Holomorfizm, funkcje harmoniczne - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza Matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Holomorfizm, funkcje harmoniczne - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 3, Notatki'z Analiza Matematyczna. University of Bialystok

PDF (151 KB)
1 strona
541Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: holomorfizm, funkcje harmoniczne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd1 strona / 1
Pobierz dokument

Analiza matematyczna III Lista 12

Zad 1. Znaleźć jawną postać f wiedząc, że funkcja f jest holomorficzna oraz

a) Re f(z) = Re z + 1, f(0) = 1 + i, b) Re f(z) = Re z · Im z, f(0) = 0.

Zad 2. Czy istnieje funkcja holomorficzna f = u+ iv, taka, że

a) u = v, b) u = x2 + y2, c) v = sinx, d) u = ex − ey.

Zad 3. Wykazać, że jeśli funkcja holomorficzna przyjmuje tylko wartości rzeczywiste, to jest stała.

Zad 4. Wykazać, że jeśli funkcja f i funkcja do niej sprzężona f są różniczkowalne w sensie zespolonym w punkcie z0 ∈ C, to f ′(z0) = 0.

Zad 5. Jeśli f = u+iv oraz z = r(cosϕ+i sinϕ), to u i v można traktować jako funkcje zmiennych r, ϕ. Pokazać, że u i v spełniają warunki Cauchy-Riemmana wtedy i tylko wtedy, gdy

∂u

∂r =

1

r

∂v

∂ϕ ,

∂v

∂r = −1

r

∂u

∂ϕ .

Zad 6. Wykazać, że jeśli u jest częścią rzeczywistą pewnej funkcji holomorficznej, to u jest funkcją harmoniczną, czyli spełnia równanie Laplace’a

∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2 = 0.

Na odwrót pokazać, że każda funkcja harmoniczna jest częścią rzeczywistą pewnej funkcji holo- morficznej. Jak rzecz ma się dla części urojonej funkcji holomorficznej?

Zad 7. Sprawdzić, czy podane funkcje są harmoniczne, jeśli tak, to znaleźć funkcje harmoniczne z nimi sprzężone: a) u = 1

2 ln(x2+y2), b) u = 2x−x3+3xy2, c) u = cos cos y, d) u = y

x2+y2

Zad 8. Niech z ∈ C \ {0}. Obliczyć całkę ∫ γ

1 ξ dξ, gdzie γ jest dowolnie wybraną krzywą nieprze-

chodzącą przez zero i łączącą punkty 1 i z.

Zad 9. Obliczyć całki:

a) ∫ |z−1|=2

z − 1 + 1 (z − 1)2

dz, b) ∫ |z−z0|=r

z dz, c) ∫ [1+i,1−i]

zez 2

dz.

Zad 10. Obliczyć całki ∫ K

f(z) dz, gdzie

a) f(z) = z|z|2 , K jest pierwszą ćwiartką okręgu o promieniu R i środku w (0,0) skierowaną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,

b) f(z) = cos z, K to łuk półokręgu o promieniu 1 łaczący punkty z0 = −i, z1 = i,

c) f(z) = sin(z), K to łamana zamknięta o wierzchołkach z = 0, z = π 2 , z = π

2 + π

2 i,

d) f(z) = zez, K jest łukiem elipsy x2 + 2y2 = 1 leżącym w pierwszej ćwiartce łączącym punkty z0 = 1, z1 = i√2 ,

e) f(z) = z z2+1

, K jest łukiem paraboli y = x2 łączacym punkty z0 = 0, z1 = 1 + i,

f) f(z) = ez, K jest odcinkiem o początku z = 1 i końcu z = i,

g) f(z) = Re(z), K jest częścią krzywej łączącej punkt (0, 0) z punktem (1, 1),

h) f(z) = z + 1 z2 , K = {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument