Kinematyka bryły - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology
guns_pistols
guns_pistols15 March 2013

Kinematyka bryły - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki'z Mechanika. Warsaw University of Technology

PDF (437.8 KB)
11 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: kinematyka bryły; ruch śrubowy, chwilowe osie obrotu, ruch kulisty, ruch płaski bryły.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 11
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
kinematyka_bryly cz2.pdf

przypadku modu y pr!dko"ci, przy"pieszenia stycznego i normalnego wyra#aj$

proste wzory:

ra,r%a,rv 2ns !" " !" . (5.42)

Przyk ad 5.4. Ci!#ar A zamocowany do linki nawini!tej na ma y obwód

ko owrotu (rys. 5.11) porusza si! w dó ruchem post!powym prostoliniowym

wed ug równania: , przy czym t

jest wyra#ony w sekundach, a x w

centymetrach. Obliczy& pr!dko"& i

przy"pieszenie punktu M le#$cego na

obwodzie du#ego ko a ko owrotu.

Promienie ko owrotu wynosz$: R = 60

cm, r = 20 cm.

x t" 15 2

Rozwi zanie. Pr!dko"& liniowa

ci!#aru A

v dx

dt t t cm s" 30 /A " " #2 15 .

Pr!dko"& k$tow$ ko owrotu obliczymy

na podstawie pierwszego wzoru (5.42):

1stA

2

3

r

t30

r

v """! $ .

v M

aM s

x

!

A

%

R

r

aM

aM n

O

v A

a A Rys. 5.11. Wyznaczenie pr!dko"ci i

przy"pieszenia punktu M w ruchu

b

Pr!dko"& liniowa punktu M

scmt90t r

R 30R

r

t30 RvM /"""!" .

Przy"pieszenie liniowe ci!#aru A jest pochodn$ jego pr!dko"ci wzgl!dem czasu:

a dv

dt cm sA

A" " 30 2/ .

Przy"pieszenie k$towe ko owrotu obliczymy na podstawie drugiego wzoru (5.42):

2A s 2

3

r

30

r

a %

$""" .

Przy"pieszenie liniowe punktu M jest sum$ wektorow$ sk adowej stycznej i nor-

malnej: n

M

s

MM aaa &" .

docsity.com

Warto"ci tych sk adowych obliczymy z drugiego i trzeciego wzoru (5.42):

222

2

2n

M

2s

M scmt135Rt 2

3 Ra,scm90R

2

3 Ra // "'

(

) * +

, "!"""%" .

Modu przy"pieszenia punktu M

- . - .a a a t t cmMs Mn" & " & " &2 2 2 4 490 135 45 4 9 / s2 .

docsity.com

5.3.5. Ruch rubowy

W punkcie 5.3.2 wykazano, e pr!dko"# dowolnego punktu M bry$y w ruchu

ogólnym jest sum% dwóch sk$adowych:

a) pr!dko"ci , która jest pr!dko"ci% punktu O (bieguna), v O b) pr!dko"ci wynikaj%cej z ruchu obrotowego bry$y z pr!dko"ci% k%tow%

wokó$ tego bieguna.

r! ! !

Po zmianie bieguna na inny nie zmieni si! pr!dko"# k%towa , zmianie

ulegnie natomiast pr!dko"# bieguna oraz k%t " zawarty pomi!dzy wektorami

(rys. 5.12). W zwi%zku z tym nasuwa si! pytanie, czy istnieje taki biegun

redukcji C, w którym k%t b!dzie równy zeru, czyli wektor v

O ! v O

Oi v!

C b!dzie równoleg$y

do wektora pr!dko"ci k%towej #. Wyka emy, e dla wszystkich

punktów C le %cych na prostej l

wektory te b!d% do siebie

równoleg$e.

Znajdowanie takich punktów

C, dla których w ka dej chwili

czasu wektor vC jest równoleg!y

do wektora , nazywamy

sprowadzaniem ruchu ogólnego

bry!y do ruchu "rubowego.

!

C i, OO

Punkt C le y na prostej l

równoleg$ej do wektora , nazywanejchwilow# osi# ruchu "rubowego. !

O

O

vO #

C

rC

rCrO

#

vC

"

l

Rys. 5.12. Ruch "rubowy bry$y

Dla wyznaczenia pr!dko"ci ruchu "rubowego vC i po$o enia chwilowej osi l

ruchu "rubowego, , za$o ymy, e znane s% wektory r . Pr!dko"#

punktu C zgodnie z równaniem (5.32) mo emy wyrazi# wzorem:

$ r OC !v

COC r!vv !%$ . (5.43)

Po pomno eniu powy szego wzoru skalarnie przez ! otrzymamy:

& ' !r!!v!v ( !%($( COC . (a)

Je eli iloczyn mieszany wyst!puj%cy w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze

wzorem (2.31), to zauwa ymy, e jest on równy zeru.

docsity.com

& ' & ' 0CC $!( $( ! !!r!r! .

W tej sytuacji równanie (a) upraszcza si! do postaci

!v!v ($( OC .

Poniewa wektory po lewej stronie tego równania s% równoleg$e, na podstawie

definicji iloczynu skalarnego mo na napisa#:

#Cv !v ($ O . (b)

St%d modu$ pr!dko"ci vC punktu C

!v ($ OCv )#. (5.44)

Pr!dko"# vC punktu C otrzymamy po pomno eniu powy szego wzoru przez

wektor jednostkowy #)# o kierunku osi l

& '!!vv ($ OC )#2 . (5.45)

W celu wyznaczenia wektora porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na

pr!dko"# v

rC C. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe:

& '!!vr!v ($ !% OCO )#2. Po przeniesieniu pr!dko"ci na praw% stron! i sprowadzeniu do wspólnego

mianownika mamy:

v O

$ ! Cr! [ & ' *( !!vO #2 v O ] )#2 lub

$ ! Cr! [ & ' & '!!v!v! (*( OO ] )#2.

W porównaniu ze wzorem (2.34) $atwo zauwa y#, e wyra enie wyst!puj%ce

w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwini!ciem

podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to mo emy zapisa# w taki

sposób:

$ ! Cr! [ & 'O !! v!! ] )#2 . (5.46)

W powy szym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma rC . &atwo zauwa y#, e rozwi%zanie ogólne tego równania ma posta#:

& 'OC !$ v!r )#2 + + , (5.47) !

docsity.com

gdzie + jest dowoln% wielko"ci% dodatni% lub ujemn%. Wzór ten opisuje po$o enie wszystkich punktów C le %cych na prostej

równoleg$ej do pr!dko"ci k%towej . Jest to wi!c szukane równanie chwilowej osi

l ruchu "rubowego w uk$adzie ruchomym (zwi%zanym z bry$%). W uk$adzie

wspó$rz!dnych równanie to mo emy zapisa# w postaci trzech

równowa nych parametrycznych równa' skalarnych:

!

x y z, ,

, , ,

-

, , ,

.

/

+#% #

#*# $

+#% #

#*# $

+#% #

#*# $

. vv

z

, vv

y

, vv

x

z2

xOyyOx

C

y2

zOxxOz

C

x2

yOzzOy

C

(5.48)

Na rysunku 5.12 widzimy, e po$o enie ka dego punktu C chwilowej osi ruchu

"rubowego w uk$adzie nieruchomym wyznacza promie' wodz%cy r, który mo na

przedstawi# w postaci sumy wektorów . Po uwzgl!dnieniu wzoru (5.47)

wektorowe równanie chwilowej osi ruchu "rubowego w uk$adzie nieruchomym

b!dzie mia$o posta#:

r r O i C

& 'OOCOC !%$ %$ v!rrrr )#2 + + . (5.49) ! Temu równaniu w uk$adzie nieruchomym b!d% odpowiada$y trzy parametryczne

równania. W tym celu wektory wyst!puj%ce w równaniu (5.49) nale y wyrazi#

w uk$adzie wspó$rz!dnych x, y, z:

, , ,

-

, , ,

.

/

+#% #

#*# %$

+#% #

#*# %$

+#% #

#*# %$

. vv

zz

, vv

yy

, vv

xx

z2

xOyyOx

OC

y2

zOxxOz OC

x2

yOzzOy

OC

(5.50)

Wykazali"my tym samym, e ruch ogólny bry$y mo na w dowolnej chwili

sprowadzi# do ruchu "rubowego zdefiniowanego na wst!pie tego punktu. Ruch ten

jest sum% dwóch ruchów prostych:

docsity.com

a) obrotowego z pr!dko"ci% k%tow% # wokó$ chwilowej osi ruchu "rubowego, b) post!powego z pr!dko"ci% vC wzd$u tej osi.

C

M

vc vc

#x CM

v#

l

Rys5.13. Z$o enie ruchu ogólnego bry$y z ruchu obrotowego wokó$ chwilowej osi ruchu

"rubowego i ruchu post!powego wzd$u tej osi

Je eli zamiast dowolnego bieguna O obierzemy biegun redukcji C le %cy na chwilowej osi l ruchu "rubowego (rys. 5.13), to pr!dko"# v dowolnego punktu M

bry$y b!dzie sum% dwóch wzajemnie prostopad$ych sk$adowych: po-st!powej vC i

obrotowej : CM!!

CM!vv C !%$ .

Analizuj%cruch "rubowy bry$y, mo emy rozró ni# dwa przypadki:

a) vC(t) 0 0; wtedy najprostszym ruchem bry$y jest chwilowy ruch "rubowy; nie b!dziemy si! tu nim zajmowa#;

b) vC(t) = 0; wtedy * jak to wida# na rys. 5.12 i 5.13 * ruch bry$y sprowadza si! do chwilowego obrotu wokó$ osi l, któr% b!dziemy nazywa# chwilow# osi# obrotu.

docsity.com

5.3.6. Chwilowe osie obrotu Jak ju powiedziano wy ej, je eli ruch !rubowy bry"y sprowadza si# do

przypadku, w którym w ka dej chwili pr#dko!$ vC(t) = 0, to jej ruch chwilowy jest

obrotem wokó" chwilowej osi obrotu. Je eli za"o ymy, e ruch ogólny bry"y

opisuje pr#dko!$ bieguna v O O oraz pr#dko ! k"towa , to ze wzoru (5.44)

wynika zale#no !:

v !"O # $ 0 .

Zatem iloczyn skalarny w ka#dej chwili ruchu musi by! równy zeru: v iO"

% & % & 0ttO $!" v , (5.51)

st"d wniosek, #e aby ruch bry$y sprowadza$ si% do chwilowych obrotów, wektory

te musz" by! w ka#dej chwili prostopad$e.

Chwilowa o obrotu zmienia

swoje po$o#enie w czasie. Wzorami

okre laj"cymi po$o#enie chwilowej

osi obrotu wzgl%dem ruchomego

uk$adu wspó$rz%dnych (bry$y) s"

wzory (5.47) lub (5.48), a wzgl%dem

uk$adu nieruchomego wzory (5.49)

lub (5.50). Je#eli chwilowa o nie

przemieszcza si% w czasie, to ruch

bry$y jest omówionym ju# w p. 5.3.4

ruchem obrotowym wokó$ sta$ej osi

obrotu.

Je#eli dla dowolnej chwili t

wykre limy dwie pokrywaj"ce si% chwilowe osie obrotu – l w uk$adzie sta$ym i

w uk$adzie ruchomym (w bryle) ' to po czasie (t osie te przestan" si% pokrywa!, a

chwilowymi osiami obrotu b%d" inne dwie proste l

"l

1 i 1l" (rys. 5.14).

Przemieszczaj"ce si% w czasie ruchu bry$y chwilowe osie obrotu zakre l" dwie

powierzchnie prostokre lne:

Rys. 5.14. Chwilowe osie obrotu. Aksoidy

a) aksoid sta!"), która jest ladem przemieszczania si% chwilowej osi obrotu

w uk$adzie nieruchomym,

b) aksoid ruchom")", która jest ladem przemieszczania si% chwilowej osi

obrotu w uk$adzie ruchomym. l"

docsity.com

Równania aksoid otrzymamy z równa& chwilowej osi obrotu. W celu

otrzymania aksoidy sta$ej ) nale#y do równa& (5.49) lub (5.50) wstawi! funkcje

czasu:

% & % & % &tit,t OOOO vvrr $$$ """" (a) wyra#one we wspó$rz%dnych uk$adu nieruchomego x, y, z. Podczas zmiany czasu t

chwilowa o zakre li powierzchni%, któr" nazwali my aksoid" sta$" ).

Podobnie otrzymamy równanie aksoidy ruchomej )". Nale#y w tym celu do

równa& (5.47) albo (5.48) podstawi! dwie z trzech funkcji (a), np.

wyra#one w ruchomym uk$adzie wspó$rz%dnych

,v iO"

" " "x y z, , .

W czasie ruchu bry$y obie aksoidy s" do siebie styczne wzd$u# chwilowej osi

obrotu l. Poniewa# wszystkie punkty le#"ce na tej osi maj" pr%dko ! równ" zeru,

, ruch bry$y mo#na rozpatrywa! jako ruch spowodowany toczeniem si% bez

po lizgu aksoidy ruchomej )" po aksoidzie nieruchomej ).

0C $v

W zale#no ci od rodzaju ruchu bry$y chwilowe osie obrotu mog" zakre li!

ró#ne powierzchnie (aksoidy):

a) sto#kowe (utworzone z prostych przecinaj"cych si% w jednym punkcie),

wtedy ruch chwilowy jest ruchem kulistym,

b) walcowe (utworzone z prostych równoleg$ych), wtedy ruch chwilowy jest

ruchem p$askim,

c) inne.

docsity.com

5.3.7. Ruch kulisty

Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bry y, w czasie którego jeden z punktów

z ni! zwi!zanych jest nieruchomy.

av

1r

y

z

z

y

x x

r

M

O = O

Rys. 5.15. Ruch kulisty bry y sztywnej Punkt ten nazywamy !rodkiem ruchu kulistego. Wobec tego pr"dko!# tego

punktu b"dzie stale równa zeru, czyli musi on w ka$dej chwili czasu le$e#

jednocze!nie na aksoidzie ruchomej i nieruchomej. Zatem obie aksoidy w ruchu

kulistym s% tocz%cymi si" po sobie sto$kami o wspólnym wierzcho ku.

Dla uproszczenia rozwa$a& pocz%tki O i O uk adów wspó rz"dnych

ruchomego i nieruchomego x, y, z przyjmiemy w nieruchomym punkcie

bry y (rys. 5.15). Przyj"cie takich uk adów sprawia, $e wektor b"dzie równy

zeru, . W tej sytuacji równe zeru b"d% równie$ pr"dko!# i

przy!pieszenie punktu

x y z, ,

O r

r OO ! !O 0 v O

a O O :

v a ! !O Oi0 0 , (a)

a promie& wodz%cy dowolnego punktu M bry y mo$emy zapisa# tak:

r r! . (b)

Po uwzgl"dnieniu zale$no!ci (a) i (b) we wzorach (5.32) i (5.33) dla ruchu

ogólnego bry y otrzymamy wzory na pr"dko!# v i przy!pieszenie a dowolnego

punktu M bry y w ruchu kulistym:

r v "! , (5.52)

docsity.com

# $r r!a ""%"! . (5.53)

Dla bry y sztywnej odleg o!# mi"dzy punktami O i M jest zawsze sta a, czyli

modu wektora wodz%cego jest równie$ sta y:

r r! ! !r const . (c)

Wobec tego wektor wodz%cy r mo$emy zapisa# jako iloczyn modu u i wektora

jednostkowego : 1r

r ! r r1 . (d)

Po uwzgl"dnieniu tej zale$no!ci we wzorach (5.46) i (5.47) na pr"dko!# i

przy!pieszenie otrzymamy:

# $rr 1 r v "!"! , (5.54)

# $ # $ # $& 'rrr 1 1!r r!a ""%"!""%"! . (5.55)

Z powy$szych wzorów wnika, $e w ruchu kulistym pr"dko!# i przy!pieszenie

s% opisane dwoma wielko!ciami kinematycznymi . ! i

Na podstawie wzoru (c) oraz wzorów (5.54) i (5.55) mo$emy sformu owa#

wnioski charakteryzuj%ce ruch kulisty:

a) W ruchu kulistym tory wszystkich punktów bry y le$% na powierzchniach kul

o !rodku w punkcie O.

b) Wektory pr"dko!ci i przy!piesze& punktów le$%cych na prostej

przechodz%cej przez punkt O s% do siebie równoleg e, a ich modu y s%

proporcjonalne do odleg o!ci r od !rodka ruchu kulistego.

W tym punkcie podano jedynie wektorowe wzory na pr"dko!# i przy!pieszenie

dowolnego punktu bry y w ruchu kulistym oraz ogólne w asno!ci tego ruchu. Przy

bardziej szczegó owym rozpatrywaniu ruchu kulistego bry y do okre!lenia

po o$enia ruchomego uk adu wspó rz"dnych x y z, , wzgl"dem nieruchomego

uk adu wspó rz"dnych x, y, z wprowadza si" tzw. trzy k%ty Eulera (obrotu

w asnego, precesji i nutacji), których znaczenie mo$na znale'# w odpowiedniej

literaturze, np. [7, 16]. Za pomoc% tych k%tów mo$na wyrazi# wszystkie kosinusy

kierunkowe mi"dzy osiami obu uk adów wspó rz"dnych oraz wszystkie wielko!ci

wyst"puj%ce we wzorach (5.52) i (5.53).

docsity.com

5.3.8. Ruch p aski bry y

Pr!dko"# i przy"pieszenie dowolnego punktu bry y

Ruchem p askim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bry y s! równoleg e do

pewnej p aszczyzny nazywanej p aszczyzn! ruchu.

Za p aszczyzn! ruchu mo"na przyj#$ dowoln# p aszczyzn! spo%ród wszystkich p aszczyzn do niej

równoleg ych.

W punkcie 5.3.6 powiedziano, "e je"eli aksoidy s# powierzchniami walcowymi, to ruch ogólny

bry y sprowadza si! do ruchu p askiego. I rzeczywi%cie, ka"da p aszczyzna prostopad a do tworz#cych

obu aksoid mo"e by$ p aszczyzn# ruchu. Poniewa" aksoidy s# powierzchniami zakre%lonymi przez

chwilow# o% obrotu w czasie przemieszczania si! jej w uk adzie nieruchomym i ruchomym, jest

oczywiste, "e chwilowa o% obrotu w ruchu p askim b!dzie w ka"dej chwili prostopad a do p aszczyzny

ruchu.

Z definicji ruchu p askiego wynika, "e wektory pr!dko%ci i przy%pieszenia wszystkich punktów

bry y s# równie" równoleg e do p aszczyzny ruchu. Z kolei wektor pr!dko%ci k#towej b!dzie w

ka"dej chwili równoleg y do tworz#cych aksoid (równoleg y do chwilowej osi obrotu), czyli

prostopad y do p aszczyzny ruchu.

W dalszych rozwa"aniach dotycz#cych ruchu

p askiego za p aszczyzn! ruchu przyjmiemy

p aszczyzn! wyznaczon# przez nieruchomy uk ad

wspó rz!dnych x, y o pocz#tku w punkcie O. Ruchomy

uk ad wspó rz!dnych o osiach ! !x y,

!O

z

i pocz#tku w dowolnym biegunie b!dzie si!

porusza w p aszczy&nie ruchu (rys. 5.16). W tej

sytuacji osie z i ! b!d# równoleg e do wektora

pr!dko%ci k#towej .

Z rysunku 5.16 wynika, "e do jednoznacznego

okre%lenia po o"enia bry y wzgl!dem uk adu

nieruchomego x, y nale"y poda$ wektor wodz#cy

" #r r! !$O O t bieguna !O oraz k#t obrotu % = %(t) uk adu ruchomego wzgl!dem nieruchomego. Wektor wodz#cy mo"emy zapisa$ w

nast!puj#cy sposób:

! !x y, r !O

y

x

x!

y!

O

M

r!

O!

rO!

r

%

Rys. 5.16. Ruch p aski bry y sztywnej

" #r r i! ! ! !$ $ &O O O Ot x y j . (5.56) Zatem kinematyczne równania ruchu p askiego mo"emy zapisa$ w postaci trzech funkcji

algebraicznych: dwóch wspó rz!dnych wektora oraz k#ta %: r !O

" # " #x x t y y tO O O O! ! ! !$ $, , (5.57)

% = %(t) . (5.58)

Do obliczenia pr!dko%ci v i przy%pieszenia a dowolnego punktu M bry y wykorzystamy wzory

(5.32) i (5.34):

r vv !'&$ !O , (5.59)

" #r r!aa !(&!'&$ !O r! ) 2

. (5.59a)

Poniewa" w ruchu p askim wektory i !r s# prostopad e, zatem ich iloczyn skalarny wyst!puj#cy we

wzorze (5.59a) jest równy zeru " , a wi!c wzór ten upro%ci si! do postaci: #0$!(r

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome