Potencjały, pola wektorowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Potencjały, pola wektorowe - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (166.2 KB)
1 strona
440Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: potencjały, pola wektorowe.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 9

Zad 1. Obliczyć całkę z formy 1 x2+y2

(xdy− ydx) po okręgu o promieniu r i środku a) w zerze, b) w punkcie (r, r).

Zad 2. Obliczyć całkę z formy xdx+ydy x2+y2

wzdłuż drogi łączej punkt (1, 0) z punktem (6, 8) nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Zad 3. Obliczyć pracę jaką trzeba wykonać, aby pokonać pole sił ( x (x−y)2 ,

−y (x−y)2 ) przenosząc

punkt materialny z (1, 0) do (2, 1) po dordze nie przecinającej y = x.

Zad 4. Obliczyć pracę jaką wykona punkt materialny pokonująć siły pola ~F = ( x x+y+z

, y x+y+z

, z x+y+z

)

wzdłuż drogi łączącej (1, 0, 0) i (0, 0, e) i nie przecinającej płaszczyzny x+ y + z = 0.

Zad 5. Obliczyć: a) div(grad Φ), gdzie Φ : Rn ⊃ U → R; b) rot(rot(~a×~v)), gdzie ~v = (x, y, z), ~a = const ∈ R3; c) div(~u× ~v).

Zad 6. Przyjmijmy dla funkcji Φ : U → R i pola wektorowego ~F = (F1, F2, F3) : U → R3, gdzie U ⊂ R3, następujące oznaczenia

0 ωΦ= Φ,

1 ω ~F= F1dx+F2dy+F3dz,

2 ω ~F= F1 dx∧dy+F2 dz∧dy+F3 dy∧dz,

3 ωΦ= Φdx∧dy∧dz.

a) Wykazać, że d 0 ωΦ=

1 ωgrad Φ, d

1 ω ~F=

2 ωrot ~F , d

2 ω ~F=

3 ωdiv ~F .

b) Wyciągnąć stąd wniosek, że rot(grad Φ)) = 0 oraz div(rot ~Φ)) = 0, tzn. pole będące gradientem funkcji jest bezwirowe, a pole będące roatacją pewnego pola jest bezźródłowe.

c) Na odwrót jeśli, U jest zbiorem jednospójnym, oraz ~G : U → R3 polem wektorowym, to

• rot(~G) = 0 =⇒ ~G = grad Φ dla pewnej funkcji Φ : U → R zwanej potencjałem skalarnym pola ~G, oraz

• div(~G) = 0 =⇒ ~G = rot ~F dla pewnego pola ~F : U → R3 zwanego potencjałem wektorowym pola ~G.

Zad 7. Zbadać istnienie potencjałów skalarnych lub wektorowych dla pól wektorowych. W przypadkach, gdy odpowiedź jest pozytywna podać potencjały.

a) ~F (x, y, z) = (x2 − 2yz, y2 − 2xz, z2 − 2xy), (x, y, z) ∈ R3.

b) ~F (x, y, z) = (x2, y2,−2(x+ y)z), (x, y, z) ∈ R3.

c) ~F (x, y, z) = (1− 1 y − 1

z , x z

+ x y2 , −xy

z2 ), (x, y, z) ∈ R3 \ {0}.

d) ~F (x, y, z) = (yz, zx, xy), (x, y, z) ∈ R3.

e) ~F (x, y, z) = 1 (x+y)2+z2

(x+ y − z, x+ y − z, x+ y + z) dla (x+ y)2 + z2 6= 0.

f) ~F (x, y, z) = 1 r3

(x, y, z), r = √ x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3 \ {0}.

g) ~F (x, y, z) = ( 1 x+y

+ 1, 1 x+y

, 1), x+ y 6= 0.

Zad 8. Dana jest forma α = ydx− xdy + dz na R3 i funkcje u, v : R3 → R. Pokazać, że jeśli d(α− vdu) = 0, to u i v nie zależą od z.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome