Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 2, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin
bobby_m
bobby_m8 March 2013

Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 2, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin

PDF (410.3 KB)
14 strona
665Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z dziedziny matematyki: funkcje zmiennej zespolonej.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 14
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

(j)

∮ |z+i|=3

sin z

z + i dz,

(k)

∮ |z+i|= 5

2

sin z

(z − i)(z − 2i) dz,

(l)

∮ |z−i|=1

cos z

(z − i)3 dz,

(m)

∮ ∂D

z2

z3 − 2z2 + z − 2 dz, gdzie D = {z ∈ C: |Rez|+ |Imz| ≤ 3},

(n)

∮ ∂D

tgz

z − 1 dz, gdzie D = [−2, 2]× [−2, 2],

(o)

∮ γ

1

(z2 − 4iz − 4)(z + 1)3 dz, gdzie γ – krzywa o równaniu: x2 + y2 − 4y − 5 = 0,

(p)

∮ γ

sin π 4 z

z2 − 1 dz, gdzie γ – krzywa o równaniu: x2 + y2 − 2x = 0,

(q)

∮ |z−1|=R

1

(z − 1)3(z + 1)3 dz, dla R > 2 i dla 0 < R < 2,

(r)

∮ |z−1|= 5

4

[ 1

z6 − 2z3 + 1 + z4e−z

2

] dz,

(s)

∮ |z−1|=1

[ e2z

z3 − 3z2 + 3z − 1 + z cos(z − 1)

] dz.

3. Obliczyć ca lki rzeczywiste:

(a)

∫ ∞ −∞

dx

x4 + 2x2 + 1 ,

(b)

∫ ∞ −∞

dx

(x2 + x + 1)2 ,

(c)

∫ ∞ 0

dx

(x2 + 1)2(x2 + 4) ,

(d)

∫ ∞ 0

x dx

x4 + 6x2 + 13 ,

(e)

∫ ∞ −∞

x2 − x + 2 x4 + 10x2 + 9

dx,

(f)

∫ ∞ 0

x2

(x2 + a2)3 dx , a > 0,

(g)

∫ ∞ 0

dx

(x2 + a2)2(x2 + b2) , a, b > 0, a 6= b.

15

docsity.com

VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych

1. Funkcj ↪e f(z) rozwin ↪ać w szereg Laurenta odpowiednio w pierścieniach V1 i V2:

(a) f(z) = 1

(z − 1)(z − 2) , V1 = {z ∈ C: 1 < |z| < 2} , V2 = {z ∈ C: 2 < |z|},

(b) f(z) = 1

(z − 1)(z − 2) , V1 = {z ∈ C: 0 < |z − 1| < 1} , V2 = {z ∈ C: 1 < |z − 1|},

(c) f(z) = 1

z +

1

z − 3 − 1 z − 1

, V1 = {z ∈ C: 1 < |z| < 3} , V2 = {z ∈ C: 3 < |z|},

(d) f(z) = 1

(z2 + 1)(z2 + 2) , V1 =

{ z ∈ C: 1 < |z| <

√ 2 } , V2 =

{ z ∈ C:

√ 2 < |z|

} ,

(e) f(z) = 1

(z2 − 1)(z2 − 2) , V1 = {z ∈ C: 0 < |z| < 1} , V2 = {z ∈ C: 2 < |z|},

(f) f(z) = e z

z−1 , V1 = {z ∈ C: 0 < |z − 1|}.

2. Znaleźć cz ↪eść g lówn ↪a i regularn ↪a szeregu Laurenta funkcji f(z) = 1

z2+1 :

(a) w dysku D ( 1, √

2 )

= { z ∈ C: |z − 1| <

√ 2 }

,

(b) w pierścieniu P ( 1, √

2,∞ )

= { z ∈ C:

√ 2 < |z − 1| <∞

} ,

(c) w pierścieniu P (i, 0, 2) = {z ∈ C: 0 < |z − i| < 2}, (d) w pierścieniu P (−i, 0, 2) = {z ∈ C: 0 < |z + i| < 2}, (e) w pierścieniu P (2i, 1, 3) = {z ∈ C: 1 < |z − 2i| < 3}, (f) w pierścieniu P (−2i, 1, 3) = {z ∈ C: 1 < |z + 2i| < 3}.

3. Funkcj ↪e f(z) = 1 z2

Ln(1 + z) rozwin ↪ać w szereg Laurenta w otoczeniu nak lutym punktu z0 = 0. Wyznaczyć obszar zbieżności otrzymanego szeregu oraz residuum funkcji f w punkcie z0.

4. Znaleźć zera poniższych funkcji i określić ich krotność:

(a) f(z) = z sin z,

(b) f(z) = ctgz,

(c) f(z) = (z − 1)2 cos(πz)

(2z − 1)(z2 + 1)5 sin3(πz) .

5. Znaleźć bieguny poniższych funkcji, określić ich krotność oraz obliczyć residua:

(a) f(z) = 1

(2− z)(z2 − 4) ,

(b) f(z) = 1

(z2 + 4)3 ,

(c) f(z) = eiπz−4,

(d) f(z) = πctg(πz)

z2 .

16

docsity.com

6. Wyznaczyć izolowane punkty osobliwe nast ↪epuj ↪acych funkcji oraz określić ich rodzaj:

(a) f(z) = z + 2

(z − 1)3(z + 1)z ,

(b) f(z) = 1

sin z ,

(c) f(z) = 1

(z2 + i)3 ,

(d) f(z) = tg2z,

(e) f(z) = e 1

z−2i ,

(f) f(z) = 1− cos z

z2 ,

(g) f(z) = sin z

z4 ,

(h) f(z) = 1− e−z

1 + ez .

7. Wyznaczyć residua funkcji f(z) w jej punktach osobliwych:

(a) f(z) = z2 + 1

z − 2 ,

(b) f(z) = cos z

z − i ,

(c) f(z) = z2

(z2 + 1)2 ,

(d) f(z) = e z+1 z ,

(e) f(z) = cos 1

z ,

(f) f(z) = e 1 z ,

(g) f(z) = 1

z + 1 ez,

(h) f(z) = 1

1− ez ,

(i) f(z) = ctg2z.

8. Określić rodzaj osobliwości funkcji f(z) w punkcie z0 = 0 i wyznaczyć residuum w tym punkcie:

(a) f(z) =

( z +

1

z

)−1 ,

(b) f(z) = (ez − 1)−1 − 1 z

,

(c) f(z) = ctgz − 1 z

.

17

docsity.com

VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana

1. Obliczyć ca lki ∮ γ

f(z) dz (korzystaj ↪ac z twierdzenia o residuach lub ze wzoru ca lkowego

Cauchy’ego), jeśli:

(a) f(z) = 1

1 + z4 , γ : x2 + y2 − 2x = 0,

(b) f(z) = 1

(z − 1)2(z2 + 1) , γ : x2 + y2 = 2x + 2y,

(c) f(z) = 2z

z(z − 1) , γ : x2 + y2 = 9,

(d) f(z) = z2

2z − 1 , γ(t) = 2eit, t ∈ [0, 2π],

(e) f(z) = eiz

z2 , γ = S1,

(f) f(z) = sin z

z , γ = S1,

(g) f(z) = ez

z4 − 1 , γ = ∂D(a, a) , a > 1,

(h) f(z) = z sin z

(z − i)3 , γ : 4x2 +

y2

4 = 1.

2. Wykorzystuj ↪ac metody funkcji zespolonych, obliczyć ca lki rzeczywiste:

(a)

∫ ∞ −∞

cosx

x2 + 9 dx,

(b)

∫ ∞ −∞

x sin x

x2 + 4x + 20 dx,

(c)

∫ ∞ −∞

cosx

x4 + 1 dx,

(d)

∫ ∞ −∞

cosx

x2 + a2 dx , a > 0,

(e)

∫ ∞ −∞

cosx

(x2 + a2)2 dx , a > 0,

(f)

∫ ∞ 0

x sin x

(x2 + a2)2 dx , a > 0,

(g)

∫ ∞ 0

cos(mx)

(x2 + a2)2 dx , a > 0 , m > 0.

18

docsity.com

3. Stosuj ↪ac podstawienie z = e ix (zmieniaj ↪ac odpowiednio drog ↪e ca lkowania) obliczyć

nast ↪epuj ↪ace ca lki, korzystaj ↪ac z twierdzenia o residuach:

(a)

∫ 2π 0

dx

5 + 4 sinx ,

(b)

∫ 2π 0

dx

1 + 8 cos2 x ,

(c)

∫ 2π 0

dx

1− 2a cosx + a2 , 0 < a < 1,

(d)

∫ 2π 0

dx

(2 + cos x)2 ,

(e)

∫ 2π 0

dx

cosx + a , a > 1,

(f)

∫ 2π 0

sin2 x

a + b cosx dx , a > b > 0,

(g)

∫ 2π 0

cos2 3x

1− 2a cos 2x + a2 dx , |a| < 1.

4. Obliczyć ca lk ↪e

∫ ∞ 0

( sin x

x

)2 dx.

Wsk.: Rozważyć funkcj ↪e pomocnicz ↪a: f(z) = 1− e2iz

z2 .

5. Obliczyć ca lk ↪e

∫ ∞ 0

( sin x

x

)3 dx.

Wsk.: Rozważyć funkcj ↪e pomocnicz ↪a: f(z) = 3eiz − e3iz − 2

z3 .

19

docsity.com

IX. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum

1. Określić liczb ↪e rozwi ↪azać poniższych równań, leż ↪acych wewn ↪atrz ko la jednostkowego D(0, 1) = {z ∈ C: |z| < 1}:

(a) 2z5 − z3 + 3z2 − z + 8 = 0, (b) z7 − 5z4 + z2 − 2 = 0, (c) z9 − 2z6 + z2 − 8z − 2 = 0, (d) z8 − 4z5 + z2 − 1 = 0, (e) z4 − 5z + 1 = 0, (f) z5 − 16z + 14 = 0, (g) 4z5 + z4 + z2 + 1 = 0,

(h) z5 − 4z4 − z3 + 1 = 0.

2. Wyznaczyć liczb ↪e pierwiastków równania e z−α = z, gdzie α ∈ R , α > 1, leż ↪acych

wewn ↪atrz ko la jednostkowego.

3. Wykazać, że jeśli f jest funkcj ↪a holomorficzn ↪a w dysku D = {z ∈ C: |z| < 1} i |f(z)| < 1 dla z ∈ D, to równanie f(z) = z ma dok ladnie jeden pierwiastek w D.

4. Wykazać, że jeśli funkcja f jest holomorficzna dla |z| > 1, posiada skończon ↪a granic ↪e przy z → ∞ i jest ci ↪ag la na zbiorze {z ∈ C: |z| ≥ 1}, to |f(z)| osi ↪aga maksimum na okr ↪egu S

1 = {z ∈ C: |z| = 1}.

5. Wykazać, że jeśli P jest wielomianem stopnia n i dla pewnej sta lej M zachodzi nierówność |P (z)| < M dla |z| ≤ 1, to dla |z| ≥ 1 prawdziwa jest nierówność: |P (z)| ≤M |z|n.

6. Wykazać, że jeśli f jest funkcj ↪a holomorficzn ↪a na spójnym obszarze D oraz |f(z)| jest sta ly w D, to f jest sta la w D.

20

docsity.com

X. Funkcje harmoniczne

1. Znaleźć funkcj ↪e u(x, y) harmoniczn ↪a w obszarze D i spe lniaj ↪ac ↪a warunek brzegowy u|∂D = ϕ, jeżeli:

(a) D = {

(x, y):x2 + y2 < 1 } , ϕ(x, y) = x + xy,

(b) D = {

(x, y):x2 + y2 < 4 } , ϕ(x, y) = x2 − 2xy + 2y2,

(c) D = {

(x, y):x2 + y2 < 1 } , ϕ(x, y) = x2 − 3xy − 2y2 − 2,

(d) D = {

(x, y):x2 + y2 < 4 } , ϕ(x, y) = x + 3xy − x2y,

(e) D = {

(x, y):x2 + y2 < a2 } , ϕ(x, y) = 3x2 + xy − 3y2 + x− y − 2 , a > 0.

2. Znaleźć funkcj ↪e u(x, y) harmoniczn ↪a w obszarze D, spe lniaj ↪ac ↪a warunek brzegowy ∂u ∂n |∂D = ϕ i tak ↪a, że u(0, 0) = a, jeżeli:

(a) D = {

(x, y):x2 + y2 < 1 } , ϕ(x, y) = x + y , a = 0,

(b) D = {

(x, y):x2 + y2 < 1 } , ϕ(x, y) = x3 − y3 , a = 3,

(c) D = {

(x, y):x2 + y2 < 1 } , ϕ(x, y) = x2 , a = 0.

3. Pokazać, że jeśli f :D1 → D2 jest funkcj ↪a holomorficzn ↪a w obszarze D1 oraz u:D2 → R jest harmoniczna w obszarze D2, to superpozycja u ◦ f jest harmoniczna w D1.

4. Wyznaczyć funkcj ↪e u(x, y) harmoniczn ↪a w górnej pó lp laszczyźnie, ci ↪ag l ↪a dla y ≥ 0, ograniczon ↪a w nieskończoności i spe lniaj ↪ac ↪a warunek brzegowy: u(x, 0) = α(x) dla x ∈ R.

5. Zbadać czy obszar D = {(x, y): 0 < x2 + y2 < 1} jest regularny ze wzgl ↪edu na zagad- nienie Dirichleta.

21

docsity.com

XI. Funkcje specjalne Eulera

1. Pokazać, że funkcja beta Eulera, zdefiniowana wzorem:

B(a, b) =

∫ 1 0

xa−1(1− x)b−1dx , dla a, b ∈ C , Re a > 0 , Re b > 0

spe lnia nast ↪epuj ↪ace tożsamości:

(a) B(a, b) = B(b, a) , B(1, 1) = 1,

(b) B(a, b) = b− 1

a + b− 1 B(a, b− 1),

(c) B(m,n) = (m− 1)!(n− 1)!

(m + n− 1)! dla m,n ∈ N,

(d) B(a, a) = 1

22a−1 B

( 1

2 , a

) ,

(e) B(a, b) =

∫ ∞ 0

ya−1

(1 + y)a+b dy,

(f) B(a, b) =

∫ 1 0

xa−1 + xb−1

(1 + x)a+b dx,

(g)

∫ π 2

0

sinm x cosn x dx = 1

2 B

( m + 1

2 , n + 1

2

) .

2. Pokazać, że funkcja gamma Eulera, zdefiniowana wzorem:

Γ(z) =

∫ ∞ 0

e−t tz−1dt , dla Re z > 0

spe lnia nast ↪epuj ↪ace tożsamości:

(a) Γ(z + 1) = zΓ(z) , Γ(1) = 1 , Γ(n + 1) = n! dla n ∈ N,

(b) B(x, y) = Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y) ,

(c) Γ(z) = lim n→∞

nzn!

z(z + 1) . . . (z + n) (tzw. wzór Gaussa)

Wsk.: Zastosować podstawienie u = e−t i zauważyć, że lim n→∞

[ n (

1− u 1n )]

= ln 1 u .

(d) Γ(z) = 1

z

∞∏ n=1

( 1 + 1

n

)z 1 + z

n

Wsk.: Wykorzystać wzór Gaussa.

3. Pokazać, że ci ↪ag un, określony wzorem:

un = 1 + 1

2 +

1

3 + · · ·+ 1

n − lnn

jest zbieżny. Granic ↪e tego ci ↪agu oznaczamy przez γ i nazywamy sta l ↪a Eulera. Wsk.: Rozważyć ci ↪ag pomocniczy vn = 1 +

1 2

+ · · ·+ 1 n − ln(n+ 1), zauważyć, że un jest

malej ↪acy, natomiast vn rosn ↪acy oraz un > vn.

22

docsity.com

4. Udowodnić nast ↪epuj ↪ace tożsamości:

(a) eγ = ∞∏ n+1

e 1 n

1 + 1 n

,

(b) 1

Γ(z) = eγzz

∞∏ n=1

( 1 +

z

n

) e−

z n (tzw. wzór Weierstrassa),

(c) d

dz (ln Γ(z)) = −γ − 1

z + z

∞∑ n=1

1

n(n + z) ,

(d) d2

dz2 (ln Γ(z)) =

∞∑ n=0

1

(n + z)2 .

5. Zak ladaj ↪ac, że prawdziwe jest wyrażenie asymptotyczne postaci:

Γ(z) = exp

[( z − 1

2

) ln z − z + 1

2 ln(2π)

] (1 + τ(z)) gdzie |τ(z)| ≤ const

|z|

wyprowadzić tzw. wzór Stirlinga na n!:

n! ≈ exp [(

n + 1

2

) ln(n + 1)− n− 1 + ln

√ 2π

] ≈ √

2πnn+ 1 2 e−n

23

docsity.com

XII. Transformata Fouriera

1. Zbadać dla jakich z ∈ C zbieżne s ↪a szeregi:

(a) ∞∑ n=1

(−1)n−1 sin(nz) n

,

(b) ∞∑ n=1

(−1)n−1 cos(nz) n2

.

2. Obliczyć transformaty Fouriera nast ↪epuj ↪acych funkcji:

(a) f(t) =

 t + 2ω dla − 2ω ≤ t ≤ 0 2ω − t dla 0 ≤ t ≤ 2ω

0 dla |t| > ω , ω > 0,

(b) f(t) =

 1 dla − 2ω ≤ t < 0 −1 dla 0 < t ≤ 2ω 0 dla |t| > ω i t = 0

, ω > 0,

(c) f(t) = e−αt 2

, α > 0.

3. Obliczyć F2 [ e−|x|

] , gdzie F2 = F ◦ F oznacza drug ↪a iteracj ↪e transformaty Fouriera.

4. Niech F oznacza transformat ↪e Fouriera oraz oznaczmy F(f) = F . Wykazać, że praw- dziwe s ↪a nast ↪epuj ↪ace w lasności:

(a) Jeśli tnf(t) jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

dn

dωn F (ω) = (−i)n

∫ ∞ −∞

e−iωttnf(t) dt = (−i)nF [tnf(t)] (ω)

(b) Jeśli f, f ′, . . . , f (n) s ↪a bezwzgl ↪ednie ca lkowalne na R, to

F [ f (n)(t)

] (ω) = (iω)nF (ω)

(c) Jeśli f oraz ϕ(t) = ∫ t t0 f(τ)dτ s ↪a bezwgl ↪ednie ca lkowalne na R oraz limt→±∞ϕ(t) = 0,

to

F [ϕ(t)] (ω) = 1

iω F (ω)

(d) Jeśli f jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

F [f(t− t0)] (ω) = e−iωt0F (ω)

(e) Jeśli f jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

F [ eiω0tf(t)

] = F (ω − ω0)

(f) Jeśli f jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

F [f(t) cos(ω0t)] (ω) = 1

2 [F (ω − ω0) + F (ω + ω0)]

24

docsity.com

(g) Jeśli f jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

F [f(t) sin(ω0t)] (ω) = 1

2 [F (ω − ω0)− F (ω + ω0)]

(h) Jeśli f jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

F [ f

( t

a

)] (ω) = |a|F (aω)

(i) Jeśli f jest bezwzgl ↪ednie ca lkowalna na R, to

F [ f(t)

] (ω) = F (−ω)

25

docsity.com

XIII. Transformata Laplace’a

1. Wyznaczyć transformaty Laplace’a nast ↪epuj ↪acych funkcji:

(a) f(z) = eat , a > 0 , g(z) = cos(kt) , h(z) = sin(kt) , k ∈ Z, (b) f(z) = cosh(kt) , g(z) = sinh(kt) , k ∈ Z , h(z) = tα , α > −1, (c) f(z) = 1

2 (sin t + t cos t) , g(z) = sin(kt)eat , h(z) = t cos(kt) , a > 0, k ∈ Z.

2. Oznaczmy F (s) = L[f(t)](s). Pokazać, że dla m ≥ n prawdziwe s ↪a nast ↪euj ↪ace wzory:

(a) L

[ tm

dn

dtn f(t)

] (s) = (−1)m d

m

dsm [snF (s)],

(b) L

[ dn

dtn (tmf(t))

] (s) = (−1)msn d

m

dsm F (s).

3. Pokazać, że:

L

[ f(t)

t

] (s) =

∫ ∞ s

F (σ) dσ

(ca lkujemy po takiej drodze, że Reσ → ∞). Korzystaj ↪ac z udowodnionego wzoru obliczyć: ∫ ∞

0

sin(kt)

t dt oraz L [Si(kt)] (s),

gdzie Si(kt) = ∫ t 0

sin(kτ) τ

dτ (tzw. sinus ca lkowy).

4. Pokazać, że jeśli f jest funkcj ↪a okresow ↪a o okresie podstawowym T , to

L [f(t)] (s) = 1

1− e−sT

∫ T 0

f(t)e−stdt

5. Wyznaczyć transformaty odwrotne nast ↪epuj ↪acych funkcji:

(a) F (s) = s2 + s + 1

s3 + s ,

(b) F (s) = −s + 1

(s + 1)(s2 + 4s + 13) ,

(c) F (s) = 5s + 3

s(s− 1)(s2 + 2s + 5) ,

(d) F (s) = s + 5

s(s2 + 10s + 29) ,

(e) F (s) = 1

s(s− 2)2 ,

(f) F (s) = s2

(s2 + 4)2 ,

(g) F (s) = s2 − 4

(s2 + 4)2 ,

26

docsity.com

(h) F (s) = s2

(s2 + 1)2 ,

(i) F (s) = 1

s(s + a)3 , a ∈ R,

(j) F (s) = s

(s + a)(s + b) , a, b ∈ R.

6. Stosuj ↪ac przekszta lcenie Laplace’a, rozwi ↪azać nast ↪epuj ↪ace zagadnienia Cauchy’ego:

(a) y′′ − y′ − y = 1 , y(0) = 1 , y′(0) = 0, (b) y′′ + 2y′ + y = 5 sin(2t) , y(0) = y′(0) = 0,

(c) y′′ + 9y = 30 cosh t , y(0) = 3 , y′(0) = 0,

(d) y′′ − 2y′ + y = t2et , y(0) = y′(0) = 0, (e) y′′ − y = 4 sin t + 5 cos(2t) , y(0) = −2 , y′(0) = 3, (f) y′′′ + y′ = e2y , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

(g) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 6e−t , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,

(h) y(4) + 4y = t2 , y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0.

7. Rozwi ↪azać nast ↪epuj ↪ace równania różniczkowo-ca lkowe:

(a) f ′(x)− f(x) + ∫ x 0

(x− t)f ′(t)dt− ∫ t 0

f(t)dt = x , f(0) = −1,

(b) f ′′(x)− 2f ′(x) + f(x) + 2 ∫ x 0

cos(x− t)f ′′(t)dt + 2 ∫ t 0

sin(x− t)f ′(t)dt = cos x ,

f(0) = f ′(0) = 0,

(c) f ′′(x)− f(x)− ∫ x 0

f(t) sinh(x− t)dt + ∫ t 0

f ′(t) cosh(x− t)dt = cosh x ,

f(0) = −1 , f ′(0) = 1.

8. Rozwi ↪azać nast ↪epuj ↪ace uk lady równań różniczkowych:

(a)

{ y′ − z′ − 2y + 2z = 1− 2t

y′′ + 2z′ + y = 0 , y(0) = y′(0) = z(0) = z′(0) = 0,

(b)

{ z′ − 2y − z = 0

y′ + z = 0 , y(0) = z(0) = 0,

(c)

 x′ = y − z y′ = x + y z′ = x + z

, x(0) = 1 , y(0) = 2 , z(0) = 3.

27

docsity.com

9. Rozwi ↪azać nast ↪epuj ↪ace uk lady równań ca lkowych:

(a)

 f1(x) = 1− 2

x∫ 0

f1(t)e 2(x−t)dt +

x∫ 0

f2(t)dt

f2(x) = 4x− x∫ 0

f1(t)dt + x∫ 0

(x− t)f2(t)dt ,

(b)

 f1(x) = e

x + x∫ 0

f1(t)dt− x∫ 0

f2(t)e x−tdt

f2(x) = −x− x∫ 0

(x− t)f1(t)dt + x∫ 0

f2(t)dt ,

(c)

 f1(x) = e

x − x∫ 0

f1(t)dt + 4 x∫ 0

f2(t)e x−tdt

f2(x) = 1− x∫ 0

f1(t)e t−xdt +

x∫ 0

f2(t)dt ,

(d)

 t∫ 0

τf ′(τ)dτ = 1 2 t2 + 1− g(t)

f(t) = t∫ 0

g(τ)dτ

.

28

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome