Energia kinetyczna - Notatki - Mechanika , Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
dlugie_nogi
dlugie_nogi15 March 2013

Energia kinetyczna - Notatki - Mechanika , Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (657.0 KB)
13 strona
819Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z mechaniki: energia kinetyczna układu punktów materialnych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 13
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:

2 mvE

2

= .

Dla układu n punktów materialnych o masach mk poruszających się z prędkością vk energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów materialnych:

∑∑ ==

== n

1k

2 kk

n

1k

2 kk vm

2 1

2 vm

E . (7.75)

Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2), prędkość bezwzględną vk każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość unoszenia vC, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych

o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z, i prędkość względną v ′ ′ ′x , y , z

Ck względem układu ruchomego (rys. 7.17):

CkCk vvv += . Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu prędkości w postaci iloczynu skalarnego

kk 2 kv vv ⋅=

otrzymamy:

( ) ( )

( ) =+⋅+=

=+⋅+=⋅=

∑∑

=

==

n

1k

2 CkCkC

2 Ck

CkC

n

1k CkCk

n

1k kkk

v2vm 2 1

m 2 1m

2 1E

vv

vvvvvv

∑∑∑ ===

+⋅+= n

1k

2 Ckk

1 CkkC

n

1k k

2 C vm2

1mmv 2 1 n

k vv . (a)

Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu względem ruchomego układu współrzędnych ′ ′ ′x , y , z . Wiadomo jednakże, że pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w stosunku do ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′x , y , z jest równa zeru. Zatem

docsity.com

0m n

1k Ckk =∑

=

v .

Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu względem ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′x , y , z :

∑ =

= n

1k

2 Ckkc vm2

1E . (7.76)

Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez

∑ =

= n

1k kmm

równanie (a) przyjmuje postać: 2 CC mv2

1EE += . (7.77) Zależność (7.77) nosi nazwę twierdzenia Koeniga. Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.

docsity.com

7.4.2. Energia kinetyczna bryły W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3). W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z prędkością zgodną ze wzorem (5.32):

rωvv ′×+= C . (b) Energia kinetyczna tego elementu

dm 2 1dE vv⋅= ,

a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:

∫ ⋅= m

dm 2 1E vv . (c)

Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:

( ) ( )∫ =′×+⋅′×+= m

CC dm2 1E rωvrωv

( ) ( ) ( )dm 2 1dmdmv

2 1

mm C

m

2 C ∫∫∫ ′×⋅′×+′×⋅+= rωrωrωv . (d)

Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]rωrωrωrω

rωvrωv ′××′⋅=′×⋅′×

′⋅×=′×⋅ ,CC

oraz wyłączeniu przed całki vC i ω, jako wielkości niezależnych od zmiennych całkowania , wzór (d) możemy zapisać: ′ ′ ′x , y , z

( ) ( )∫∫∫ ′××′⋅+′⋅×+= mm

C m

2 C dm2

1dmdmv 2 1E rωrωrωv . (e)

Pierwsza całka jest masą bryły, druga momentem statycznym względem środka masy, a trzecia krętem bryły w ruchu względem środka masy (7.62), czyli

( )∫∫∫ ′×ω×′==′= m

C mm

dmoraz0dm,dmm rrkr .

Po uwzględnieniu powyższych zależności we wzorze (e) otrzymujemy:

docsity.com

2 CC mv2

1 2 1E +⋅= . (7.78)

Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest energią kinetyczną bryły w jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy:

.CC 2 1E ⋅= (7.79)

Zatem energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci identycznej ze wzorem (7.77):

E EC= + 1 2

mvC 2 . (7.80)

Jest to twierdzenie Koeniga dla bryły. Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy. Aby obliczyć energię EC we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za pomocą współrzędnych wektorów ω i kC danych w układzie ruchomym : ′ ′ ′x , y , z

CC 2 1E ⋅= = ( )zCzyCyxCx kkk2

1 ′′′′′′ ω+ω+ω .

Po podstawieniu w tym wzorze współrzędnych krętu danych wzorami (7.65) i uporządkowaniu wyrazów energię kinetyczną bryły w jej ruchu względem środka masy możemy przedstawić w postaci:

( )−ω+ω+ω= ′′′′′′ 2zz2yy2xxC III2 1E

( )xzxzzyzyyxyx DDD ′′′′′′′′′′′′ ωω+ωω+ωω− (7.81) Zatem, podobnie jak w przypadku krętu kC, do obliczenia energii kinetycznej bryły w jej ruchu względem środka masy musimy znać wszystkie osiowe i dewiacyjne momenty bezwładności. Gdy osie ′ ′ ′x , y , z są głównymi centralnymi osiami bezwładności, momenty dewiacyjne znikają, a wzór (7.81) upraszcza się do postaci:

( )2zz2yy2xxC III2 1E ′′′′′′ ω+ω+ω= . (7.82)

docsity.com

Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z prędkością kątową ω, to energia ruchu obrotowego

2 lI2

1E ω= , (7.83) gdzie Il jest momentem bezwładności względem osi obrotu l. Przykład 7.11. Kołowrót o masie m1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r toczy się bez poślizgu małym obwodem po poziomej listwie (rys. 7.17). Środek masy C tego kołowrotu znajduje się na osi symetrii obrotowej i ma stałą prędkość vC. Na duży obwód nawinięto linkę, na której końcu zawieszono ciężarek o masie m = m. Promień

bez rysu

Rys

koł por

Wz z tw

gdz

Ene

ω

v2

vA

vC

vA A

C

R

r

S

vC

m2

. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej

kołowrotu

2 władności kołowrotu względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny nku jest równy . Obliczyć energię kinetyczną tego układu. iC

Rozwiązanie. Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej owrotu E1 poruszającego się ruchem płaskim i energii kinetycznej ciężarka E2 uszającego się ruchem postępowym:

21 EEE += .

ór na energię kinetyczną kołowrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikającym ierdzenia Koeniga, po uwzględnieniu zależności (7.83) ma postać:

C1 2

C1 vm2 1I

2 1E +ω= , (a)

ie moment bezwładności kołowrotu względem osi symetrii obrotowej

2 C

2 C1C mi5imI == . (b)

rgia kinetyczna ciężarka

2 2

2 222 mv2

1vm 2 1E == . (c)

docsity.com

Ponieważ kołowrót toczy się bez poślizgu, chwilowy środek obrotu znajduje się w punkcie S styku kołowrotu z listwą. Korzystając z własności chwilowego środka obrotu, możemy napisać:

( ) CCAC v2 5v

r rRrRv,

r v

= +

=+ω==ω . (d)

Zgodnie z rysunkiem prędkość ciężarka v2 jest równa sumie geometrycznej prędkości vC i vA. Stąd kwadrat prędkości v2

2 C

2 C

2 A

2 2 v4

29vvv =+= . (e) Po dodaniu wzoru (c) do (a) i uwzględnieniu zależności (b), (d) i (e) otrzymujemy całkowitą energię kinetyczną układu:

2 C

2 C22

C

2 C2

C mv8 49

r i

2 5mv

8 29mv

2 5

r v

mi 2 5E

⎥ ⎥ ⎦

⎢ ⎢ ⎣

⎡ +⎟

⎞ ⎜ ⎝

⎛=++⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛= .

docsity.com

7.4.3. Zasada pracy i energii kinetycznej Dla każdego z n punktów materialnych układu omówionego w p. 7.2.2 i przedstawionego na rys. 7.12 napiszemy, tak jak poprzednio, dynamiczne równanie ruchu (7.47):

wkk2 k

2

k dt d

m PP r

+=

albo

( )n,...,2,1k td

d m wkk

k k =+= PP

v .

Pomnóżmy skalarnie każde z tych równań przez prędkość vk i dodajmy je stronami:

( ) ∑∑∑∑ ====

⋅+⋅=⋅+=⋅ n

1k kwk

n

1k kkk

n

1k wkk

n

1k k

k k td

d m vPvPvPPv

v . (e)

Zgodnie z definicją podaną w p. 7.1.7 pierwsza suma w równaniu (e) jest mocą układu sił zewnętrznych:

∑ =

⋅= n

1k kkzN vP , (7.84)

a druga podwójna suma mocą wszystkich sił wewnętrznych:

∑ =

⋅= n

1k kwkwN vP . (7.85)

Wykażemy, że lewa strona równania (e) jest pochodną względem czasu energii całkowitej układu punktów materialnych:

( ) .

dt dEm

2 1

dt d

dt md

2 1

dt d

m dt

d m

2 1

td d

m

n

1k kkk

n

1k

kkk

n

1k

k kkk

k k

n

1k k

k k

=⋅= ⋅

=

=⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ ⋅+⋅=⋅

∑∑

∑∑

==

==

vvvv

v vv

v v

v

Ostatecznie równanie (e) przyjmuje postać:

wz NNdt dE

+= . (7.86)

docsity.com

Zatem pochodna względem czasu energii kinetycznej układu materialnego jest równa sumie mocy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych. Po scałkowaniu obustronnie równania (7.86) od 0 do t otrzymamy:

( ) ( ) ∫∫ +=− t

0 w

t

0 z dtNdtN0EtE . (f)

Całki występujące w powyższym równaniu, zgodnie ze wzorem (7.36), przedstawiają odpowiednio pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych:

∫∫ == t

0 ww

t

0 zz dtNL,dtNL . (g)

Po wprowadzeniu oznaczeń (g) do równania (f) otrzymujemy zasadępracyi energii kinetycznej dla układu punktów materialnych:

( ) ( ) wz LL0EtE +=− lub po wprowadzeniu oznaczeń E(t) = E2, E(0) = E1

wz12 LLEE +=− . (7.87) Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne i wewnętrzne. Bez przeprowadzania dowodu metodą analityczną można zauważyć, że praca sił wewnętrznych jest ściśle związana ze zmianą odległości między punktami układu materialnego. Gdy odległości między punktami układu materialnego nie ulegają zmianie, praca sił wewnętrznych będzie równa zeru. Zatem dla bryły sztywnej lub ciała sztywnego praca sił wewnętrznych jest równa zeru, Lw = 0. W tej sytuacji zasadę pracy i energii kinetycznej dla bryły sztywnej można zapisać w postaci:

z12 LEE =− . (7.88) Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne działające na tę bryłę. Przykład 7.12. Do bębna kołowrotu o promieniu r i masie m1 jest przyłożony stały moment obrotowy M. Do końca wiotkiej liny nawiniętej na bęben przymocowano ciężar o masie m2, który przesuwa się po równi pochyłej o kącie nachylenia α(rys. 7.22). Współczynnik tarcia między masą m2 a równią wynosi µ. Jaką prędkość kątową ω osiągnie bęben po obróceniu się o ϕ radianów, jeżeli w

docsity.com

chwili początkowej układ był w spoczynku? Masę liny pominąć, a bęben uważać za jednorodny walec.

v2

ϕ,ω

M

N

T

α G2

O r

Rys. 7.22. Wyznaczenie prędkości kątowej bębna Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pracy i energii kinetycznej (7.88):

LEE 12 =− . Z uwagi na to, że układ w chwili początkowej znajdował się w spoczynku, jego energia kinetyczna była równa zeru, E1 = 0. Otrzymujemy więc:

LE 2 = . (a) Energia kinetyczna układu składa się z energii kinetycznej ruchu postępowego masy m2 oraz ruchu obrotowego bębna:

2 O

2 222 I2

1vm 2 1E ω+= .

Ponieważ moment bezwładności bębna IO względem osi obrotu i prędkość v2 są równe:

rv,rm 2 1I 2

2 1O ω== ,

mamy:

( ) 22212212222 rm2m4 1rm

4 1rm

2 1E ω+=ω+ω= . (b)

Pracę L wykonują: moment obrotowy M, składowa siły ciężkości G2 równoległa do równi oraz siła tarcia T. Jeżeli zauważymy, że przy obrocie bębna o kąt ϕ ciężar o masie m2 przesunie się w górę równi o rϕ, możemy napisać:

docsity.com

( )L M m g T r= − +ϕ α2 sin ϕ . Po podstawieniu do tego wzoru α== cosgmµNµT 2 wykonana praca

( ϕ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ α+α−= rcosµsingm

r ML 2 ) . (c)

Po podstawieniu zależności (b) i (c) do wzoru (a) otrzymujemy równanie:

( ) ( ) ϕ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ α+α−=ω+ rcosµsingm

r Mrm2m

4 1

2 22

21 ,

skąd

( ) ϕ

+ αα−

=ω 21

2

m2m cosµ+sinrgmM

r 2

.

docsity.com

7.4.4. Zasada zachowania energii Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. W punkcie 7.1.5 udowodniono, że jeżeli na punkt materialny działa siła potencjalna, to praca wykonana przez tę siłę jest równa ubytkowi energii potencjalnej. Przyjmiemy bez dowodu, że zależność ta jest słuszna nie tylko dla każdego punktu, ale i dla całego układu materialnego. Zatem pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych możemy zapisać w postaci:

⎭ ⎬ ⎫

−= −=

,UUL ,UUL

2w1ww

2z1zz (h)

gdzie Uz1 i Uz2 oznaczają energię potencjalną sił zewnętrznych w położeniu początkowym i końcowym, a Uw1 i Uw2 energię potencjalną sił wewnętrznych w położeniu początkowym i końcowym. Po podstawieniu wzorów (h) do równania zasady pracy i energii kinetycznej (7.87) otrzymamy:

E2 – E1 = Uz1 – Uz2 + Uw1 – Uw2 lub

E2 + Uz2 + Uw2 = E1 + Uz1 + Uw1. (i) Z równania (i) wynika, że suma energii kinetycznej i energii potencjalnej sił zewnętrznych i wewnętrznych jest w każdym położeniu układu wielkością stałą. Po wprowadzeniu do równania (i) oznaczeń:

U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1 otrzymamy:

E2 + U2 = E1 + U1 albo ogólnie

E + U = const. (7.89)

Jest to zasada zachowania energii mechanicznej. Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą. Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku, gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni. Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem.

docsity.com

Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu. Przykład 7.13. Cienki jednorodny pręt OA o długości L i masie m może się obracać bez tarcia wokół osi poziomej prostopadłej do osi pręta przechodzącej

przez jego koniec O (rys. 7.23). Jaką prędkość należy nadać końcowi A w chwili, gdy pręt jest w spoczynku w położeniu równowagi stałej, aby wykonał on ćwierć obrotu?

R

Rozwiązanie. Na pręt działa siła ciężkości, która jest siłą potencjalną. Zatem do rozwiązania zadania możemy zastosować zasadę zachowania energii mechanicznej (7.89):

UEUE +=+ . (a)

Jeże cięż poło E2

W c

Mo kład

Z k

L/2

L

O

ω

A

C mg

vA

U = 0

ys. 7.23. Wyznaczenie prędkości początkowej końca pręta

2211

li poziom zerowej energii potencjalnej przyjmiemy na wysokości środka kości C, jak na rysunku, to U1 0= . Po wykonaniu ćwierć obrotu pręt zajmie żenie poziome i zatrzyma się. Jego energia kinetyczna będzie równa zeru,

. Równanie (a) będzie miało więc postać: 0=

21 UE = . (b) hwili początkowej energia kinetyczna

2 O1 I2

1E ω= .

ment bezwładności pręta jednorodnego względem jego końca (patrz przy- 6.2)

3 mLI

2

O = .

olei prędkość kątowa pręta

L vA=ω .

docsity.com

Energia kinetyczna pręta ma więc postać:

6 mv

L v

3 mL

2 1E

2 A

2 A

2

1 =⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛= . (c)

Energia potencjalna pręta w położeniu końcowym

2 LmgU 2 = . (d)

Po podstawieniu wzorów (c) i (d) do równości (b) otrzymujemy równanie:

2 mgL

6 mv2A = .

Stąd prędkość początkowa końca A pręta

Lg3vA = . Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie prędkości, jaką należy nadać końcowi A pręta, aby wykonał on pełen obrót.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome