Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin
bobby_m
bobby_m8 March 2013

Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin

PDF (409.2 KB)
14 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z dziedziny matematyki: funkcje zmiennej zespolonej.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 14
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

MiNI - zbiór zadań

(wybór i opracowanie zadań – Agnieszka Badeńska)

docsity.com

Spis treści

I. Liczby zespolone – dzia lania i w lasności 3

II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzność 5

III. Funkcje elementarne 7

IV. Szeregi zespolone 9

V. Odwzorowania konforemne 12

VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wzór ca lkowy Cauchy’ego 14

VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych 16

VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana 18

IX. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum 20

X. Funkcje harmoniczne 21

Materia l dodatkowy:

XI. Funkcje specjalne Eulera 22

XII. Transformata Fouriera 24

XIII. Transformata Laplace’a 26

2

docsity.com

I. Liczby zespolone – dzia lania i w lasności

1. Wykonać nast ↪epuj ↪ace dzia lania na liczbach zespolonych:

(a) 3 + 2i

5− i

(b)

( 2 + i

3 + i

) (5− 2i) + (8− i) (2 + 3i)

(c) (4 + i) (1− i) (3 + 2i)

(d) (1 + i)3

(1− i)7

(e) (1− i)5 − 1 (1 + i)5 + 1

2. Poniższe liczby zespolone sprowadzić do postaci trygonometrycznej:

(a) 2 + 2i

(b) √

3− i (c) −2i

(d) 1− i

1 + i √

3

3. Korzystaj ↪ac ze wzorów de Moivre’a obliczyć:

(a) (−1 + i √

3)30 , (1 + i)2005 ,

( − √

3

2 +

i

2

)2004

(b) (−2 + i2

√ 3)16

(1 + i √

3)7 ,

(1 + i)80

( √

3 + i)18 +

(1− i)80

( √

3− i)18

(c) in , (1 + i)n , (1 + i)n

(1− i)n−2 , dla n ∈ N

(d) 4 √ −16 , 3

√ −i , 6

√ 1 , 6

√ 1− i√ 3 + i

, 8

√ 1 + i√ 3− i

4. Obliczyć:

(a) √ −8 + 6i

(b) √

3− 4i (c)

√ −11 + 60i

5. Rozwi ↪azać w dziedzinie zespolonej równania:

(a) z3 = 8i

(b) z4 = 16

(c) z6 + 64 = 0

3

docsity.com

(d) (1− i)4z4 = −1 (e) |z| − z = 1 + 2i (f) z2 − 2z + 5 = 0 (g) z2 − (2 + i)z + (−1 + 7i) = 0 (h) zz̄ + (z − z̄) = 3 + 2i (i) i(z + z̄) + i(z − z̄) = 2i− 3 (j) (z̄z)2 − z2 + z̄2 − 1 = 0 (k) z7 − z4i + z3 − i = 0 (l) z6 − z4 + 4z2 − 4 = 0

6. Niech z0 ∈ C b ↪edzie pierwiastkiem wielomianu o wspó lczynnikach rzeczywistych. Po- kazać, że z̄0 jest także pierwiastkiem tego wielomianu.

7. Znaleźć pozosta le pierwiastki wielomianu W (z) = z4 − 4z3 + 4z2 + 4z − 5 wiedz ↪ac, że z0 = 2− i jest pierwiastkiem tego wielomnianu.

8. Udowodnić, że:

(a) 1

x + iy =

x− iy x2 + y2

dla (x, y) ∈ R2 \ (0, 0)

(b) |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2|z1|2 + 2|z2|2 dla z1, z2 ∈ C

9. Funkcje sin(6x) oraz cos(5x) wyrazić za pomoc ↪a funkcji sinx i cosx (korzystaj ↪ac z dwumianu Newtona i wzoru de Moivre’a).

10. Udowodnić poniższe tożsamości dla n ∈ N \ {0}:

(a) sin 2π

n + sin

n + · · ·+ sin 2nπ

n = 0

(b) cos 2π

n + cos

n + · · ·+ cos 2nπ

n = 0

(c) cos π

11 + cos

11 + cos

11 + cos

11 + cos

11 =

1

2

(d) cos 2π

11 + cos

11 + cos

11 + cos

11 + cos

10π

11 = −1

2

11. Zaznaczyć na p laszczyźnie zespolonej zbiory:

(a) {z ∈ C: |z| = 1} (b) {z ∈ C: |z + i| = 3} (c) {z ∈ C: |2iz + 6| ≤ 4} (d) {z ∈ C: 0 < |z − 1| < 1} (e) {z ∈ C: 2 ≤ |z + 2− i| < 3}

(f)

{ z ∈ C: |z − i|+ |z + 1| = 5

2

}

4

docsity.com

II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzność

1. Wyznaczyć cz ↪eść rzeczywist ↪a i urojon ↪a funkcji:

(a) f(z) = z4

(b) f(z) = z3 + iz̄2

(c) f(z) = z + 1

z − 1

(d) f(z) = 1

1− z2

2. Dana jest cz ↪eść rzeczywista u(x, y) i cz ↪eść urojona v(x, y) funkcji zespolonej f . Przed- stawić t ↪e funkcj ↪e jako funkcj ↪e zmiennej zespolonej z.

(a) u(x, y) = x4 − 6x2y2 + y4 − x , v(x, y) = 4x3y − 4xy3 − y (b) u(x, y) = x2 − y2 + x , v(x, y) = 2xy + y

(c) u(x, y) = x

x2 + y2 + x , v(x, y) = − y

x2 + y2 − y

3. Dana jest funkcja f(z) = 1 z . Zbadać, czym jest przy tym odwzorowaniu obraz krzywej

określonej równaniem:

(a) x2 + y2 = 1

(b) y = 0

(c) x = 1

(d) (x− 1)2 + y2 = 1

4. Sprawdzić w jakich punktach z ∈ C nast ↪epuj ↪ace funkcje spe lniaj ↪a warunki Cauchy’ego- Riemanna:

(a) f(z) = z2

(b) f(z) = zImz

(c) f(z) = |z|2 + 2z (d) f(z) = |z|

5. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f oraz wyznaczyć jej pochodn ↪a w punktach, w których istnieje:

(a) f(z) = zRez

(b) f(z) = zz̄

5

docsity.com

6. Zbadać holomorficzność funkcji:

(a) f(z) = |z|2 + 2z (b) f(z) = z̄2

(c) f(z) = (z2 + 1)|z| (d) f(z) = |z|+ 2z (e) f(z) = |z|2(z + 1)

(f) f(z) = 1

z

(g) f(z) = 1

z2 + 4

7. Dla funkcji wymienionych w poprzednim zadaniu:

(a) policzyć pochodne ∂f ∂x

oraz ∂f ∂y

,

(b) korzystaj ↪ac z definicji, policzyć pochodn ↪a formaln ↪a ∂f ∂z̄

,

(c) wywnioskować w jakich punktach p laszczyzny istnieje f ′(z),

(d) korzystaj ↪ac z definicji, policzyć pochodn ↪a formaln ↪a ∂f ∂z

,

(e) zbadać holomorficzność f .

8. Znaleźć funkcj ↪e holomorficzn ↪a f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) (a nast ↪epnie zapisać j ↪a w postaci zespolonej f(z)) wiedz ↪ac, że:

(a) u(x, y) = x3 − 3xy2

(b) u(x, y) = x2 − y2 + 2x

(c) u(x, y) = x

x2 + y2

(d) u(x, y) = x

x2 + y2 − 2y

(e) u(x, y) = 2xy + 3x

(f) v(x, y) = − y (x + 1)2 + y2

9. * Pokazać, że twierdzenie o wartości średniej nie zachodzi dla funkcji holomorficznych.

10. * Niech f ∈ H(D(0, R)). Udowodnić, że:

(a) jeli f ′(z) = 0 dla z ∈ D(0, R), to f = const. (b) jeli |f(z)| = const dla z ∈ D(0, R) , to f = const.

6

docsity.com

III. Funkcje elementarne

1. Obliczyć wartości wyrażeń:

(a) Ln (−i) , ln (−i) , Ln (1 + i) , ln (−1), (b) cos (1 + i) , sin (1 + 2i) , tg (2− i),

(c) exp (

2− π 3 i ) , cos 2i , cosni,

(d) ii , iπi , i 1 2 .

2. Rozwi ↪azać równania:

(a) cos2 z = 4,

(b) sin z = 100,

(c) (z4 − 1) sin(πz) = 0, (d) cosh2 z = 0,

(e) ez 2

= 1.

3. Wykazać, że dla z = x + iy zachodz ↪a tożsamości:

(a) sin z = sinx cosh y + i cosx sinh y,

(b) cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y,

(c) tgz = sin 2x + i sinh 2y

cos 2x + cosh 2y ,

(d) | sin z| = √

sin2 x + sinh2 y,

(e) | cos z| = √

cos2 x + sinh2 y.

4. Wykazać, że nast ↪epuj ↪ace funkcje s ↪a okresowe:

(a) sin z , cos z (o okresie T = 2π),

(b) tgz , ctgz (o okresie T = π),

(c) cosh z , sinh z (o okresie T = 2πi).

5. Wykazać, że dla z ∈ C:

(a) cos(iz) = cosh z , sin z = −i sinh(iz) , cos2 z + sin2 z = 1 , cosh2 z − sinh2 z = 1, (b) sin z̄ = sin z , cos z̄ = cos z , cos(−z) = cos z , sin(−z) = − sin z, (c) cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2, (d) sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2.

7

docsity.com

6. Znaleźć funkcj ↪e holomorficzn ↪a f(z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedz ↪ac, że:

(a) u(x, y) = ex(x cos y − y sin x), (b) v(x, y) = ex(y cos y + x sin y) + x + y,

(c) v(x, y) = arctg y

x , x > 0,

(d) v(x, y) = ln ( x2 + y2

) .

7. Korzystaj ↪ac z definicji pochodnej formalnej ∂f ∂z̄

udowodnić, że funkcje sin z, cos z, tgz, ctgz, sinh z, cosh z, tghz, ctghz s ↪a holomorficzne w swojej dziedzinie. Wyprowadzić wzory na pochodne tych funkcji.

8. Znaleźć obrazy prostych x = const oraz y = const przy odwzorowaniu:

(a) f(z) = ez

(b) f(z) = sin z,

(c) f(z) = tgz.

9. Znaleźć obrazy koncentrycznych okr ↪egów i promieni dla tzw. funkcji Żukowskiego:

f(z) = 1

2

( z +

1

z

) .

10. * Wykazać, że gdy w pewnym obszarze istnieje jednoznaczna ga l ↪aź pierwiastka n √ z, to

istnieje dok ladnie n ga l ↪ezi. Czym one si ↪e różni ↪a?

8

docsity.com

IV. Szeregi zespolone

1. Dla jakich z ∈ C nast ↪epuj ↪ace szeregi s ↪a zbieżne bezwzgl ↪ednie:

(a) ∞∑ n=0

(z + 1)n

2n ,

(b) ∞∑ n=1

zn + z−n

n2 ,

(c) ∞∑ n=0

( z − 1 z + 1

)n ,

(d) ∞∑ n=1

zn

1− zn .

2. Wyznaczyć promień zbieżności poniższych szeregów:

(a) ∞∑ n=1

einzn,

(b) ∞∑ n=1

( z

1− i

)n ,

(c) ∞∑ n=1

( z in

)n ,

(d) ∞∑ n=1

sin

( πi

n

) zn,

(e) ∞∑ n=1

(−1)nn2zn,

(f) ∞∑ n=1

zn

n! .

3. Dla jakich z ∈ C nast ↪epuj ↪ace szeregi s ↪a zbieżne:

(a) ∞∑ n=1

(−1)n+1

n + z ,

(b) ∞∑ n=1

1

(n + z)2 ,

(c) ∞∑ n=1

(−1)nzn

n ,

(d) ∞∑ n=0

z5n,

9

docsity.com

(e) ∞∑ n=1

nnzn,

(f) ∞∑ n=1

zn

nn ,

(g) ∞∑ n=1

z−n

cos in ,

(h) ∞∑ n=1

en(iz)−n,

(i) ∞∑ n=0

(z + 1− i)n

n + i .

4. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu pot ↪egowego oraz zbadać jego zbieżność na brzegu ko la zbieżności, jeśli:

(a) ∞∑ n=1

e πi n zn,

(b) ∞∑ n=1

zn

(1− i)n ,

(c) ∞∑ n=1

(z − 1 + i)n

n2 ,

(d) ∞∑ n=1

(1− i)n

zn ,

(e) ∞∑ n=1

1

zn(n2 + n) ,

(f) ∞∑ n=1

(z − i)n

2n .

5. Pokazać, że poniższe szeregi maj ↪a t ↪e sam ↪a sum ↪e. Zbadać obszar zbieżności obu szeregów.

ln 2− ∞∑ n=1

1

n

( 1− z

2

)n oraz

∞∑ n=1

(−1)n−1

n zn

6. Dowieść, że sumy nast ↪epuj ↪acych szeregów pot ↪egowych nie maj ↪a wspólnego obszaru zbieżności, ale istnieje funkcja, której rozwini ↪eciami s ↪a oba te szeregi.

∞∑ n=1

zn

n oraz πi−

∞∑ n=1

(−1)n−1

n (z − 2)n

7. Znaleźć wspólny obszar zbieżności poniższych szeregów i pokazać, że maj ↪a one t ↪e sam ↪a sum ↪e.

1 + ∞∑ n=1

zn oraz 1

1− i

[ 1 +

∞∑ n=1

( z − i 1− i

)n]

10

docsity.com

8. Wyznaczyć rozwini ↪ecia nast ↪epuj ↪acych funkcji w szereg pot ↪egowy postaci ∑

cnz n oraz

znaleźć obszar zbieżności uzyskanego szeregu:

(a) f(z) = 1

2z + 5 ,

(b) f(z) = 1

1 + z4 ,

(c) f(z) = 1 + iz

1− iz ,

(d) f(z) = 1

1 + z + z2 ,

(e) f(z) = 1

(1 + z)(z + 2) ,

(f) f(z) = 1

(1 + z)2 ,

(g) f(z) = 1

(1 + z)3 ,

(h) f(z) = e2z+πi,

(i) f(z) = cos(z − π),

(j) f(z) = sin (z

2 + π

3

) .

9. Funkcj ↪e f(z) = 3

2+z rozwin ↪ać w szereg pot ↪egowy wokó l punktu z0 = −1 i wyznaczyć

obszar zbieżności otrzymanego szeregu. Nast ↪epnie t ↪e sam ↪a funkcj ↪e rozwin ↪ać w szereg pot ↪egowy wokó l punktów z1 = 0 i z2 = −1+ i. Porównać obszary zbieżności wszystkich otrzymanych szeregów.

11

docsity.com

V. Odwzorowania konforemne

1. Znaleźć obraz obszaru D przy homografii f , jeśli:

(a) D = {z ∈ C: |z| < 1} , f(z) = z − i z + i

,

(b) D = { z ∈ C: |z − i| <

√ 2 ∧ |z + i| <

√ 2 } , f(z) =

z − 1 z + 1

.

2. Udowodnić, że dla dowolnych trzech różnych punktów z1, z2, z3 ∈ C i trzech różnych wartości w1, w2, w3 ∈ C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka, że f(zi) = wi dla i = 1, 2, 3.

3. Wyznaczyć homografi ↪e odwzorowuj ↪ac ↪a okr ↪ag jednostkowy {z ∈ C: |z| = 1} na oś rze- czywist ↪a, aby:

(a) punktom 1, i,−1 okr ↪egu odpowiada ly punkty −1, 0, 1 na osi, (b) punktom −i, 1, i okr ↪egu odpowiada ly punkty −1, 0, 1 na osi, (c) punktom −1, 1, i okr ↪egu odpowiada ly punkty ∞, 0, 1 na osi.

4. Znaleźć ogóln ↪a postać homografii przekszta lcaj ↪acej ko lo jednostkowe na siebie.

5. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca ko lo jednostkowe na siebie takie, że:

(a) f ( 1 4

) = 0 oraz Argf ′

( 1 4

) = π

2 ,

(b) f ( 1 2

) = 0 oraz Argf ′

( 1 2

) = π

2 .

6. Znaleźć ogóln ↪a postać homografii przekszta lcaj ↪acej górn ↪a pó lp laszczyzn ↪e na ko lo jed- nostkowe.

7. Znaleźć funkcj ↪e w = f(z), która odwzorowuje konforemnie górn ↪a pó lp laszczyzn ↪e w ko lo jednostkowe i tak ↪a aby:

(a) f(i) = 0 oraz Argf ′(i) = π 2 ,

(b) f(i) = 0 oraz Argf ′(i) = 0.

8. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca obszar D na obszar D1, jeśli:

(a) D = {z ∈ C: |z| > 1} , D1 = {z ∈ C: Imz < Rez}, (b) D = C \ {z ∈ C: Rez ≤ 0 ∧ Imz = 0} , D1 = {z ∈ C: |z| > 1}, (c) D = C \ {z ∈ C:−3 ≤ Rez ≤ −1 ∧ Imz = 0} , D1 = {z ∈ C: Imz > 0}, (d) D = {z ∈ C: |z| < 1} , D1 = {z ∈ C: 0 < Imz < π}, (e) D =

{ z ∈ C: 0 < Imz < π

2

} , D1 = {z ∈ C: Imz > 0 ∧ |z| < 1},

(f) D = { z ∈ C: 0 < Argz < π

3

} , D1 = {z ∈ C: |z| < 1},

(g) D = C \ {z ∈ C: Rez = 0 ∧ 0 ≤ Imz ≤ a} , a > 0 , D1 = {z ∈ C: Imz > 0}.

12

docsity.com

9. Niech D = {z ∈ C: Imz < 0}. Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu f(z) = Lnz.

10. Niech D = {z ∈ C: 0 < Rez < π}. Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu f(z) = cos z.

11. Znaleźć obraz siatki linii równoleg lych do osi uk ladu wspó lrz ↪ednych (prostych i od- cinków) w pasie

{ z ∈ C:−π

2 < Rez < π

2

} przy odwzorowaniu f(z) = tgz.

12. Wykazać, że na to, aby różna od identyczności homografia f(z) = az+b cz+d

by la inwolucj ↪a (tzn. f = f−1) potrzeba i wystarczy, by a + d = 0.

13. Wykazać, że każda różna od identyczności homografia, b ↪ed ↪aca inwolucj ↪a, posiada do- k ladnie dwa punkty sta le.

13

docsity.com

VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wzór ca lkowy Cauchy’ego

1. Obliczyć ca lk ↪e z funkcji f(z) wzd luż krzywej γ, jeśli:

(a) f(z) = Rez, γ – odcinek [0, 1 + i],

(b) f(z) = Imz, γ – odcinek [0, 2 + i],

(c) f(z) = |z|, γ – zadana opisem parametrycznym: z = eit , t ∈ [−π 2 , π 2 ],

(d) f(z) = ez̄, γ – lamana o wierzcho lkach: z1 = 0, z2 = 1, z3 = 1 + i,

(e) f(z) = ez̄, γ – lamana o wierzcho lkach: z1 = 0, z2 = i, z3 = 1 + i,

(f) f(z) = eiz, γ – dowolna krzywa o pocz ↪atku z1 = i oraz końcu z2 = 0,

(g) f(z) = cos z, γ – dowolna krzywa o pocz ↪atku z1 = 0 oraz końcu z2 = π 2 ,

(h) f(z) = z sin z, γ – dowolna krzywa o pocz ↪atku z1 = 0 oraz końcu z2 = i,

(i) f(z) = sin(2z + 1), γ – dowolna krzywa o pocz ↪atku z1 = 0 oraz końcu z2 = π 2 ,

(j) f(z) = (z− 1) cos z, γ – dowolna krzywa o pocz ↪atku z1 = − π 2 i oraz końcu z2 =

π 2 i,

(k) f(z) = ze−2z, γ – dowolna krzywa o pocz ↪atku z1 = 0 oraz końcu z2 = π 2 i.

2. Obliczyć nast ↪epuj ↪ace ca lki po krzywych zamkni ↪etych:

(a)

∮ |z|=1

1

z dz,

(b)

∮ |z|=2

1

z − 1 dz,

(c)

∮ |z|=2

z − 2 z + 1

dz,

(d)

∮ |z|=2

z2

z − 1 dz,

(e)

∮ |z|=3

z2

z − 2i dz,

(f)

∮ |z−i|=5

1

z2 + 9 dz,

(g)

∮ |z−2i|=2

1

(z2 + 9)2 dz,

(h)

∮ |z|=2

z2 + 1

z + i dz,

(i)

∮ |z−3i|=2

ez

z(z − 2i) dz,

14

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome