeni metrycznej. Przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną, co oznacza, że spełnione są następujące trzy warunki:

a)   yxyxdyxd

Xyx





0),(0),(

,

b)  ),(),( , xydyxdXyx 

c)  ),(),(),(

,,

yzdzxdyxd

Xzyx





3. Podać określenie przestrzeni towarów.

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór nRX  dostępnych na rynku koszyków towarów z odległością

między koszykami zdefiniowaną wzorem d(x, y) = max xi – yi (definicja z książki).

docsity.com

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków dóbr z odległością między

koszykami iyixyxd  max),( (definicja z zeszytu).

4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr. a) dodawanie ),...,22,11( nynxyxyxyx 

b) mnożenie przez liczbę (skalar) 0

),...,2,1(



 Rnxxxx

5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.

Liniową kombinacją wypukłą dwóch koszyków nRyx , nazywamy każdy koszyk z postaci

yxz   gdzie .1 ,0,   czyli ) ,

,...,2 2 ,1 1 (

nynx

yxyxZ







6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.

Zbiór nRM  nazywamy wypukłym, jeżeli wszystkie liniowe kombinacje wypukłe dowolnych dwóch

koszyków należących do zbioru M również należą do zbioru M, co zapisujemy: Myx

Myx





1

0, ,



 .

7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta. Relacją indyferencji konsumenta nazywamy zbiór I wszystkich par koszyków złożonych z koszyków

względem siebie obojętnych (indyferentnych), co zapisujemy:  yxXXyxI ~;),( 

Własności powyższej relacji:

1) xxXx ~  (zwrotność)

2) xyyxXyx ~~ ,  (symetryczność)

8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.

Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór Ps wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk w parze jest lepszy od drugiego koszyka w parze, co zapisujemy  yxXXyxsP ;),( 

9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta. Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk

towarów w parze jest słabo preferowany nad drugi koszyk w parze (jest nie gorszy od drugiego koszyka),

co zapisujemy:   

  

 yxXXyxP

~

;),( 

Własności:

1) xyyxXyx ~~

,   - zupełność

2) zxzyyxXzyx ~~~

,,   - przechodniość (tranzytywność)

10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.

Obszarem obojętności względem danego koszyka Xx  jest zbiór wszystkich koszyków należących do

przestrzeni towarów, które są indyferentne (obojętne) z koszykiem Xx  , co zapisujemy:  yxXyxK ~; .

Jest to relacja równorzędności.

11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.

Koszyk Mx  jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeśli jest on nie gorszy od każdego innego koszyka

z tego zbioru, co zapisujemy: ).( xxMx 

(Jest on jedynym najlepszym koszykiem albo jest jednym z wielu).

12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów

n RX  mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.

Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów nRX  funkcję 1

: R n

Ru 

spełniającą dla dowolnej pary koszyków nRyx , warunki:

1) yxyuxu ~)()( 

docsity.com

2) yxyuxu  )()(

Funkcja użyteczności u wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków

towarów (bez względu na jego wymowę społeczną czy przyjęte normy).

13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na nR jest wklęsła na tym wzorze.

Funkcję 1: RnRu  nazywamy wklęsłą na n

R , jeżeli n

Ryx  , ,1 0 ,  spełniony jest warunek

).( )( ) ( yuxuyxu  

14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na nR jest rosnąca na tym zbiorze.

Funkcję 1: RnRu  nazywamy rosnącą na n

R , jeżeli n

Ryx  , prawdziwa jest implikacja:

).()()( yuxuyxyx 

15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu. Warunek )( yxyx  oznacza, że w koszyku x żadnego towaru nie ma mniej niż w koszyku y, a

przynajmniej jednego jest więcej. Możemy zatem powiedzieć, że jeżeli z relacją preferencji konsumenta P związana jest rosnąca funkcja użyteczności, to jakikolwiek wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w

jakimkolwiek koszyku zwiększa użyteczność tego koszyka w oczach konsumenta (nowy koszyk x staje się silnie preferowany nad koszyk y).

Mówimy w takim przypadku, że w polu preferencji konsumenta ),( PnR występuje zjawisko niedosytu.

16. Przyjmując, że 1RnR:u  to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej

użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną. Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku X (i = 1, 2, 3, ..., n) nazywamy pochodną cząstkową

rzędu pierwszego

ix

nxixxxu

ix

nxixixxxu

x

ix

xu

 

 





 

),...,,...,2,1(

),..., 2

,...,2,1(

0

lim

)(

)(xfy

x

xfxxf

x

xf





 )()0(

lim

0

)0(

),...,1,

,...,,...,1,...,2,1()(

nxi x

ixixxxuxu



Interpretacja ekonomiczna: Krańcowa użyteczność i-tego towaru informuje nas, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność koszyka

x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę przy czym ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie.

17. Uzasadnić, że funkcja w postaci xu(x) jest przykładem funkcji użyteczności, dla której

spełnione jest tzw. Prawo Gossena.

Prawo Gossena: Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie.

Dowód: xxu )( pierwszy koszyk x = (2) < drugi koszyk x = (3)

32

1

2

1

)3(

22

1

2

1

2

1

2

1

)2(

 

 

 

 

xix

u

x

x

ix

u

18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

docsity.com

Krańcową stopą substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:

. 0x

lim-

)(

i i x

jx

ix

jx xjis

 

 

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa stopa substytucji )( xs ji pokazuje, o ile (w przybliżeniu) powinna zwiększyć się ilość j-tego

towaru przy zmniejszeniu o jednostkę i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty

w danym koszyku dóbr.

Elastycznością substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie:

. /

/

0 lim

)(

ixix

jxjx

x

jx

ix

ix

jx xij

i

 

 

 

Interpretacja ekonomiczna:

Elastyczność substytucji )(xij pokazuje, o ile procent powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy

zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją

użyteczności.

Taką funkcją jest xxu )( gdyż:

xxu )( i druga funkcja użyteczności np.: 53)(  xxg

53

]53[)]([))((





x

xuxguxgu

53

][)]([))((





x

xgxugxug

21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e”

litrów mleka, „” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).

x = (2, e, ) y = (7/3, 5/2, 3)

2 – 7/3 = 1/3 = max

e – 5/2 = 2,71 – 2,5 = 0,21

 - 3 = 3,14 - 3 = 0,14

22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxxi - yi dla i = 1, 2, ..., n spełnia

odpowiednie aksjomaty.

a) 0),( ,  yxdiyix spełnione, gdyż 0 iyix dla dowolnych yx

yxiyix



 00y-x ,

b) ),(),( , xydyxdyx  - symetria

),(

11

)()1(),(

xyd

xyxyxy

xyyxyxd





c) ),(),(),( ,, zydzxdyxdzyx  - nierówność trójkąta

yzzxyx 

yz

zxyzzxyx



 ()(

23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe koszyków.

x = (3, 4) y = (2, 5) 0 , 1 y x  Z

Z = 1/3(3, 4) + 2/3(2, 5) = (1, 4/3) + (4/3, 10/3)

docsity.com

Z = (7/3, 14/3) – kombinacja wypukła

24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta. Własności:

1) xxXx ~  (zwrotność)

2) xyyxXyx ~~ ,  (symetryczność)

25. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta. Własności:

1) xyyxXyx ~~

,   - zupełność

2) zxzyyxXzyx ~~~

,,   - przechodniość (tranzytywność)

26. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła. Własności:

1) y yx y)xy ,(x

,

  

 Xyx

2) y yx

y)xy,~(x ,

 

 Xyx 3)

x yx y)xy ,~(x

,

 

 Xyx

27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2RM  , który jest domknięty i ograniczony.

}1120)2,1{(  xxxxA

28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2RM  , który jest domknięty i nieograniczony.

}1120)2,1{(  xxxxB

29. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2RM  , który jest otwarty i nieograniczony.

30. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 2RM  , który jest wypukły i nieograniczony.

31. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60), y = (20, 50, 10).

x = (5, 20, 60) y = (20, 50, 10) z = (11, 36, 38)

Równanie odcinka: pqtrp  

yx  =[20-5, 50-20, 10-60]

yx  =[15, 30, -50]

zx  =[11-5, 36-20, 38-60]

zx  =[6, 16, -22]

[6, 16, -22] = t · [15, 30, -50]

9 = t · 15  t = 6/15

16 = t · 30  t = 16/30

-22 = t · (-50)  t = 22/50

t1  t2  t3

Koszyk „z” nie należy do odcinka

32. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c), (d, d)} jest zupełna i przechodnia.

a) nie jest zupełna

b) jest przechodnia ponieważ, np. (a, a)  (b, b)  (a, b)

33. Funkcja użyteczności ma postać: 4 xu(x). Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci: 3.4xg(x) 

4xu(x) 34xg(x) 

docsity.com

4 34

]34[)]([))((





x

xuxguxgu

344

]4[)]([))((





x

xgxugxug

34. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci: 3x 3 2x

2 1xu(x)  znaleźć

krańcowe użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.

x = (2, 3, 4) 3x 3 2x

2 1xu(x) 

3 3 21

2

)( xxx

ix

xu 

432

4 2

33 2

23 2 23

2 1

2

)(

 

xx

x

xu

43243322 1

)4,3,2( 

x

u

Użyteczność krańcowa dla pierwszego i drugiego towaru jest jednakowa.

35. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności. Pochodna cząstkowa drugiego rzędu informuje, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność krańcowa i-

tego towaru, jeżeli ilość j-tego towaru w koszyku x wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie).

36. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci: 32x 2 1xu(x)  dla

koszyka postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.

37. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr. Linią (płaszczyzną) budżetową nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga

wydania całego dochodu, tj. zbiór  ., IxpnRx  38. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.

Krańcowa użyteczność dochodu informuje, o ile wzrośnie użyteczność optymalnego koszyka, gdy dochód

konsumenta wzrośnie o jednostkę.

39. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru.

W przybliżeniu popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile jednostek zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a pozostałe ceny

i dochód konsumenta nie ulegną zmianie). Obrazowo możemy też powiedzieć, że pochodna ta pokazuje, z jaką prędkością zmienia się popyt na i-ty towar pod wpływem zmian ceny j-tego towaru.

40. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.

Elastyczność popytu na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jeden procent (a pozostałe ceny i dochód

konsumenta nie ulegną zmianie).

41. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena. Towar nazywamy normalnym, jeżeli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny.

Towar nazywamy towarem Giffena, jeżeli popyt na ten towar rośnie wraz ze wzrostem jego ceny.

42. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.

Towar i-ty nazywamy substytucyjnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty.

43. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.

Towar i-ty nazywamy komplementarnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje spadek popytu na towar i-ty.

44. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta. Popyt krańcowy informuje, o ile (jednostek) zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli dochód konsumenta

wzrośnie o jednostkę pieniężną (a ceny pozostaną niezmienione).

docsity.com

45. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

Elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta informuje, o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście dochodu o 1%.

46. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.

Towarem wyższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zwiększa popyt, gdy wzrasta jego dochód.

Towarem niższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego dochód.

47. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.

Skalarną funkcją produkcji nazywamy funkcję 1:  R k

Rf , która każdemu wektorowi nakładów

0),...,1(  kxxx podporządkowuje maksymalną wielkość produkcji danego produktu y = f(x), możliwą do

uzyskania z wektora x.

48. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.

1) Funkcja 1:  R k

Rf jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na int kR .

2) Zerowym nakładom odpowiada zerowy wynik produkcji: 0)0,...,0( f

3) Funkcja 1:  R k

Rf jest rosnąca na int kR , tzn.

) 2

() 1

(

21 x

2 ,

1

xfxf

x k

Rxx





4) Funkcja 1:  R k

Rf jest wklęsła na int kR , tzn.

). 2

( ) 1

( ) 2

1

(

:1 0, , 2

, 1

xfxfxxf

k Rxx









5) Funkcja 1:  R k

Rf jest dodatnio jednorodna stopnia ,0 tzn.

).( ),...,1() (

0 ,

xfkxxfxf

k Rx

 





49. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji. Krańcową produktywność i-tego czynnika pokazuje, o ile wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika

wzrośnie o jednostkę, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie. Należy podkreślić,

że jeżeli funkcja produkcji jest silnie wklęsła, to krańcowa produktywność każdego czynnika produkcji maleje ze wzrostem tego czynnika.

50. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.

Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną

zmianie.

51. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.

Elastyczność produkcji względem skali nakładów pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wszystkie czynniki produkcji wzrosną o 1 %.

52. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.

Izokwantą produkcji na poziomie 00 y nazywamy zbiór G wszystkich wektorów nakładów x, którym

odpowiada ten sam poziom produkcji 0y , co zapisujemy :  .0)( ; yxfkRxG 

53. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze produkcji.

Krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika pokazuje, o ile jednostek należy w wektorze nakładów x

zwiększyć ilość j-tego czynnika, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.

54. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.

docsity.com

Elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty czynnik pokazuje, o ile procent należy w wektorze nakładów x zwiększyć ilość j-tego czynnika, gdy nakład i-tego czynnika zmniejszył się o 1%, aby poziom

produkcji nie uległ zmianie.

55. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.

Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy wyrażenie: z

k u  , .0 , 0  zk

Techniczne uzbrojenie pracy określa liczbę jednostek kapitału przypadających na jednostkę pracy.

56. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał)

względem technicznego uzbrojenia pracy. Elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy

informuje, o ile procent zmieni się krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał, gdy techniczne

uzbrojenie pracy wzrośnie o 1%.

57. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji

produkcji postaci zbkau(x)  jest stała, równa a

b .

Oznacza to, że niezależnie od tego czy mamy duże zasoby pracy i małe zasoby kapitału, czy na odwrót, to

zawsze potrzeba tyle samo kapitału do zastąpienia jednostki pracy w celu utrzymania produkcji na niezmienionym poziomie. Z tego względu mówimy, że liniowa funkcja produkcji cechuje się doskonałą

substytucyjnością nakładów.

58. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku

liniowej funkcji produkcji. Zależność przeciętnej wydajności pracy od technicznego uzbrojenia pracy:

bau

b z

k a

z

bzak

z

y uw



 

)(

59. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału dla liniowej

funkcji produkcji. 60. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku

liniowej funkcji produkcji. Zależność przeciętnej efektywności kapitału od technicznego uzbrojenia pracy:

u

b a

k

z ba

k

bzak

k

y ue



 

)(

61. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji. 62. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie

parametrów „” i „”.

Funkcją produkcji Cobba-Douglasa nazywamy funkcję 12:  RRf postaci ,),(  zakzkfy  .0,, a

α – elastyczność produkcji względem kapitału, β – elastyczność produkcji względem zatrudnienia.

63. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ + ”.

Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że 0),(  zk i 0 zachodzi:

).,(

)()(),(

zkfzak

zkzkf









Jeżeli 1  , to podstawiając 10 ,1 ,   , możemy otrzymać funkcję produkcji Cobba-

Douglasa postaci:   1zaky . Funkcja jest wtedy dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, co oznacza,

że 0),(  zk  - krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny  - krotny wzrost produkcji.

64. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy + = 1, a co – gdy + < 1. 1  oznacza, że  - krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny  - krotny wzrost

produkcji.

docsity.com

1  oznacza, że  - krotny wzrost kapitału i pracy powoduje mniej niż proporcjonalny wzrost

produkcji.

65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

10 ,

1

)(





  

  

 



au

z

k a

z

zak

z

y uw

66. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej

efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

10 ,1

1 11

1 )(



 

  

 

 





 



au

z

k azak

k

zak

k

y ue

67. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału.

68. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.

Funkcją produkcji CES nazywamy funkcję 1int2int:  RRf postaci:

,(), 

    

    bzakzkfy gdzie .0 ,1 ,0,  ba

Parametr  jest stopniem jednorodności funkcji, natomiast 1 przedstawia elastyczność krańcowej

stopy substytucji pracy przez kapitał f zk  względem technicznego uzbrojenia pracy.

69. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy

jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy. Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

,

1 1

1

)(

 



  

   

 

 

 

  

 

  

baub z

k a

z

bzak

z

y uw

70. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

,

1

1

)(





  

   

   

   



bua

k

bzak

k

y ue

71. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.

Krańcowa wydajność pracy:

docsity.com

1 1

)(

1 1

 



 

 

   

 



 

 



bzbzak

bzbzak z

y

72. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.

Krańcowa efektywność kapitału:

1 1

)(

1 1

 



 

 

   

 



 

 



akbzak

akbzak k

y

73. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności. Stopień jednorodności:

),(

)(

)()(),(

zkfbzak

bzak

zbkazkf

 

 

 

 

 







  

 

  

 

  

 

funkcja produkcji CES jest więc dodatnio jednorodna stopnia .

74. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to

tzw. niesubstytucyjna funkcja produkcji.

Funkcją produkcji Koopmansa-Leontiefa nazywamy funkcję 12:  RRf postaci: ,,min),(   

  

 

zk zkfy gdzie

0 oznacza współczynnik kapitałochłonności przedstawiający niezbędny nakład kapitału na wytworzenie

jednostki produkcji 0 a - współczynnik pracochłonności opisujący nakład pracy niezbędny do

wytworzenia jednostki produkcji.

Funkcja produkcji Koopmansa-Leontiefa jest przykładem niesubstytucyjnej funkcji produkcji. Jej

konstrukcja opiera się na dwóch założeniach: a) nie jest możliwa substytucja czynników produkcji,

b) nakłady czynników produkcji niezbędne do uzyskania określonej wielkości produkcji rosną liniowo (proporcjonalnie) z wielkością produkcji.

Zgodnie z tymi założeniami, jeżeli np. do wytworzenia jednostki produkcji niezbędne są dwie jednostki kapitału i trzy jednostki pracy, to do wytworzenia dwóch jednostek produkcji potrzeba czterech jednostek

kapitału i sześć jednostek pracy. Zwiększenie nakładów tylko jednego z czynników produkcji nie

spowoduje zwiększenia produkcji, gdyż ograniczać ją będzie ten czynnik produkcji, którego ilość nie uległa zmianie.

75. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:

- zbieżna do liniowej funkcji produkcji, Funkcja produkcji CES, dodatnio jednorodna stopnia pierwszego przy 1 , jest zbieżna do liniowej

funkcji produkcji, tzn.

bzak

bzakzk





   

  

1

1

lim 0),(

- zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa, Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego jest przy 0 zbieżna do funkcji

produkcji Cobba-Douglasa dodatnio jednorodnej stopnia pierwszego, tzn.:

docsity.com



 



  

  1

1

0

lim

0),( 0 )1,0(

zAkbzak

zkA

- zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa. Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, jest przy  zbieżna do funkcji

produkcji Koopmansa-Leontiefa tzn. .,min

1

lim

0),( 0),(

 

  

   

 





  



zk bzak

zk

docsity.com

docsity.com

Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome