Topologia, ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Topologia, ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (134.7 KB)
1 strona
506Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: topologia, ciągłość funkcji.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 5 (topologia, ci¡gªo±¢ funkcji)

Zad 1. Opisa¢ topologi¦ oraz rodzin¦ zbiorów domkni¦tych w przestrzeni z metryk¡ dyskretn¡.

Zad 2. Które z podanych rodzin stanowi¡ topologi¦ na zbiorze X = {a, b, c}: a) {{a}, {a, b}, {a, b, c}}, c) {∅, {a}, {b}, X}, b) {∅, {a}, {b, c}, X}, d) {∅, {a, b}, {b, c}, X}. Zad 3. Pokaza¢, »e w ka»dej przestrzeni topologicznej metryzowalnej (to jest takiej, w której topologia pochodzi od metryki)

a) zbiór jednoelementowy jest domkni¦ty,

b) speªniony jest warunek Hausdora.

Zad 4. Sprawdzi¢, które z danych rodzin s¡ topologiami na N:

F1 = {{1, 2, 3, ..., n} : n ∈ N} ∪ {∅,N}, F2 = {{1, 3, 5, ..., 2n− 1} : n ∈ N} ∪ {∅,N}, F3 = {A ⊂ N : A jest zbiorem sko«czonym lub A = N} , F4 = {A ⊂ N : N \ A jest zbiorem sko«czonym lub A = ∅}

Dla rodzin b¦d¡cych topologiami wyznaczy¢ rodziny zbiorów domkni¦tych i sprawdzi¢, czy s¡ to speªniaj¡ one aksjomaty oddzielania T1, T2.

1

Zad 5. Niech f : X → Y b¦dzie odwzorowaniem, gdzie X jest zbiorem a (Y, τ) przestrzeni¡ topologiczn¡. Czy rodzina τf = {f−1(U) : U ∈ τ} jest topologi¡ na X? Zad 6. Sprawdzi¢, »e je»eli (X, τ) jest przestrzeni¡ topologiczn¡ i A ⊂ X, to para (A, τA), gdzie τA = {U ∩ A : U ∈ τ} jest przestrzeni¡ topologiczn¡. Zad 7. Poda¢ przykªad funkcji na prostej euklidesowej, która jest ci¡gªa tylko w jednym punkcie.

Zad 8. Poda¢ przykªad funkcji na prostej euklidesowej, ci¡gªej tylko w liczbach niewymiernych.

Zad 9. Niech (X, dX), (Y, dY ) b¦d¡ przestrzeniami metrycznymi. Wykaza¢, »e odwzorowanie f : X → Y jest

a) ci¡gªe w punkcie x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego otwartego otoczenia V punktu f(x0) istnieje otwarte otoczenie U punktu x0 takie, »e U ⊂ f−1(V ).

b) ci¡gªe w ka»dym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego zbioru otwartego V ⊂ Y zbiór f−1(V ) jest otwarty.

Zad 10. Niech Y = {1, 2} b¦dzie wyposa»ony w topologi¦ dyskretn¡ i niech F b¦dzie funkcj¡ dan¡ przez diagram

3 q

z

X Y F

qcqb qa

q 2

q1

Wyznaczy¢ wszystkie topologi¦ na X = {a, b, c}, dla których F jest odwzorowaniem ci¡gªym. Zad 11. Niech X, Y b¦d¡ przestrzeniami topologicznymi. Wyznaczy¢ wszystkie odwzorowania ci¡gªe f : X → Y , gdy

a) X jest wyposa»ony w topologi¦ dyskretn¡,

b) Y jest wyposa»ony w topologi¦ antydyskretn¡.

Zad 12. Pokaza¢, »e zbiór punktów staªych ci¡gªego odwzorowania f : X → X przestrzeni Hausdora X jest zbiorem domkni¦tym.

1Litera T pochodzi od niemieckiego sªowa Trennung (oddzielanie)

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome