Obszar zbieżności szeregu potęgowego - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Obszar zbieżności szeregu potęgowego - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (116.7 KB)
3 strony
492Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: obszar zbieżności szeregu potęgowego.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Obszar zbieżności szeregu potęgowego

Rozważmy szereg postaci  

0n

n n xa . Niech R będzie promieniem zbieżności tego szeregu.

Wówczas

1

lim 

 

n

n

n a aR

Poniżej podamy kilka przykładów. Rachunki wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus. Przykład 1. Podać obszar zbieżności szeregu

 

 2 3 1n

nx n

n

Mamy tutaj 13 

n

nan oraz

Wobec tego 1R , czyli dany szereg jest zbieżny dla )1,1(x . Przykład 2. Podać obszar zbieżności szeregu

 

1

4

n

nxen

Mamy tutaj 4nean  oraz

Wobec tego 41 eR , czyli dany szereg jest zbieżny dla ),( 4141  eex .

Przykład 3. Podać obszar zbieżności szeregu

 

1

4

! 4

n

n n

x n n

Mamy tutaj !

4 4

n na

n

n  oraz

Wobec tego R , czyli dany szereg jest zbieżny dla ),( x . Przykład 4. Podać obszar zbieżności szeregu

 



1

1)1( n

n n

x nn

Mamy tutaj nn

a n

n

1)1(   oraz

Wobec tego 1R , czyli dany szereg jest zbieżny dla )1,1(x . Przykład 5. Podać obszar zbieżności szeregu

 

1

2 ln n

n xn

Mamy tutaj  

1

2

n

ntn , gdzie xt ln oraz

Wobec tego 1R , czyli dany szereg jest zbieżny dla )1,1(t , czyli dla x, które spełnia nierówność podwójną 1ln1  x .

Ostatecznie stwierdzamy, że dany szereg jest zbieżny dla  eex ,1 . Przykład 5. Podać obszar zbieżności szeregu

 

   

    

1 1 1

3 1

n

n

n x x

Mamy tutaj  

1 3 1

n

n n t , gdzie 1

1  

x xt .

Zauważmy, że  

   

  

11 33 1

n

n

n

n n

tt , a więc dany szereg jest szeregiem geometrycznym i nieskończo-

nym. Będzie on zbieżny dla 1q , czyli dla 1 3 

t , a więc dla )3,3(t . Pozostaje rozwiązać

nierówność podwójną 3 1 13   

 x x .

Ostatecznie stwierdzamy, że dany szereg jest zbieżny dla    

    ,2

2 1,x .

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome