Iloczyny zewnętrzne, ortogonalność - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Iloczyny zewnętrzne, ortogonalność - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (177.1 KB)
1 strona
301Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: iloczyny zewnętrzne, ortogonalność.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 6

Zad 1. Jaki warunek muszą spełniać współczynniki liczby aij, i, j = 1, ..., n, aby funkcja f : Rn × Rn dana wzorem f(x, y) =

∑n i,j=1 aijxiyj była dwuliniową formą antysymetryczną?

Zad 2. Wykazać, że na to, by forma k-liniowa A była antysymetryczna wystarcza, by przy każdym i = 1, ..., k − 1 z tego, że h(i) = h(i+1) wynikało, że A(h(1), ..., h(k)) = 0

Zad 3. Obliczyć iloczyn zewnętrzny α ∧ β, gdzie

a) α = 2dx1 ∧ dx3 − dx2 ∧ dx3, β = dx1 − 3dx2 + 2dx3 + dx4,

b) α = 2dx2 ∧ dx3, β = dx2 ∧ dx1 + 2dx3 ∧ dx4, c) α = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4, β = α.

Zad 4. Wykazać, że

a) Jeśli α ∈ ∧k V ∗, ω ∈ V ∗ i β = α ∧ ω, to ω ∧ β = 0.

b) Jeśli β ∈ ∧k+1 V ∗ oraz 0 6= ω ∈ V ∗ są takie, że β ∧ ω = 0, to istnieje α ∈ ∧k V ∗ taka, że

β = α ∧ ω.

Zad 5. Niech α = ϕ1 ∧ ϕ2 + ϕ3 ∧ ϕ4 + ... + ϕ2n−1 ∧ ϕ2n, gdzie ϕ1, ...ϕ2n ∈ V ∗ są liniowo niezależne. Obliczyć

α∧n = α ∧ α ∧ ... ∧ α︸ ︷︷ ︸ n razy

.

Zad 6. Niech {e1, ..., en} będzie bazą ortonormalną w Rn. Pokazać, że istnieje jedyna forma ω ∈

∧n(Rn∗) taka, że ω(e1, ..., en) = 1 (forma objętości). a) Wykazać, że jeżeli {f1, ..., fn} jest inną bazą ortonormalną, to ω(f1, ..., fn) = ±1, przy

czym znak + jest w przypadku bazy zgodnie zorientowanej z bazą {e1, ..., en}, znak −, gdy orientacje są przeciwne

b) Udowodnić, że jeżeli v1, ..., vn ∈ Rn, to

|ω(v1, ..., vn)| = √

det(gij)

gdzie gij = 〈vi|vj〉.

c) Dla n = 3 wyprowadzić, że

|ω(v, w)| = √ ‖v‖2‖w‖2 − 〈v|w〉2 = |v × w|.

Zad 7. Wyznaczyć T ∗ω, jeśli

a) T : R1 3 x→ (y1, y2, y3) = (x, x3, cosx) ∈ R3, 2 ω (y) = y1e

(−y2−y23) dy1 ∧ dy3.

b) T : R2 3 (x1, x2)→ (y1, y2, y3) = (1, 2x1x2 , x1x2) ∈ R3, 2 ω (y) = y2 dy2 ∧ dy3 + dy1 ∧ dy3.

c) T : R3 3 (x1, x2, x3)→ (x1 + x2 + x3 + 2) ∈ R1, 1 ω (y) = (1 + y2) dy.

d) T : Rn 3 x→ Ax+ x0, gdzie A jest niesobliwą macierzą n× n, k ω (x) = f(x) dxi1 ∧ ... ∧ dxik , gdzie f ∈ Cn(Rn,R).

e) T : (0,∞)× (0, 2π) 3 (r, ϕ)→ (x, y) = (r cosϕ, r sinϕ) ∈ R2 \ [0,∞)× {0}, 1 ω (x, y) = y

x2+y2 dx− x

x2+y2 dy.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome