Wnętrze, domknięcie, zbiory otwarte i domknięte - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Wnętrze, domknięcie, zbiory otwarte i domknięte - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (89.0 KB)
1 strona
662Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: wnętrze, domknięcie, zbiory otwarte i domknięte.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 4 (wn¦trze, domkni¦cie, zbiory otwarte i domkni¦te)

Zad 1. Pokaza¢, »e ci¡g w przestrzeni z metryk¡ dyskretn¡ jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca staªy.

Zad 2. Wyznaczy¢ wn¦trze, domkni¦cie, brzeg oraz pochodn¡ danego podzbioru prostej euklidesowej (R, de):

A = N, B = Z, C = Q, D = R \Q, E = R, F = (0, 3], G = (−∞, 5],

H = (1, 2) \Q, I = [−3, 3) ∪ (5,+∞), J = { x = 2

1 n : n ∈ N

} ∪ {x : |x− 4| < 1},

K =

{ x = (−1)n

( 1 +

1

n

) : n ∈ N

} ∪ {x : |x| > 2}, L =

{ (−1)n

n : n ∈ N

} ∪ ( [1, 2]∩Q

) .

Zad 3. Na pªaszczy¹nie euklidesowej (R2, de) wyznaczy¢ wn¦trze, domkni¦cie, brzeg oraz pochodn¡ zbioru

A = [0, 1]× [0, 1), B = {(

1

n , (−1)n

) : n ∈ N

} , C = {(x, y) : y = sin 1

x , x > 0},

D = {(x, y) : x, y ∈ Q}, E = {

(x, y) : y = 1

n x, n ∈ N

} , F = {(x, y) : y = qx, q ∈ Q} ,

G =

{ (x, y) : y2 + x2 =

( 1− 1

n

)2 , n ∈ N

} , H = {(x, y) : x ∈ [1, 2) ∩Q, y ∈ (1, 2) \Q} .

Zad 4. Sprawdzi¢, czy zbiór {tp + (t − 1)q : t ∈ (0, 1)} ⊂ R2, gdzie p, q ∈ R2, jest otwarty w metryce: a) euklidesowej, b) rzeka, c) studnia.

Zad 5. Wyznaczy¢ wszystkie zbiory otwarte i wszystkie zbiory domkni¦te w przestrzeni z metryk¡ dyskretn¡.

Zad 6. Pokaza¢, »e w dowolnej przestrzeni metrycznej kula otwarta jest podzbiorem otwar- tym, a kula domkni¦ta podzbiorem domkni¦tym.

Zad 7. Poda¢ przykªad przestrzeni metrycznej, w której: a) domkni¦cie kuli otwartej nie pokrywa si¦ z kul¡ domkni¦t¡, b) wn¦trze kuli domkni¦tej nie pokrywa si¦ z kul¡ otwart¡.

Zad 8. Niech τ b¦dzie rodzin¡ wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, d). Wykaza¢, »e

i) ∅ ∈ τ i X ∈ τ ,

ii) je±li U1, U2 ∈ τ , to U1 ∩ U2 ∈ τ ,

iii) je±li {Ui}i∈I ⊂ τ , to ⋃

i∈I Ui ∈ τ .

Zad 9. Pokaza¢ na przykªadzie, »e przekrój niesko«czonej ilo±ci zbiorów otwartych nie musi byc zbiorem otwartym.

Zad 10. Wykaza¢, »e podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest domkni¦ty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopeªnienie X \ A jest zbiorem otwartym.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome