Przestrzenie metryczne, zbieżność - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Przestrzenie metryczne, zbieżność - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (101.2 KB)
1 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: przestrzenie metryczne, zbieżność.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 3 (przestrzenie metryczne, zbie»no±¢)

Zad 1. Sprawdzi¢, czy funkcja d : R× R→ R jest metryk¡ na R, gdzie a) d(x, y) = |x|+ |y|, b) d(x, y) = |x| · |y|, c) d(x, y) = |x− y|2.

Zad 2. Dla jakich odwzorowa« f : X → R funkcja d : X ×X → R dana wzorem d(x, y) = |f(x)− f(y)| jest metryka w X? Zad 3. Sprawdzi¢, czy funkcja d : N × N → R dana wzorem d(m,n) =

∣∣ 1 m − 1

n

∣∣, m,n ∈ N, jest metryk¡ w N. Je±li tak, to jak wygl¡daj¡ kule K1(1), K 1

2 (1) oraz K 1

2 (3) w tej metryce.

Zad 4. Pokaza¢, »e je±li (X, d) jest przestrzeni¡ metryczn¡, to metrykami s¡ równie» funkcje

d1(x, y) = a · d(x, y), a > 0, d2(x, y) = min{d(x, y), 1}, d3(x, y) = d(x, y)

1 + d(x, y) .

Pokaza¢, »e metryki te wprowadzaj¡ na X t¡ sam¡ rodzin¦ zbiorów otwartych, co wyj±ciowa metryka d.

Zad 5. Uzasadni¢, »e nast¦puj¡ce funkcje na pªaszczy¹nie R2 s¡ metrykami:

de(x, y) = √

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 (metryka euklidesowa), dt(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2| (metryka taksówkowa),

dm(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|} (metryka maximum), dw(x, y) =

√ |x1 − y1|+

√ |x2 − y2| (metryka wkl¦sªa),

gdzie x = (x1, x2), y = (y1, y2). Wyznaczy¢ posta¢ kul otwartych dla tych metryk oraz pokaza¢, »e wprowadzaj¡ one na R2 t¦ sam¡ rodzin¦ zbiorów otwartych. Zad 6. Uzasadni¢, »e nast¦puj¡ce funkcje s¡ metrykami na pªaszczy¹nie R2. S¡ to odpowied- nio tzw. metryka studni oraz metryka rzeki :

ds(x, y) =

 de(x, y), gdy x, y le»¡ na tej samej prostej

przechodz¡cej przez punkt (0, 0),

de(x, (0, 0)) + de(y, (0, 0)), w przeciwnym wypadku,

dr(x, y) =

{ |x2 − y2|, gdy x1 = y1 |x1 − y1|+ |x2|+ |y2|, w przeciwnym wypadku,

gdzie x = (x1, x2), y = (y1, y2) oraz de jest metryk¡ euklidesow¡. Wyznaczy¢ posta¢ kul otwartych oraz poda¢ interpretacje topologiczne dla tych metryk.

Zad 7. Niech de b¦dzie metryk¡ euklidesow¡, a dd metryk¡ dyskretn¡ na prostej R. Pokaza¢, »e funkcja

de×d ( (x, y)(u, v)

) = de(x, u) + dd(y, v)

jest metryk¡ na pªaszczy¹nie R2 oraz wyznaczy¢ posta¢ kul w tej metryce. Zad 8. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu {an}∞n=1 punktów na pªaszczy¹nie R2 we wszystkich me- trykach z zada« 5, 6 i 7, gdzie

an an an an a) (1, 2− 1

n ) c) ( (−1)

n

n , 3

n2 ) e) (1−2n

n , π) g) (2n+1

n , 2n+1

n )

b) (−1,−1) d) (3 + 1 n , 2− 1

2n ) f) (−2, (1+n)

2

n2+2n+1 ) h) ((1 + 1

n )n, 0)

Zad 9. Poda¢ przykªad dwu metryk d1, d2 okre±lonych w zbiorze X, dla których istnieje ci¡g {an}∞n=1 ⊂ X zbie»ny w metryce d1 do punktu g1 oraz zbie»ny w metryce d2 do punktu g2, gdzie g1 6= g2.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome