Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (149.1 KB)
1 strona
588Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: różniczkowanie funkcji wielu zmiennych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 1 (różniczkowanie funkcji wielu zmiennych)

Zad 1. Zbadać różniczkowalność następujących funkcji

a) f(x, y) =

{ xy(x+y)√

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0), e) f(x, y, z) =

√ x2 + y2 + z2,

b) f(x) = x sin ‖x‖, x ∈ Rn, f) f(x, y) =

{ x2

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0),

c) f(x, y) =

{ e − 1

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0),

g) f(x, y) = x √

x2 + y2,

d) f(x, y, z) = √ |xy|+ |yz|+ |xz| h) f(x, y) =

{ (x2 + y2) sin 1

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

Zad 2. Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe

a) ∂10f

∂x2∂y8 , gdzie f(x, y) = exy, b)

∂5f

∂z2∂x∂y2 , gdzie f(x, y, z) = ln(x2 + 2y − z),

c) ∂m+nf

∂xm∂yn , gdzie f(x, y) = (1 + x)m(1 + y)n.

Zad 3. Pokazać, że funkcja f określona następująco f(x, y) = xy x 2−y2

x2+y2 dla (x, y) 6= (0, 0) oraz

f(0, 0) = (0, 0) posiada w punkcie (0, 0) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu, ale pochodne te nie są identyczne. Czy funkcja ta jest klasy C2 na R2?

Zad 4. Wyznaczyć macierze Jacobiego danych odwzorowan

a) f(x, y) = (ln xy, tg x

y ), b) f(x1, x2, x3, x4) = (3x

2 2 − 5x4, ln(1 + x23 + x24),

√ 1 + x21, x

5 2),

c) f(x, y, z) =

( x

y

)z , d) f(x, y, z) = ((x+ y)z, xy

z

).

Zad 5. Oblicz macierz Jacobiego superpozycji g ◦ f dwóch odwzorowań, gdzie :

a) f : R1 3 x 7−→ (x, ln(1 + x)) ∈ R2, g : R2 3 (x, y) 7−→ (sinx, ex+y, 1) ∈ R3,

b) f : R3 3 (x, y, z) 7−→ (x− y − z) ∈ R1, g : R1 3 x 7−→ (2x, 1 + x2, 0) ∈ R3

c) f : R2 3 (x, y) 7−→ (xy, x+ y, sinxy) ∈ R3, g : R3 3 (x, y, z) 7−→ (x+ y + z,−y) ∈ R2

Zad 6. Wyznaczyć różniczki zupełne

a) du, gdzie u(x) = ‖x‖x, x ∈ Rn

b) d2u, gdzie u(x, y, z) = z x+y2

c) d3u, gdzie u(x, y) = x3 + y3 − 3xy(x− y),

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome