Całki oznaczone - Notatki - Analiza matematyczna - Część 3, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8425 March 2013

Całki oznaczone - Notatki - Analiza matematyczna - Część 3, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics

PDF (444.2 KB)
12 strona
568Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach przedstawiane zostają zagadnienia z analizy matematycznej: całki oznaczone. Część 3.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Analiza matematyczna, całki oznaczone 25/36

Zadania z kolokwiów i egzaminów Zadania pochodzą ze zbioru „Analiza matematyczna 1 – kolokwia i egzaminy”

nieocenionego duetu Gewert&Skoczylas. Rozwiązania się pojawią – jak będę potrafił je rozwiązać.

Zadanie (poważne) 1

Obliczyć całkę oznaczoną ∫ 0

e

ln x1dx .

Zadanie 2

Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywą xy= y2−2 i osią Oy.

Zadanie 3

Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresami funkcji: y=2−x2 , y=x 2 .

Zadanie 4

Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: y=x ex , x=1 , y=0 .

No i walczymy:

Rozwiązanie zadania 1

∫ 0

e

ln x1dx

Do obliczenia takiej całki nie trzeba będzie (zbyt) wiele kombinować. Jak już pewno zauważycie, idealnie nadaje się tutaj całkowania przez podstawienie.

W takim razie, podstawienia typu: x1=t dx=dt

oraz nowe granice całkowania: e1=...e1

01=1

wrzucamy na pełnej kurwie w przykład:

∫ 0

e

ln x1dx=∫ 1

e1

ln t dt (*)

Liczyliśmy kiedyś całkę nieoznaczoną z logarytmu naturalnego i pozwólcie, że zrobimy to raz jeszcze, całkując przez części. Potem to, co nam wyjdzie, wykorzystamy przy obliczaniu całki oznaczonej.

Nic się nie stanie, jeżeli napiszemy taką bzdurę: ∫ ln t dt=∫ ln t∗1dt

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 26/36

Robimy na szybko coś w stylu tabelki: f t=ln t g ' t =1

f ' t =1 t

g t =t

Mnożymy to, co jest na krzyż (z lewej do prawej): ln tt ...

I odejmujemy całkę z pomnożenia dolnego wiersza:

ln tt−∫ 1tt dt

I to jest całka z logarytmu naturalnego:

∫ ln t dt=ln tt−∫1tt dt=ln tt−∫dt=ln ttt=t ln t−1

Wracamy se do miejsca oznaczonego (*):

∫ 1

e1

ln t dt=[ t ln t−1] e1 1

Najpierw obliczymy wartość dla e + 1: e1∗ln e1−1=e1ln e1−e−1

i nic więcej tutaj nie zakombinujemy, zaś dla jedynki: 1ln 1−1=−1

w związku z tym zwierzątko się wyliczy takie: [t ln t−1] e1

1 =e1 ln e1−e−11=e1ln e1−e

Rozpieprzyliśmy ten przykład. A więc odpowiedzią będzie:

∫ 0

e

ln x1dx=e1ln e1−e

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 27/36

Rozwiązanie zadania 2

Musimy znaleźć pole obszaru, ograniczonego równaniem xy= y2−2 i ośką Oy. Wygodnie będzie tutaj operować y jako zmienną niezależną (albo, jak nadal nie wiecie, o co biega – zamieniamy rolami x i y , nie zaprzątamy sobie głowy innymi pierdołami):

x= y 2− y−2

Będzie to parabola w stylu:

Znamy wzór funkcji, która ogranicza nas z góry ( y=0 ), z dołu ( x= y 2− y−2 ). Potrzebujemy bramkarzy z lewej i prawej, ale wystarczy obliczyć miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej. Nic trudnego, poziom na pewno maturalny – wiecie, delta i te sprawy. Ja jednak pozgaduję, korzystając z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu (o co biega? Polecam jakikolwiek podręcznik do matematyki z liceum):

x 2=4−2−2=0 x −1=11−2=0

No i mamy granice całkowania. Obliczmy taką całkę:

∫ −1

2

[0− y2− y−2]dy=

Wyrzućmy minus przed całkę:

=−∫ −1

2

y2− y−2dy=

Scałkowanie tego nie jest specjalnie trudne:

=−[ y 3

3 − y

2

2 −2 y ] 2

−1

Proponuję tym minusem zająć się na samym końcu (po prostu dołożymy go przed rozwiązanie). Obliczmy wartość tego zawodnika dla y = 2:

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 28/36

8 3 −4

2 −4=16

6 −12

6 −24

6 =−20

6

A teraz dla y = - 1: −1 3 −1

2 2=−2

6 −3

6 12

6 =7

6

Pierwsze minus drugie: −20

6 −7

6 =−27

6 =−9

2

A ponieważ mieliśmy tam jeszcze minusa przed całką, to:

∫ −1

2

[0− y2− y−2]dy=−−9 2 =9

2

Znów rozwaliliśmy kolejnego Pudziana.

Następny przykład tak naprawdę powinien się pojawić w pomocy o całkach nieoznaczonych. A to dlatego, że do obliczenia zwierzątka, które się tam pojawi, potrzeba odprawić szamańskie rytuały. Ale i z tym sobie poradzimy... chyba.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 29/36

Rozwiązanie zadania 3

Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresami funkcji: y=2−x2 , y=x 2 .

Póki co – wygląda niewinnie... Błąd, kurwa – wygląda na taki przykład, któremu spuściłbym wpierdol, gdybym tylko miał jakąś siłę czy doświadczenie na siłowni (dres już mam).

Problem zaczyna się z narysowaniem tego na wykresie. Jeżeli pojawi się tu jakiś obszar, to na pewno jakby „zamknięty” z czterech stron – ja się pytam „Gdzie jest obszar”?

Okej, narysujemy najpierw wykres funkcji y=2−x2 (jak ktoś uważał w liceum czy technikum, to wie od razu, co namaluję):

jest to pół jebanego kółka. A parabolę już łatwo namalujemy:

Możemy zauważyć, że – ponieważ obydwie funkcje są symetryczne – to dzielą się na dwie równe połówki. W związku z tym – wystarczy, że obliczymy pole tego zaznaczonego na szaro:

pomnożymy razy 2 – i po robocie, przykład rozwalony.

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 30/36

Poszukajmy równań, które ograniczają nam ten obszar. Z góry niewątpliwie będzie to y=2−x2 , z dołu y=x 2 . Z lewej ogranicza nas, co widać, x=0 . Prawą stronę musimy se

wyliczyć, albo zgadnąć.

Wiemy, że przecinają się tam te dwa gópie równania, w związku z tym: 2−x2= x2

Ponieważ bawimy się w tej części układu współrzędnych, gdzie wartości funkcji są dodatnie, a słońce nigdy nie zachodzi, to bez problemu podniesiemy to wszystko do kwadratu:

2−x2= x4

A wszystko – na lewą stronę: −x4− x22=0

Trzeba obliczyć iksa – takie coś robi się na pewno w zakresie rozszerzonym w liceum. Przypomnę: za iksa do kwadratu coś podstawiamy:

x2=t (*)

Wracamy do równania: −t2−t2=0

Wyliczmy deltę: Δ=18=9

Oraz możliwe wartości t: t 1=

1−3 −2

=1

t 2= 13 −2

=−2

Od razu odrzucamy t 2 , bo zapis x2=−2

wygląda bezsensownie, a wierzcie mi – nie ma najmniejszej potrzeby mieszać w to liczb urojonych. W związku z tym, wróćmy do (*) i zobaczmy, czego się dowiedzieliśmy:

x2=1

No więc, tak zacznę zdanie, x=1 ˅ x=−1

Wiemy, że poruszamy się w obszarze, gdzie wszystko jest na plusie, więc granica całkowania z prawej strony będzie równa x=1 , co można było o wiele szybciej zgadnąć albo odczytać z

rysunku.

Całka do wyliczenia będzie miała w takim razie postać:

2∫ 0

1

2− x2−x2dx (razy dwa, ponieważ tak naprawdę policzymy połówkę obszaru, mnożąc przez 2 – cały obszar)

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 31/36

Pomińmy, póki co, tą dwójkę stojącą z przodu i rozpieprzmy całkę na dwie:

∫ 0

1

2− x2−x 2dx=∫ 0

1

2−x2 dx−∫ 0

1

x2 dx (*)

Wyliczymy wszystko z tej drugiej, bo jest trochę łatwiejsza:

∫ 0

1

x2 dx=[ x 3

3 ]1

0 =1

3

By obliczyć tą:

∫ 0

1

2−x2 dx

obliczymy se najpierw całkę nieoznaczoną: ∫2−x2 dx

i tutaj, proszę Państwa, zaczniemy najbardziej powalony przykład z tej pomocy.

Ni chuja tego nie ruszymy przez podstawienie (gdzieś się będzie pałętać niezamienione x, albo sobie skomplikujemy przykład), a przez części – zapewne będziemy liczyć pochodną z tego

pierwiastka i cały przykład pójdzie w pizdu. Dlatego – dziękując Panu Włodarskiemu i Krysickiemu za napisanie „Analizy matematycznej w zadaniach” - zaczniemy powoli. Radzę bardzo powoli, notując sobie niektóre rzeczy na kartce, przejrzeć ten przykład bez pośpiechu.

Ostatnią deską ratunku będzie zadziałanie z tym pierwiastkiem. Otóż, zróbmy takiego myka:

2−x2=2−x 2∗2−x2

2− x2 = 2− x

2

2− x2

Wrzućmy to do całki – i od razu rozjebmy na dwie

∫2−x2 dx=∫ 2−x 2

2−x2 dx=

=∫ 22− x2 dx−∫ x

2

2−x2 dx

Jeżeli oznaczymy sobie całkę ∫2−x2 dx jako I 1 , zaś całkę ∫ x 2

2− x2 dx= I 2 , otrzymamy

dosyć osobliwe równanie:

I 1=∫ 2 2−x2 dxI 2 (**)

Została nam tutaj jedna całka, którą wyliczymy. Kiedyś liczyliśmy coś podobnego, a byłoby fajnie, gdyby trafić na wzorek:

∫ 11−x2 dx=arcsin x

W związku z tym, zrobimy kolejnego myka:

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 32/36

∫ 22−x2 dx=2∫ dx

2[1− x 2 2] = 2 2∫

dx

1− x2 2 Dwójka poszła przed całkę, zaś w pierwiastku wyłączyliśmy 2 przed nawias. Potem, wiedząc, co w

pierwiastku wolno, pierwiastek z dwóch również wyrzuciliśmy przed całkę.

Zrobimy se podstawienie: x 2

=t

dx=2∗dt

Wrzucając to w całkę: 2 2∫

dx

1− x 2 2 =2∫ dt1−t 2

=

otrzymamy:

=2 arcsin t=2 arcsin  x 2

Pokręćmy trochę rolką w górę, do tego miejsca (**):

I 1=∫ 2 2−x2 dxI 2

i wrzućmy to w koszta:

I 1=2 arcsin  x 2

−I 2 (***)

Pisałem coś o obliczaniu całki przez części – my jednak zaryzykujemy i przekornie, wbrew temu, co napisałem, obliczymy całkę I 1 (przypomnę: I 1=∫2− x2 dx ) przez części.

Znów – prowizoryczna tabelka:

f x =2−x2 g ' x =1

f ' x= −x 2−x2

g x= x

Skąd sobie wypiszemy, że:

∫2−x2 dx= x∗ 2−x2∫ x2− x2 dx

Wróćmy do (**). Ponieważ I 2=∫ x 2

2− x2 dx , zaś I 1=∫2− x2 dx , to powyższe równanie

mogę zapisać w postaci: I 1=x∗2− x2I 2 (iv)

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 33/36

Przepiszmy równania (***) i (iv):

I 1=2 arcsin  x 2

−I 2

I 1=x∗2− x2I 2 ,

z czego I 1=∫ 2− x2 dx (przypomnę – to nasza szukana całka!)

Gdy powyższe dwa równania dodamy stronami, wyjdzie nam ( I 2 się zredukuje):

2 I 1=2arcsin  x 2

x∗2− x2

Dzieląc przez dwa, wyliczamy I 1 , czyli szukaną całkę... Uff!

I 1=arcsin  x 2

 x∗2− x 2

2

∫2−x2 dx=arcsin  x2  x∗2− x2

2

Ło Jezu, ile mordęgi! Na szczęście, jesteśmy blisko wyliczenia wszystkiego. Otóż, wróćmy aż do (*):

∫ 0

1

2− x2−x 2dx=∫ 0

1

2−x2 dx−∫ 0

1

x2 dx

Tą drugą całkę po prawej stronie wyliczyliśmy, wyliczmy pierwszą:

∫ 0

1

2−x2 dx=[arcsin  x 2

 x∗2−x 2

2 ]1

0

Wyliczmy wartość tego, co w nawiasie kwadratowym, dla jedynki:

arcsin  1 2

1∗2−1 2

2 =arcsin  2

2 1

2

Trochę problemów może być z arcus sinusem. Korzystając z tabelki z wartościami funkcji

trygonometrycznych, zapytajmy się: „Dla jakiego kąta sinus ma wartość 2 2

„? Szybko

odpowiemy sobie – dla 45 stopni, co w radianach (w takiej jednostce wyrażamy zwykle kąty w

matematyce) daje jakieś π 4 . W związku z tym,

arcsin  2 2  1

2 = π

4  1

2 Okej, obliczyliśmy wartość dla 1. Dla 0 nie warto marnować papieru – arcus sinus da równe 0, zaś

odejmiemy też zero. W związku z tym,

∫ 0

1

2−x2 dx=[arcsin  x 2

 x∗2−x 2

2 ]1

0 =π

4 1

2 co za tym idzie:

∫ 0

1

2− x2−x 2dx=∫ 0

1

2−x2 dx−∫ 0

1

x2 dx=π 4 1

2 −1

3

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 34/36

Może już zapomnieliście, a może i nie – jest to pole tego obszaru:

A że cały obszar, o którym wspomina zadanie, to też jego identyczna (pod względem powierzchni) lewa połówka, więc cały wynik pomnożymy razy dwa (wspomniałem o tym na początku zabawy):

2∗π 4 1

2 −1

3 =π

2 −1

3

O kurwa, to koniec!

2∫ 0

1

2− x2−x2dx=π2− 1 3

Miejmy nadzieję, że następny przykład będzie mniej zacięty w walce...

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 35/36

Rozwiązanie zadania 4 Ten jeden, jedyny raz posłużymy się prawie gotowym wykresem:

Ta cieńsza czerwona linia – to wykres y=x ex , zaś czerwonymi oznaczyłem x=1 oraz y=0 .

Na koniec – raczej prosta całka do obliczenia, proponuję, byście wy najpierw ją obliczyli, a potem bluzgali mnie za moje błędy w rozwiązaniu.

Granice znamy – z góry y=x ex , z dołu y=0 , z lewej x=0 (to odczytujemy z wykresu) oraz z prawej x=1 . Obliczymy takiego zwierzaczka

∫ 0

1

x ex dx

ja tam najpierw obliczę całkę nieoznaczoną (by potem ją wykorzystać).

Aby obliczyć to: ∫ x ex dx

trochę pocałkujemy przez części:

f x =x g ' x =ex

f ' x=1 g x=−ex (*)

(*) - obliczenie tego to tylko scałkowanie tej górnej funkcji, przez banalne podstawienie – pozwolicie, że pominę tą część.

I uzyskamy: ∫ x ex dx=−xex∫ ex dx

Drugą całkę przed chwilą zgadywaliśmy, tak więc: ∫ x ex dx=−xexex=ex −x−1

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

Analiza matematyczna, całki oznaczone 36/36

Nie będzie problemem wstawienie tego do całki oznaczonej:

∫ 0

1

x ex dx=[ex −x−1]1 0

Wartość dla jedynki będzie równa:

e−1−1−1=−2 e

Zaś dla 0: e−00−1=1∗−1=−1

Kończąc ten przykład i tego bryka:

∫ 0

1

x ex dx=[ex −x−1]1 0 =−2

e −−1=1−2

e

No, to by było na tyle. Jeżeli chodzi o całki oznaczone, to mają zastosowania typu „Wyliczyć długość łuku” albo „objętość walca, powstałego przez obrót wokół osi OY”. Jednak i one sprowadzają się do całek oznaczonych, bo są na to gotowe wzory.

Moim celem było pokazanie, jak walczyć z całkami oznaczonymi, a przy okazji – trochę jeszcze poćwiczyliśmy z nieoznaczonych. Bo sami chyba przyznacie, że jak umiecie liczyć „te spierdolone całki”, to wszystko umiecie.

A jak nie udało mi się wszystkiego wyjaśnić, to trudno. Co napisałem, co zjadłem i co wypiłem (za Wasze powodzenie, oczywiście) podczas pisania tej pomocy, to moje.

pj poap[at]interia.pl

Bryki, do których się tutaj często odnoszę, są dostępne na stronie: http://www.poap.yoyo.pl/matd/

Autor: vbx (c) 2010

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome