Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (108.6 KB)
3 strony
258Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci

),()( ygxf dx dy



gdzie funkcje f i g są określone i ciągłe odpowiednio w przedziałach ),( ba oraz ).,( dc Sposób rozwiązywania takiego równania wyjaśnimy na przykładach. Przykład 1. Rozwiązać równanie dla x i y różnych od 0:

.02  y dx dyx

Rozdzielamy zmienne:

y dx dyx 2

2x dx

y dy



i całkujemy lewą stronę względem y, zaś prawą stronę względem x:

  2x dx

y dy

Odpowiednie całki obliczamy na kalkulatorze ClassPad 300:

tak więc mamy

C x

y  1ln ,

albo lepiej zapisać, że

C x

y ln1ln 

xe C y 1 

xeCy 1



, 1 xKey

gdzie C oraz K oznaczają pewne stałe.

Sprawdźmy, za pomocą ClassPada rozwiązanie wygląda tak:

Przykład 2. Rozwiązać równanie:

    .02222  dyyxxdxyxy Mamy kolejno:

    011 22  dyyxdxxy    dxxydyyx 11 22 

,11 22 dxx xdy

y y

  o ile .0,0  yx

Rozdzieliliśmy zmienne, a więc

 

  dx

x xdy

y y

22

11

czyli

,ln1ln1 Cx x

y y



a więc rozwiązanie równania, tzw. całka ogólna (CORR), jest podana w postaci uwikłanej. Wstawiając do danego równania 0x stwierdzamy, że jest to również rozwiązanie, podobnie jak i

.0y Są to tzw. całki szczególne równania różniczkowego (CSRR), których nie można otrzymać z całki ogólnej. Ostatecznie piszemy:

      

 

 

 

0: 0:

0,0,ln1ln1: 02222

yCSRR xCSRR

yxCx x

y y

CORR dyyxxdxyxy

Przykład 3. Znaleźć całkę równania:

,02  y dx dy

przy warunku początkowym .1)0( y Znajdujemy najpierw CORR:

czyli .1: Cx

y CORR  Skoro ,1)0( y więc ,0

1 1 C zatem .1C Całką danego równania,

zwaną również całką szczególną, jest ,11  x y

czyli

. 1

1 

x

y

Sprawdźmy, za pomocą ClassPada rozwiązanie wygląda tak:

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome