Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie - Ćwiczenia - Algebra liniowa, Notatki'z Algebra liniowa. University of Bialystok
blondie85
blondie8515 March 2013

Przekształcenia liniowe, podprzestrzenie - Ćwiczenia - Algebra liniowa, Notatki'z Algebra liniowa. University of Bialystok

PDF (186.9 KB)
5 strona
352Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu algebry: przekształcenia liniowe, podprzestrzenie .
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Algebra Liniowa I, Matematyka Finansowa, lista 11

Zadanie 11.1.Wyznaczyć dopełnienie liniowe następujących podprzestrzeni przestrze- ni liniowej R5: 1.1. U = lin([3, 8, 1, 1,−4], [1, 3, 0,−1,−3], [1, 2, 1, 3, 2]). 1.2. U = {[a+ 2b+ 3c, a+ 4b, a+ 8b+ 27c, 27a+ c, 9a+ 4b+ c] | a, b, c ∈ R}.

1.3. U = { [x1, x2, x3, x4, x5] R5 |

 x1 2x2 + 3x3 4x4 = 0

x2 2x3 + 3x4 4x5 = 0 2x1 − x2 + x4 12x5 = 0

} .

Zadanie 11.2.Wyznaczyć dopełnienie liniowe następujących podprzestrzeni przestrze- ni liniowej R4[x], por. Zadanie 9.5:

2.1. U = lin(12x− 3x3, 3x+ 5x2 + 7x3 + 11x4, 2 + 4x2 + 8x4, 7 + 16x+ 22x2 + 11x3 + 46x4).

2.2. U = {f ∈ R4[x] | f(−x) = −f(x)}. 2.3. U = {f ∈ R4[x] : x2 1 | f}. Zadanie 11.3.Wyznaczyć dopełnienie liniowe następujących podprzestrzeni przestrze- ni liniowej M2×3(R):

3.1. U = lin ( [ 2 3 5 7 11 13

] ,

[ 3 5 7 11 13 17

] ,

[ 5 7 11 13 17 19

] ,

[ 7 11 13 17 19 23

] ) .

3.2. U = { [

x11 x12 x13 x21 x22 x23

] ∈M2×3(R) |

 x11 + x13 + x22 = 0 x11 + x12 − x13 + x21 − x22 + x23 = 0

x12 + x21 + x23 = 0

} .

3.3. U = { X ∈M2×3(R) |

[ 4 3 1 2

] ·X = 02×3

} .

Zadanie 11.4. Wyznaczyć dwa różne dopełnienia liniowe V i W podprzestrzeni U przestrzeni liniowej Rn, dla których wymiar części wspólnej dim (V ∩W ) jest najmniejszy z możliwych, jeżeli:

4.1. n = 4, U = lin([1, 3, 0,−1], [3, 5, 1, 2], [2, 2, 1, 3]). 4.2. n = 5, U = lin([1, 2, 3,−2,−1], [1, 0, 2, 0, 3], [3, 2, 7,−2, 5]). Zadanie 11.5. Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych 

2x1 − x2 + x3 = 0 2x1 + 2x2 − x4 + x5 = 0 x1 2x2 + x4 − x5 = 0

nad ciałem R. Zadanie 11.6. Wyznaczyć jednorodny układ równań liniowych opisujący podprze- strzeń U przestrzeni liniowej Rn, jeżeli: 6.1. n = 3, U = lin([1, 2,−1], [0, 1, 1], [1, 0,−3], [1, 1,−2]). 6.2. n = 4, U = lin([1, 1, 0, 0], [2, 4, 0, 3], [1, 3, 3, 5], [2, 8,−3, 7]).

1

docsity.com

6.3. n = 5, U = lin([1,−1, 1,−1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1,−1, 7], [0, 2,−1, 1, 2]).

Zadanie 11.7. Oznaczmy przez U przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych 

2x1 − x2 2x3 3x4 4x5 = 0 x1 − x2 − x3 2x4 3x5 = 0 4x1 + x2 2x3 − x4 2x5 = 0

oraz przez V przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych{ x1 2x2 − x3 + 3x4 + x5 = 0 6x1 + 3x2 + 2x3 + x4 4x5 = 0

oba nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar części wspólnej U ∩ V . Zadanie 11.8. Oznaczmy podprzestrzenie U = lin([1, 1, 1, 1], [1, 1,−1,−1], [1, 1,−1, 1]) oraz V = lin([1,−1,−1, 1], [2,−2, 0, 0], [3,−1, 1, 1]) przestrzeni liniowej R4. Wyzna- czyć bazę i wymiar części wspólnej U ∩ V . Zadanie 11.9. Oznaczmy podprzestrzenie U = lin([1, 1, 1, 1], [1, 3, 1, 3], [1,−1, 1, −1]) oraz V = lin([1, 2, 0, 2], [1, 2, 1, 2], [3, 1, 3, 1]) przestrzeni liniowej R4. Wyznaczyć bazę i wymiar sumy algebraicznej U + V .

Zadanie 11.10. Oznaczmy podprzestrzenie U = lin([1, 0, 1], [0, 1, 2]), V = lin([0, 1, 0]) oraz W = lin([1, 1, 3], [1, 2, 3]) przestrzeni liniowej R3. Wyznaczyć bazę i wymiar sumy algebraicznej U + V +W .

Zadanie 11.11. Oznaczmy przez U przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych 

3x1 + 4x2 3x3 − x4 = 0 2x1 + 3x2 2x3 − x4 = 0 −x1 2x2 + x3 + x4 = 0

oraz przez V przestrzeń rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych 2x1 + x2 + x4 = 0 2x1 + x2 3x3 + x4 = 0 4x1 + 2x2 3x3 + 2x4 = 0

oba nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar sumy algebraicznej U + V .

Zadanie 11.12. Oznaczmy podprzestrzeń U = lin([1,−2, 7, 10], [1,−1, 5, 7], [3,−1, 11, 15]) przestrzeni liniowej R4. Oznaczmy przez V przestrzeń rozwiązań jednorodnego ukła- du równań liniowych 

5x1 2x2 − x3 + x4 = 0 6x1 2x2 + x4 = 0 7x1 2x2 + x3 + x4 = 0

nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni U , V , U + V oraz U ∩ V .

2

docsity.com

Zadanie 11.13. Oznaczmy podprzestrzeń U = lin([3, 1,−3, 7], [2, 1,−1, 4], [1, 1, 1, 1], [1,−1,−5, 5]) przestrzeni liniowej R4. Oznaczmy przez V przestrzeń rozwiązań jedno- rodnego układu równań liniowych

x1 + x2 4x3 + 2x4 = 0 x1 + 2x2 6x3 + 3x4 = 0 x1 + 3x2 8x3 + 4x4 = 0

nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni U , V , U + V oraz U ∩ V .

Zadanie 11.14. Oznaczmy podprzestrzeń U = lin([3, 2,−5, 4,−3], [2, 1,−2, 1, 0], [5, 3, −7, 5,−3]) przestrzeni liniowej R5. Oznaczmy przez V przestrzeń rozwiązań jednorod- nego układu równań liniowych{

3x1 7x2 + 11x3 − x4 + x5 = 0 5x1 11x2 + 17x3 − x4 + 2x5 = 0

nad ciałem R. Wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni U , V , U + V oraz U ∩ V .

Zadanie 11.15. Korzystając z operacji elementarnych na wierszach/kolumnach obli- czyć nad ciałem R rząd następujących macierzy:

15.1. A =

 1 2 3 63 1 2 4 4 1 5 10



15.3. C =

 3 2 5 7 3 4 9 9 5 2 8 8 8 1 7 12



15.5. E =

 2 1 3 2 1 4 6 3 5 4 3 5 2 1 7 4 1 11 4 2 2 3 3 6



15.7. G =

 5 1 4 6 4 4 2 2 4 4 11 4 7 12 10 4 2 2 4 4 10 2 8 12 8



15.2. B =

 5 1 2 31 4 1 2 9 2 5 4



15.4. D =

 1 1 3 2 3 1 2 1 4 1 3 2 3 1 5 2 3 1 2 1 8 3 9 2



15.6. F =

 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 12 13 14 15 16 17 18 17 16 15 14 13



15.8. H =

 1 2 3 4 5 13 2 1 2 3 4 10 2 2 1 2 3 11 2 2 2 1 2 6 2 2 2 2 1 3

 Zadanie 11.16. Korzystając z pojęcia minora obliczyć nad ciałem R rząd następują- cych macierzy:

16.1. A =

 1 3 2 41 5 4 6 2 1 1 3

 16.2. B =  2 1 3 2 44 2 5 1 7 2 1 1 8 2



3

docsity.com

16.3. C =

 111 22 3 222 33 4 333 44 5 444 55 6

 16.4. D =  2 1 3 4 5 3 1 2 5 4 5 2 5 9 10 1 0 1 2 1

 Zadanie 11.17.W zależności od parametru a obliczyć nad ciałem R rząd następujących macierzy:

17.1. A =

 1 1 a3 a 3 2a 2 2



17.3. C =

 1 1 1 a1 1 a a 1 a a a



17.5. E =

 3 1 1 4 a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3



17.2. B =

 1 a −1 22 1 a 5 1 10 6 1



17.4. D =

 1 2 3 a+ 3a− 1 a− 2 2a− 3 2a− 3 0 a− 2 a− 2 a− 2



17.6. F =

 a 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 a a 1 1 a 0

 Zadanie 11.18. Korzystając z Twierdzenia Kroneckera-Capelli’ego rozwiązać nad cia- łem R następujące układy równań liniowych:

18.1.

 x1 + 2x2 − x3 − x4 = 1 x1 + x2 + x3 + 3x4 = 2 3x1 + 5x2 − x3 + x4 = 3

18.2.

 2x1 − x2 − x3 + x4 + x5 = 2 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − x5 = 1 8x1 + 3x2 + x3 + 3x4 − x5 = 4

Zadanie 11.19. Dla jakich rzeczywistych wartości parametrów a i b następujące układy równań liniowych mają rozwiązanie?

19.1.

{ (a+ 1)x1 + (2− a)x2 = a (13a)x1 + (a− 1)x2 = 6

19.2.

 ax1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + ax2 + 2x3 = 1 x1 + x2 + 2ax3 = 1

19.3.

 x1 + ax2 − x3 = 1 x1 + 10x2 6x3 = a 2x1 − x2 + ax3 = 0

19.4.

 x1 + ax2 + ax3 = a ax1 + x2 + ax3 = 1 ax1 + ax2 + x3 = 2

4

docsity.com

19.5.

 x1 2x2 − x3 = 1 2x1 + x2 + ax3 = 2 bx1 + 2x2 − x3 = 0 3x1 2x2 + x3 = 1

Zadanie 11.20. Czy zachodzi równość warstw α + U = β + U , jeżeli:

20.1. U = lin([1, 1]) R2, α = [2, 3], β = [0, 1]. 20.2. U = lin([1, 2, 3], [0, 1, 0]) R3, α = [1, 0, 1], β = [2, 4, 5]. 20.3. U = lin([0, 1,−2], [1, 0, 1]) R3, α = [1, 1, 2], β = [3,−2, 10]. 20.4. U = lin([2,−3, 4,−5], [1, 2,−3,−4]) R4, α = [25, 1, 10, 0], β = [9, 4, 8, 49].

Zadanie 11.21. Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni ilorazowej R4/U przestrzeni li- niowej R4 względem podprzestrzeni 21.1. U = lin([1, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 1], [2, 5, 5, 5]). 21.3. U = lin([4, 3, 2, 1], [3, 2, 1, 0], [1, 1, 1, 1]).

21.2. U = { [x1, x2, x3, x4] R4 |

{ x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0 x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0

} .

Zadanie 11.22.Wyznaczyć wszystkie elementy przestrzeni ilorazowej Z24/U przestrze- ni liniowej Z2 względem podprzestrzeni U = lin([1, 0, 1, 1, ], [1, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0]).

5

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome