Wybrane zagadnienia z ekonometrii - Notatki - Ekonometria, Notatki'z Ekonometria
hermiona80
hermiona8031 May 2013

Wybrane zagadnienia z ekonometrii - Notatki - Ekonometria, Notatki'z Ekonometria

PDF (398.7 KB)
5 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Ekonomia: notatki z zakresu ekonometrii opisujące wybrane zagadnienia z ekonometrii; m.in. dobór zmiennych objaśniających do modelu liniowego, szacowanie parametrów modeli liniowych metodą najmniejszych kwadratów.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Spis treści

Wybrane zagadnienia z Ekonometrii

1. Dobór zmiennych objaśniających do modelu

liniowego

1.1. Uwagi wstępne

Zmienne objaśniające w modelu

ekonometrycznym powinny się odznaczać

następującymi własnościami:

Mieć odpowiednio wysoką zmienność; Być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą;

Być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą;

Być słabo skorelowane między sobą;

Być silnie skorelowane z innymi zmiennymi nie pełniącymi roli zmiennych objaśniających, które

zmienne objaśniające reprezentują (chodzi, by zmienne

objaśniające były dobrymi reprezentantkami

zmiennych, które nie weszły do zbioru zmiennych objaśniających).

Wybór zmiennych objaśniających do modelu

ekonometrycznego odbywa się za pomocą metod statystycznych.

Procedura doboru jest następująca:

Na podstawie wiedzy merytorycznej sporządza się zestaw tzw. potencjalnych zmiennych objaśniających

(zmiennych pierwotnych), którymi są wszystkie

najważniejsze wielkości oddziałujące na zmienną

objaśnianą. Zmienne te oznacza się jako X1, X2, ... ,Xm. Gromadzi się dane statystyczne będące realizacjami

zmiennej objaśnianej i potencjalnych zmiennych

objaśniających. Otrzymuje się w ten sposób wektor y

obserwacji zmiennej Y oraz macierz X obserwacji zmiennych X1, X2 ,.. .,Xm. o postaci:

n

2

1

y

.

.

.

y

y

y

,

nm2n1n

m22221

m11211

x...xx

......

x...xx

x...xx

X

Eliminuje się potencjalne zmienne odznaczające się

zbyt niskim poziomem zmienności. Oblicza się współczynniki korelacji pomiędzy

wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi.

Przeprowadza się redukcję zbioru potencjalnych

zmiennych objaśniających za pomocą wybranej metody statystycznej.

1.2. Eliminowanie zmiennych quasi-stałych

Wstępnym warunkiem uznania różnych

zmiennych za zmienne objaśniające modelu jest ich

dostatecznie wysoka zmienność. Miarą poziomu zmienności jest współczynnik zmienności :

)m,...,2,1i( x

S v

i

i i ,

gdzie ix - średnia arytmetyczna zmiennej Xi: n

1t t ii x

n

1 x , natomiast Si – odchylenie

standardowe zmiennej Xi:

2

1 n

1t

2 it ii )xx(

n

1 S . Obiera się

krytyczną wartość współczynnika zmienności v*, np., v*=0,10; następnie zmienne spełniające nierówność

vi v* uznaje się za quasi-stałe i eliminuje ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających, gdyż zmienne

te nie wnoszą istotnych informacji do modelu

ekonometrycznego.

1.3. Wektor i macierz współczynnikó w korelacji

Aby ocenić siłę liniowej zależności

zmiennej objaśnianej Y i potencjalnych zmiennych objaśniających X1, X2, ... , Xm., oblicza się współczynnik

korelacji:

),m,...,2,1i(

)xx()yy(

)xx)(yy(

r n

1t

n

1t

2 it i

2 i

n

1t it ii

i

Współczynniki te są przedstawiane w postaci wektora

korelacji:

nr

r

r

R

.

.

.

2

1

0

.

Współczynnik korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi X1, X2, .. ., Xm. są obliczane

według wzoru:

),m,...,2,1j,i(

)xx()xx(

)xx)(xx(

r n

1t

n

1t

2 jt j

2 it i

n

1t jt jit i

i

Współczynniki te tworzą macierz korelacji:

1...rr

......

r...1r

r...r1

R

2n1n

m221

m112 .

Macierz R jest symetryczna tzn. rij=rji.

1.5. Metoda wska źników pojemności informacyjnej

Idea metody wskaźników pojemności informacyjnej

sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną

objaśnianą, a jednocześnie słabo skorelowane ze sobą.

Punktem wyjścia tej metody jest wektor R0 i macierz R.

Rozpatruje się wszystkie kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających, których ogólna liczba

wynosi: L=2m-1. Dla każdej kombinacji zmiennych

objaśniających oblicza się wskaźniki pojemności informacyjnej: indywidualne i integralne.

Indywidualne wskaźniki pojemności informacyjnej

zmiennych w ramach rozpatrywanej kombinacji

obliczane są następująco:

)m,...,2,1jL,...,2,1l(

r1

r h lm

ji 1i

ij

2 j

lj l

We wzorze tym l oznacza numer kombinacji, j oznacza

numer zmiennej w ko mbinacji, natomiast ml oznacza liczbę zmiennych w rozpatrywanej kombinacji.

Integralne wskaźniki pojemności informacyjnej

kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających

obliczane są według następującego wzoru:

)L,..,2,1l(hH lm

1j ljl

Indywidualne oraz integralne wskaźniki pojemności

informacyjnej są unormowane w przedziale [0;1].

Przyjmują one tym większe wartości, im zmienne objaśniające są silniej skorelowane ze zmienną

objaśnianą oraz im słabiej są skorelowane miedzy sobą.

Jako zmienne objaśniające wybiera się taką kombinację

zmiennych, której odpowiada maksymalna wartość wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej.

1.6. Współczynnik korelacji wielorakiej

Współczynnik korelacji wielorakiej jest miarą siły

związku liniowego zmiennej objaśnianej Y ze

zmiennymi objaśniającymi X1, X2, ... , Xk . Zdefiniowany

jest następująco:

)Rdet(

)Wdet( 1R

gdzie: det(R) – wyznacznik macierzy R

współczynników korelacji zmiennych objaśniających

X1, X2,. .., Xk łączonych parami; det(W) – wyznacznik

macierzy:

RR

R1 W

0

0

Wektor R0 jest wektorem współczynników korelacji

między zmienną Y i zmiennymi X1, X2,. .., Xk. Macierz

W w rozwiniętej postaci przedstawia się następująco:

1...rrr

...............

r...1rr

r...r1r

r...rr1

W

2k1kk

k2212

k1121

k21

Współczynnik korelacji wielorakiej jest unormowany w

przedziale [0, 1]. Przyjmuje tym większe wartości, im

związek zmiennej objaśnianej ze zmienny mi

objaśniającymi jest silniejszy. Współczynnik korelacji wielorakiej może stanowić kryterium wyboru najlepszej

kombinacji zmiennych objaśniających spośród

jednakowo licznych kombinacji.

2. Szacowanie parametrów modeli liniowych metodą

najmniejszych kwadratów

2.1.Uwagi wstępne

Szacowanie parametrów modelu ekonometrycznego sprowadza się do przypisywania nieokreślonym

liczbowo parametrom konkretnych wartości

liczbowych. Szacowanie to powinno być

przeprowadzone w taki sposób, aby zapewniło najlepsze dopasowanie modelu do danych

empirycznych. Powszechnie wykorzystywaną metodą

szacowania parametrów liniowych modeli ekonometrycznych o postaci:

kk110 X...XY jest klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.

Idea metody sprowadza się do takiego wyznaczenia

wartości ocen a0, a1,..., ak parametrów strukturalnych α0, α1,... , αk, aby suma kwadratów odchyleń

zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej od jej

wartości teoretycznych obliczonych z modelu była

najmniejsza. Warunek ten zapisuje się następująco:

n

1t

2 t mine

gdzie et (t=1, 2, ..., n) – odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od jej wartości

teoretycznych, nazywane resztami modelu:

ttt ŷye , (t=1, 2, ... , n) przy czym:

tkk1t10t xa...xaaŷ . Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów wymaga przyjęcia następujących założeń:

Szacowany model jest modelem liniowym;

Zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi o

elementach ustalonych; Nie występuje zjawisko współliniowości zmiennych

objaśniających;

Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru i stałą skończoną wariancję;

Nie występuje zjawisko autokorelacji składnika

losowego, czyli zależność składnika losowego w

różnych jednostkach czasu.

2.2. Szaco wanie parametrów modelu z jedną

zmienną objaśniającą

Liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną ma

ogólną postać:

XY Wartość ocen a oraz b parametrów strukturalnych α

oraz β otrzymuje siκ w tym wypadku z warunku:

n

1t

2 tt min)axby(S

Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych funkcji S

względem a oraz b i przyrównaniu ich do zera

otrzymujemy tzw. układ równań normalnych:

n

1t

n

1t

n

1t tt

2 tt

n

1t

n

1t tt

xyxaxb

yxanb

W wyniku rozwiązania układu równań normalnych

otrzymujemy następujące wzory na oceny a oraz b:

2

xayb

)x(nx

yxnxy

a n

1t

22 t

n

1t tt

gdzie x oraz y oznaczają średnie arytmetyczne Y oraz X. Równoważny wzór na ocenę a ma postać:

n

1t

2 t

n

1t tt

)xx(

)xx)(yy(

a

Wartość oceny a parametru α informuje, o ile jednostek

zmieni się zmienna objaśniana Y, jeśli zmienna

objaśniająca X zmieni się o jednostkę. Specyficznym modelem liniowym z jedną zmienną

objaśniającą jest liniowy model tendencji rozwojowej

(trend liniowy) o postaci:

tY gdzie t oznacza zmienną czasową.

Wzory na oceny parametrów strukturalnych trendu liniowego są podobne do poprzednich z tym, że zamiast

zmiennej X występuje zmienna czasowa t. W wypadku

oceny a można także skorzystać z prostszego wzoru o

postaci:

)1n(n

y)tt(12

a 2

n

1t t

,

Wzór ten otrzymuje się z poprzednich wzorów przy uwzględnieniu następującej własności: jeżeli:

n

1t

2

12

)1n(n )tt(ton,...,2,1t

Ocenę wariancji odchyleń losowych modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą otrzymujemy ze wzoru:

2n

e

S

n

1t

2 t

2 e

Wielkość Se jest odchyleniem standardowym reszt

modelu, które informuje, o ile zaobserwowane wartości

zmiennej objaśnianej przeciętnie różnią się od

teoretycznych wartości tej zmiennej wyznaczonych z modelu.

Standardowe błędy S(a) i S(b) szacunku parametrów

strukturalnych α i β wyznacza siκ ze wzorσw:

n

1t

22 t

e

)x(nx

S )a(S , lub

n

1t

2 t

e

)xx(

S )a(S

n

1t

22 t

n

1t

2 t

e

)x(nxn

x

S)b(S

, lub

n

1t

2 t

n

1t

2 t

e

)xx(n

x

S)b(S

2.3.Szaco wanie parametrów modelu z wieloma

zmiennymi objaśniającymi

W celu przedstawienia klasycznej metody

najmniejszych kwadratów w zastosowaniu do

szacowania parametrów modelu z wieloma zmienny mi

objaśniającymi:

kk22110 X...XXY

wprowadzamy symbolikę macierzową:

n

2

1

y

.

.

.

y

y

y

- wektor obserwacji zmiennej objaśnianej;

nk2n1n

k22221

k11211

x...xx

......

x...xx

x...xx

X

- macierz obserwacji

zmiennych objaśniających;

k

1

0

a .

.

. a

a

a

- wektor ocen parametrów

strukturalnych;

n

2

1

e .

.

. e

e

e

- wektor reszt modelu.

Kryterium najmniejszych kwadratów w tym wypadku

można zapisać następująco:

mineeS T , gdzie: Xaye . Wzór na wektor a ocen parametrów strukturalnych

modelu jest następujący:

yX)XX(a T1T Wariancję odchyleń losowych szacuje się na podstawie wzoru:

1kn

e

1kn

ee S

n

1t

2 tT

2 e

Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych szacuje się na podstawie wzoru:

1T2 e

2 )XX(S)a(D . W macierzy tej elementy na głównej przekątnej są

wariancjami V(ai) (i=0, 1, .. ., k) ocen parametrów

strukturalnych. Wielkości:

)k,...,2,1,0i()a(V)a(S ii

są standardowymi błędami szacunku parametrów strukturalnych.

3. Weryfikacja modeli liniowych

3.1.Uwagi wstępne

Po oszacowaniu parametrów modelu należy zbadać, czy zbudowany model dobrze opisuje badane zależności.

Jeśli okaże się, że rozbieżność między otrzymanym

modelem, a dymami empirycznymi lub między

otrzymanym modelem a wiedzą ekonomiczną o badanych zależnościach jest duża, wówczas należy go

skorygować oraz poprawić.

Przyczyny powodujące złą jakość modelu ekonometrycznego mogą się pojawiać już w

początkowych etapach badanie ekonometrycznego.

Nigdy nie ma pewności, czy zostały dobrane

odpowiednie zmienne objaśniające. Wątpliwości może budzić także dobór analitycznej postaci modelu. W

samy m procesie estymacji mogła też być zastosowana

niewłaściwa metoda szacowania parametrów. Wszystko

to powoduje potrzebę przeprowadzenia weryfikacji modelu przed jego wykorzystaniem do wnioskowania o

badanych zależnościach.

Weryfikacja modelu sprowadza się do zbadania trzech

własności: Stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi;

Jakości ocen parametrów strukturalnych;

Rozkładu odchyleń losowych.

3.2. Ocena dopasowania modelu do danych

empirycznych

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych

ma na celu sprawdzenie, czy model ten w wystarczająco

wysokim stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej

objaśnianej. Do tego celu służą różne miary zgodności modelu z danymi empirycznymi. Podstawowymi

miarami tego typu są: odchylenie standardowe reszt,

współczynnik zmienności losowej, współczynnik zbieżności i współczynnik determinacji.

Współczynnik zmienności losowej jest zdefiniowany

następująco:

%,100 y

S W ee

Współczynnik ten informuje, jaki procent średnia

arytmetycznej zmiennej objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt. Mniejsze wartości

współczynnika We wskazują na lepsze dopasowanie

modelu do danych empirycznych.

Jeśli dla założonej z góry krytycznej wartości współczynnika zmienności losowej W* (np. W*=10%)

zachodzi nierówność: *WWe , to model uznaje się za dostatecznie dobrze dopasowany do

danych empirycznych. Przy przeciwnym kierunku

nierówności dopasowanie uznaje się za zbyt słabe. Współczynnik zmienności losowej ma także

zastosowanie przy przeprowadzaniu porównania stopnia

zgodności z danymi empirycznymi modeli opisujących

się kształtowanie różnych zmiennych objaśnianych. Współczynnik zbieżności wyraża się wzorem:

n

1t

2 t

n

1t

2 t

2

)yy(

e

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0; 1]. Informuje on jaka część całkowitej

zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona

przez model. Dopasowanie modelu do danych jest tym

lepsze, im współczynnik zbieżności jest bliższy zeru. Współczynnik determinacji ma postać:

n

1t

2 t

n

1t

2 t

2

)yy(

)yŷ(

R

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z

przedziału [0;1]. Informuje on, jaką część całkowitej

zmienności zmiennej objaśnianej stanowi zmienność wartości teoretycznych tej zmiennej, tj. część

zdeterminowana przez zmienne objaśniające.

Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze, im

współczynnik determinacji jest bliższy jedności. Między współczynnikami zbieżności i determinacji

zachodzi relacja:

1R 22 Pierwiastek kwadratowy ze współczynnika

determinacji, tj . R, jest znanym współczynnikiem korelacji wielorakiej.

Aby stwierdzić, czy dopasowanie modelu do danych

empirycznych jest dostatecznie duże, można

zweryfikować hipotezę o istotności współczynnika korelacji wielorakiej tj. hipotezę zerową postaci:

]0R[:Ho wobec hipotezy alternatywnej

]0R[:H1 . Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

k

1kn

R1

R F

2

2

Statystyka ta ma rozkład F Fishera-Snedecora o m1=k

oraz m2=n-k-1 stopniach swobody. Z tablic testu F dla

zadanego poziomu istotności γ oraz m1 i m2 stopni

swobody odczytuje się wartość krytyczną F*. Jeśli

F F*, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.

Oznacza to, że współczynnik korelacji wielorakiej jest nieistotnie różny od zera, a dopasowanie modelu do

danych jest zbyt słabe. Natomiast jeśli F>F*, to

hipotezę H0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H1.

Współczynnik korelacji wielorakiej jest istotny, a stopień dopasowania modelu do danych jest

dostatecznie wysoki.

3.3. Badanie istotności parametrów strukturalnych

3

Badanie istotności parametrów strukturalnych α1, α2,...,

αk, liniowego modelu ekonometrycznego ma na celu

sprawdzenie, czy zmienne objaśniające istotnie

oddziaływają na zmienną objaśnianą, czy też nie. Dla każdego i=1,2,...,k weryfikuję się hipotezę zerową H 0:

[αi=0] wobec hipotezy alternatywnej H1: [αi≠0].

Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

)a(S

a I

i

i

i

gdzie ai – wartość oceny parametru strukturalnego α i;

S(ai) – standardowy błąd szacunku tego parametru. Z tablic testu t-Studenta dla przyjętego poziomu

istotności γ oraz dla n-k-1 stopni swobody odczytuje się

wartość krytyczną I*. Jeśli Ii I*, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. Parametr strukturalny αi różni

się nieistotne od zera, a zmienna objaśniająca Xi nie

wpływa w istotny sposób na zmienną objaśnianą Y. Natomiast jeśli Ii>I*, hipotezę H0 należy odrzucić na

rzecz hipotezy H1. W tym przypadku parametr α i różni

się w sposób istotny od zera i zmienna objaśniająca Xi

oddziaływuje w sposób istotny na zmienną objaśnianą Y.

3.4. Określanie relatywnego wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą

Ponieważ nie wszystkie zmienne objaśniające X1, X2,. ..,Xk mają jednakowy wpływ na zmienną objaśnianą Y, należy przeprowadzić ocenę relatywnego znaczenia

tych zmiennych w modelu ekonometrycznym dla

wyjaśnienia kształtowania się zmiennej objaśnianej.

Miarą relatywnego znaczenia zmiennej objaśniającej Xi w wyjaśnianiu zmian zmiennej objaśnianej Y jest

współczynnik “ważności” b i zdefiniowany następująco:

i i

i a y

x b , (i=1,2,... ,k)

gdzie ix – średnia arytmetyczna zmiennej

objaśniającej Xi; y - średnia arytmetyczna zmiennej objaśnianej Y; ai – wartość oceny parametru

strukturalnego αi.

Większe wartości modułu współczynnika wartości b i wskazują na relatywnie większy wpływ danej zmiennej

objaśniającej na zmienną objaśnianą modelu.

4. Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych

4.1. Wybór postaci analitycznej modelu na podstawie apriorycznej wiedzy o badanych

zależnościach

Przy nadawaniu określonej postaci analitycznej modelowi mającemu opisywać zależność między

pewnymi zjawiskami ekonomicznymi często korzysta

się z wiedzy ekonomicznej o badanych

prawidłowościach. Istnieją pewne teorie ekonomiczne dotyczące zachowania się gospodarki narodowej, rynku

czy przedsiębiorstw produkcyjnych, które mogą być

podstawą sformułowania hipotezy, że pewna zależność

może być w przybliżeniu opisana za pomocą funkcji o określonej postaci analitycznej.

4.2. Wybór postaci analitycznej modelu na podstawie wykresów ro zrzutu punktów

empirycznych

Metodę tę stosuje się zwłaszcza do modeli z jedną zmienną objaśniającą, a wiec modeli typu:

)X(fŶ Dobór postaci modelu odbywa się na podstawie oceny

wzrokowej rozrzutu punktów empirycznych o

współrzędnych:

)y,x(),...,y,x(),y,x( nn2211 odpowiadającym wynikom obserwacji zmiennych Y i X

przedstawionych na prostokątnym układzie

współrzędnych.

Najczęściej spotykane typy związków

nieliniowych łączące dwa zjawiska Y i X

przedstawiono poniżej.

Omawiana metoda może być także adaptowana do modeli z wieloma zmiennymi objaśniającymi. W tym

wypadku sporządza się k wykresów przedstawiających

związki łączące zmienną objaśnianą z pojedynczymi

zmiennymi objaśniającymi X1, X2 , .. ..,X k. Następnie

nadaje się postacie analityczne funkcjom regresji zmiennej objaśnianej względem pojedynczych

zmiennych objaśniających dbając jednocześnie o to, aby

były to funkcje liniowe względem parametrów strukturalnych i ewentualnie nieliniowe względem

zmiennych objaśniających. Postulat ten spełnia

następujące funkcje regresji jednej zmiennej

objaśniającej

 liniowa iiii XŶ

 hiperboliczna

i

iii X

1 Ŷ

 logarytmiczna iiii XlogŶ

 wielomianowa

p ipi

2 ii2ii1i0i X...XXŶ

Funkcje te obrazują najczęściej spotykane w badaniach

empirycznych typy związków łączących zjawiska

ekonomiczne.

Model ekonometryczny powstaje przez zsumowanie tych części szczegółowych funkcji regresji, które są

przy zmiennych objaśniających, oraz wyrazu wolnego.

Można to zapisać następująco:

k

1i 0ii )X(fŶ

Jest to model liniowy względem parametrów

strukturalnych i ewentualnie nie liniowy względem zmiennych objaśniających.

4.3. Dobór zmiennych objaśniających

Dobór zmiennych objaśniających do modelu

nieliniowego względem zmienny objaśniających, a

jednocześnie liniowego względem parametrów

strukturalnych może być przeprowadzony na odstawie wektora współczynników korelacji zmiennej

objaśnianej z liniowymi przekształceniami

potencjalnych zmiennych objaśniających i macierzy

współczynników korelacji między liniowymi przekształceniami potencjalnych zmiennych

objaśniających. Jednej potencjalnej zmiennej

objaśniającej może być przyporządkowane jedno przekształcenie liniowe lub kilka przekształceń

liniowych.

W podobny sposób może być przeprowadzony dobór

zmiennych objaśniających do potęgowego modelu ekonometrycznego:

k k

2 2

1 10 X...XXŶ

Model ten sprowadza się do postaci liniowej przez jego

obustronne zlogarytmowanie

logY= log 0+ 1logX1+ 2logX2+...+ klogXk W podstawieniach:

V=logY, =log 0, Z1=logX1, Z2 =logX2, ... , Zk=logXk

otrzymujemy model liniowy zmiennej V względem zmiennych Z 1,Z 2, .. ., Z k o postaci:

kk2211 Z...ZZV̂

W tym wypadku zmienne objaśniające dobiera się na

podstawie wektora współczynników korelacji między

logarytmami zmiennej objaśnianej i logarytmami potencjalnych zmiennych objaśniających oraz macierzy

współczynników korelacji między logarytmami

potencjalnych zmiennych objaśniających.

4.4. Szacowanie parametrów

Metoda najmniejszych kwadratów ma bezpośrednie zastosowanie do szacowania parametrów modeli

liniowych, w których zmienna objaśniana jest liniową

funkcją zmiennych objaśniających i odchyleń losowych.

Jeśli zbudowany model jest modelem nieliniowym, to należy dokonać jego transformacji liniowej tak, aby

przekształcone równanie miało postać liniową

względem parametrów strukturalnych lub względem

pewnych ich funkcji. Najpierw za pomocą metody najmniejszych kwadratów szacuje się parametry modelu

przekształconego, przy czym wszelkie związane z tym

rachunki są wykonywane na wartościach

przekształconych zmiennych. Następnie oblicza się

wartości ocen modelu pierwotnego.

4.5. Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych

Miary dopasowania modeli do danych empirycznych mają zastosowanie do oceny modeli liniowych oraz

modeli nieliniowych ze wzg lędu na parametry

strukturalne.

Ocena dopasowania do danych empirycznych modeli nieliniowych ze względu zarówno na zmienne

objaśniające jak i na parametry strukturalne może być

przeprowadzana za pomocą wskaźnika średniego

względnego poziomu reszt o postaci:

n

1t t

t

e

n

1 P

Im mniejsze są wartości wskaźnika P, tym lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych.

8. Modele wielorównaniowe

8.1. Uwagi wstępne

Wielorównaniowe modele ekonometryczne opisują

kształtowanie się wielu zjawisk ekonomicznych, przy czym każde równanie modelu wielorównaniowego

wyjaśnia zachowanie się jednego zjawiska.

Zjawiska ekonomiczne wyjaśniane przez model wielorównaniowy nazywają się zmiennymi

endogenicznymi. Zjawiska ekonomiczne, które nie są

wyjaśniane przez model i służą do wyjaśniania

zmiennych endogenicznych nazywają się zmiennymi egzogenicznymi. Zmienne endogeniczne bez opóźnień

czasowych nazywają się zmiennymi łącznie

współzależnymi; oznaczamy je jako Y1, Y2, ...,Ym.

Zmienne endogeniczne z opóźnieniami czasowymi oraz zmienne egzogeniczne (bez opóźnień i z opóźnieniami)

nazywają się zmiennymi z góry ustalonymi ; oznacza

się je jako Z1, Z2 , . .., Zk . Ogólny zapis modelu wielorównaniowego jest

następujący:

1m

1i

k

1j mjmjimim

m

2i 1i

k

1j 2jj2ii22

m

2i

k

1j 1jj1ii11

ZYY

...............................................

ZYY

ZYY

8.2. Postać strukturalna i postać zreduko wana

modelu

Macierzowe przedstawieni powyższego modelu wielorównaniowego nosi nazwę postaci strukturalnej.

Aby otrzymać tę postać, należy przenieść wszystkie

wyrazy modelu na lewą stroną, a po prawej stronie

pozostawić jedynie odchylenia losowe. Postać strukturalna modelu wielorównaniowego jest

następująca:

ZBY gdzie:

m

2

1

Y

.

.

.

Y

Y

Y

- wektor (m x 1) zmiennych endogenicznych

bez opóźnień czasowych;

1...

............

...1

...1

B

2m1m

m221

m112

- macierz (m x

m) parametrów przy zmiennych endogenicznych

bez opóźnień czasowych;

k

2

1

Z

.

.

.

Z

Z

Z

- wektor (k x 1) zmiennych z góry ustalonych;

Y •

x 1

Y ˆ

x x

x Y ˆ

Y

• •

• •

X

Y

• •

• •

• • • •

• • •

• • •

x sin Y ˆ

X

Y

• •

• •

• •

• •

• ) 1 ( x Y ˆ

x log a Y ˆ

X

Y

• •

• •

• •

• ) 1 ( x Y ˆ

x a Y ˆ

• •

X

Y

• •

• •

x e 1 Y ˆ

x x

1 Y ˆ

4

mk2m1m

k22221

k11211

...

............

...

... - macierz (m x k)

parametrów przy zmiennych z góry ustalonych;

m

2

1

.

.

.

- wektor (m x 1) odchyleń losowych.

Jeśli nieopóźnione w czasie zmienne endogeniczne Y1,

Y2, .. .,Ym wyrazimy jedynie poprzez zmienne z góry

ustalone całego modelu Z1, Z2, . ..,Zk, to otrzymamy

postać zredukowaną modelu:

k

1j mjmjm

k

1j 2jj22

k

1j 1jj11

ZY

................................

ZY

ZY

Macierzowy zapis postaci zredukowanej jest

następujący:

ZY T

mk2m1m

k22221

k11211

T

...

............

...

... - macierz (m x k)

parametrów postaci zredukowanej przy zmiennych z

góry ustalonych;

m

2

1

.

.

.

- wektor (m x 1) odchyleń losowych postaci

zredukowanej. Między parametrami postaci zredukowanej i postaci

strukturalnej istnieją następujące zależności:

1

1T

B

B

8.3. Klasyf ikacja modeli wielorównaniowych

Ze względu na powiązania miedzy nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi modele

wielorównaniowe klasyfikuje się na: modele proste,

modele rekurencyjne i modele o równaniach

współzależnych. Klasyfikacja ta jest istotna z punktu widzenia metody szacowania parametrów. Rozpoznania

klasy modelu wielorównaniowego dokonuje się w

drodze badania własności macierzy B parametrów strukturalnych znajdujących się przy zmiennych

endogenicznych bez opóźnień czasowych.

Jeżeli macierz B jest macierzą diagonalną, lub okaże się

taką po przenumerowaniu równań modelu, to model nazywamy prostym. W modelach tej klasy nie

występują powiązania między nieopóźnionymi w czasie

zmiennymi endogenicznymi. Zmienne te nie występują

w żadnym z równań w roli zmiennych objaśniających. Jeżeli macierz B jest macierzą trójkątną lub okaże się

taka po przenumerowaniu równań modelu albo po

zmianie miejsca zmiennych w równaniach, to model nazywamy rekurencyjnym. W modelach tej klasy w

danym równaniu w roli zmiennych objaśniających

mogą występowa tylko te nieopóźnione w czasie

zmienne endogeniczne, które we wcześniejszych równaniach pełniły rolę objaśnianych.

Jeżeli w wyniku przenumerowania równań lub zmiany

miejsca zmiennych w równaniach nie otrzymamy z

macierzy B ani macierzy diagonalnej, ani macierzy trójkątnej, to model jest modelem o równaniach

współzależnych. W modelach tej klasy nieopóźnione w

czasie zmienne endogeniczne mogą w dowolnym

równaniu pełnić rolę zmiennych objaśniających.

8.4. Szacowanie parametrów modeli prostych i

rekurencyjnych

W wielorównaniowych modelach prostych i

rekurencyjnych nie występują sprzężenia zwrotne

między nieopóźnionymi w czasie zmiennymi

endogenicznymi. Dlatego każde równanie tych modeli można rozpatrywać osobno i traktować jako model

jednorównaniowy. Parametry każdego równania mogą

być szacowane klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.

8.5. Identyf ikowalność modeli o równaniach

współzależnych

Przed przystąpieniem do szacowania parametrów

modeli o równaniach współzależnych należy zbadać

identyfikowalność poszczególnych równań. Jeśli równanie jest identyfikowalne, to można oszacować

jego parametry. Jeśli równanie nie jest identyfikowalne,

to nie można oszacować jego parametrów. Cały model

o równaniach współzależnych jest identyfikowalny, jeśli wszystkie jego równania są identyfikowalne.

Twierdzenie: Warunkiem koniecznym i dostatecznym

tego, aby i-te równanie wchodzące w skład modelu o m równaniach współzależnych było identyfikowalne, jest

by macierz A i parametrów znajdujących się przy

zmiennych, które są w modelu, a nie występują w

równaniu, którego identyfikowalność jest badana, była rzędu m-1.

Niech k i oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w

modelu, a nie występują w równaniu, którego

identyfikowalność jest badana. Jeśli k i=m-1, to równanie jest jednoznacznie identyfikowalne. Jeśli

ki>m-1, to równanie jest niejednoznacznie

identyfikowalne. Jeśli k i<m-1, to równanie nie jest

identyfikowalne. Rozróżnienie to jest istotne z punktu widzenia metody szacowania parametrów modelu o

równaniach współzależnych.

8.6. Pośrednia metoda najmniejszych kwadrató w

Pośrednia metoda najmniejszych kwadratów ma

zastosowanie do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie

identyfikowalnych. Metoda ta może być także

stosowana do szacowania parametrów pojedynczych

równań jednoznacznie identyfikowalnych wchodzących w skład modelu o równaniach współzależnych. Idea

pośredniej metody najmniejszych kwadratów polega na

wykorzystaniu ocen parametrów postaci zredukowanej do uzyskania ocen parametrów postaci strukturalnej.

Procedura pośredniej metody najmniejszych kwadratów

jest następująca:

1. Sprowadza się model do postaci zredukowanej:

ZY T 2. Parametru postaci zredukowanej szacuje się

klasyczną metodą najmniejszych kwadratów

wykorzystując wzór:

YZ)ZZ(P T1T gdzie:

mk2m1m

k22221

k11211

T

p...pp

............

p...pp

p...pp

P

- ocena macierzy

T parametrów postaci zredukowanej;

mk2m1m

k22221

k11211

z...zz

............

z...zz

z...zz

Z

- macierz obserwacji

zmiennych z góry ustalonych występujących w modelu;

mk2m1m

k22221

k11211

y...yy

............

y...yy

y...yy

Y

- macierz obserwacji

zmiennych łącznie współzależnych występujących w

modelu. Można również szacować parametry każdego równania

zredukowanego oddzielnie na podstawie wzoru:

i T1T

i yZ)ZZ(p (i=1,2,... ,m) gdzie:

]p,...,p,p[p ik2i1i T i - wektor ocen

parametrów i-tego równania postaci zredukowanej,

ni

i2

i1

i

y

.

.

.

y

y

y

- wektor obserwacji zmiennej łącznie

współzależnej, pełniącej rolę zmiennej objaśnianej w

szacowanym równaniu.

3. Oceny parametrów postaci strukturalnej

rozwiązuje się w drodze rozwiązywania układu równań:

TBP Jeśli szacuje się parametry pojedynczego, l -tego,

równania modelu, oceny parametrów il oraz γjl znajduje się w drodze przyrównania do siebie

elementów l-tego wiersza macierzy BP T i l-tego wiersza

macierzy .

8.7. Podwójna metoda najmniejszych kwadrató w

Podwójna metoda najmniejszych kwadratów służy do

oszacowania parametrów równań modeli o równaniach

współzależnych zarówno jednoznacznie, jak i niejednoznacznie identyfikowalnych. Parametry

każdego równania szacuje się oddzielnie.

Niech i oznacza numer szacowanego równania. W

równaniu tym występuje h zmiennych endogenicznych bez opóźnień czasowych, przy czym h-1 niech pełni

rolę zmiennych objaśniających. Ponadto w szacowanym

równaniu występuje f zmiennych z góry ustalonych. Szacowane równanie przedstawia się następująco:

h

il 1l

f

1j ijijlili ZYY

Idea podwójnej metody najmniejszych kwadratów

polega na tym, że zmienne łącznie współzależne Y 1, Y2,

...,Y i-1,Y i+1, ... ,Yh występujące w danym równaniu w roli

zmiennych objaśniających wyraża się przez zmienne z góry ustalone modelu Z1, Z2,. ..,Zk, co jest równoznaczne

z wyznaczeniem postaci zredukowanej:

k

1j ljljl ZY (l=1,2,... ,i-1,i+1,... ,h)

Parametry postaci zredukowanej szacuje się metodą najmniejszych kwadratów korzystając ze wzoru:

i T1T

i YZ)ZZ(P gdzie Z – macierz (n x k) obserwacji zmiennych z góry

ustalonych całego modelu; Yi – macierz [n x (h-1)] obserwacji zmiennych łącznie współzależnych

występujących w szacowanym równaniu w roli

zmiennych objaśniających; P i – macierz [k x (h-1)] ocen

parametrów postaci zredukowanej zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym

równaniu w roli zmiennych objaśniających.

Na podstawie oszacowanej postaci zredukowanej

oblicza się teoretyczne wartości zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym

równaniu w roli zmiennych objaśniających:

ii ZPŶ

gdzie: iŶ - macierz [n x (h-1)] wartości teoretycznych

tych zmiennych.

Oszacowane zmienne łącznie współzależne, pełniące w

danym równaniu rolę zmiennych objaśniających,

wstawia się do tego równania tak, że otrzymuje się równanie o postaci:

h

il 1l

f

1j ijijlili ZŶY

Parametry tego równania szacuje się metodą

najmniejszych kwadratów korzystając ze wzoru:

i T

ii

1

ii T

ii

i

i

i y]ZŶ[]ZŶ[]ZŶ[ c

b a

gdzie: ai – wektor [(h-1+f) x 1] ocen parametrów

strukturalnych szacowanego równania; b i – wektor [(h-

1) x 1] ocen parametrów strukturalnych przy zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym

równaniu w roli zmiennych objaśniających; ci – wektor

(f x 1) ocen parametrów strukturalnych przy zmiennych z góry ustalonych w szacowanym równaniu; Zi –

macierz (n x f) obserwacji zmiennych z góry ustalonych

5

w szacowanym równaniu; y i – wektor (n x 1)

obserwacji zmiennej endogenicznej bez opóźnień

czasowych, pełniącej rolę zmiennej objaśnianej.

Wzór powyższy można zapisać w postaci równoważnej jako:

i T i

i T i

1

i T ii

T i

i T ii

T i

i

i

yZ

yŶ

ZZŶZ

ZŶŶŶ

c

b

Wariancję odchyleń losowych danego równania szacuje się na podstawie wzoru:

)f1h(n

ee S i

T i2

ie

gdzie ei oznacza wektor reszt szacowanego równania.

Oceną macierzy wariancji i kowariancji ocen

parametrów strukturalnych szacowanego równania jest:

1

i T ii

T i

i T ii

T i2

ie

i

i2

ZZŶZ

ZŶŶŶ S

c

b D

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome