Materiały do wykładów i ćwiczeń z ekonometrii - Notatki - Ekonometria, Notatki'z Ekonometria
hermiona80
hermiona8031 May 2013

Materiały do wykładów i ćwiczeń z ekonometrii - Notatki - Ekonometria, Notatki'z Ekonometria

PDF (390.0 KB)
73 strony
413Liczba odwiedzin
Opis
Ekonomia: notatki z zakresu ekonometrii przedstawiające materiały do wykładów i ćwiczeń z ekonometrii.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 73
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
EKONOMETRIA

Mikołaj Rybaczuk

Wydział Zarządzania Politechniki Białostockiej Katedra Informatyki i Logistyki

MATERIAŁY DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ Z EKONOMETRII

Białystok 2001

2

Definicja

Ekonometria jest nauką o metodach badania ilościowych prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych za pomocą aparatu matematyczno-statystycznego. Stara się znaleźć ilościowe relacje, w jakich zmiana jednych wielkości (odgrywających rolę przyczyn) prowadzi do zmiany innych wielkości (skutków) przy jednoczesnym wyeliminowaniu wpływu na skutki innych, ubocznych, czynników.

Warunki wstępne, które muszą być spełnione, by prawidło- wości ekonomiczne mogły być przedmiotem analizy ekono- metrycznej: a) prawidłowość ekonomiczna musi być stała w czasie lub

ulegać nieznacznym i powolnym zmianom, b) wszystkie zjawiska uwzględniane w analizie ekonome-

trycznej muszą być mierzalne, c) musi istnieć grupa czynników, których wpływ na badane

zjawiska jest dominujący. Celem analizy jest szczegółowe wyodrębnienie wpływu każdego spośród czynników domi- nujących, podczas gdy wpływ czynników ubocznych (przypadkowych) jest ujmowany sumarycznie i interesuje nas jedynie rząd wielkości tego wpływu,

d) dostępne są dane statystyczne dotyczące kształtowania się wyróżnionych czynników. Badania ekonometryczne opie- rają się zasadniczo na dwóch rodzajach danych: - szeregach czasowych wartości poszczególnych zmien-

nych; - danych przekrojowych (ilustrujących kształtowanie się

pewnych zmiennych u różnych jednostek interesującej nas zbiorowości w tym samym momencie czasu).

3

Model ekonometryczny Model ekonometryczny jest to konstrukcja formalna, która za pomocą jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywany- mi zjawiskami ekonomicznymi. Model ekonometryczny powinien uwzględniać jedynie te związki między rozpatrywanymi zjawiskami, które są trwałe, i w których siła oddziaływania jednego zjawiska na drugie jest duża.

Model ekonometryczny przedstawia za pomocą równań zależności występujące pomiędzy zmiennymi.

Y=f(X1,X2,...,Xk,ε)

Zmienna endogeniczna (Y) – zmienna bieżąca lub opóźniona, która jest wyjaśniana przez model. Zmienne objaśniające (X1,X2,...,Xk) – zmienne (mierzalne lub niemierzalne), które w modelu występują jako zmienne, za pomocą których wyjaśnić chcemy prawidłowości w zakresie kształtowania się zmiennej endogenicznej. Zmienne egzogeniczne – zmienne, które występują w modelu dla przedstawienia mechanizmu wahań określonej zmiennej endogenicznej, jednak same nie są wyjaśniane przez model ekonometryczny. f – symbol oznaczający postać analityczną funkcji. Składnik losowy ε – łączny efekt oddziaływania na zmienną endogeniczną tych wszystkich czynników, które nie zostały uwzględnione jako zmienne objaśniające w modelu.

Składnik losowy ε jest zmienną losową. Na ogół zakłada się, że E(ε)=0. Istotne jest poznanie wariancji D2(ε), gdyż od jej war- tości zależy dokładność wnioskowania na podstawie modelu.

4

W modelach ekonometrycznych występują dwa rodzaje para- metrów: – parametry strukturalne modelu – zależy od nich wartość

funkcji f ; – parametry rozkładu składnika losowego ε modelu.

Etapy budowy modelu 1. Sprecyzowanie zakresu badania

– prawidłowy dobór zmiennych endogenicznych i objaśnia- jących, Trzy sposoby podejścia: a) opieramy się na istniejącej teorii ekonomicznej; b) gdy teoria nie jest dostatecznie rozwinięta i szczegóło-

wa – wychodzimy od materiału empirycznego. Szuka- my zmiennych, które są skorelowane ze zmiennymi endogenicznymi i są podstawy do przypuszczeń, że pozostają one ze zmiennymi endogenicznymi w związ- ku przyczynowo-skutkowym;

c) gdy teoria nie wskazuje na zmienne, które odgrywają rolę przyczyn w stosunku do zmiennych endogenicz- nych – jako zmienne objaśniające wybiera się te, które silnie korelują ze zmiennymi endogenicznymi,

– wybór analitycznej postaci równań modelu. 2. Zebranie danych statystycznych (w postaci szeregów czaso-

wych i danych przekrojowych), na podstawie których można będzie oszacować parametry strukturalne modelu i parame- try składnika losowego. Problem danych niedostępnych.

3. Estymacja parametrów modelu. 4. Weryfikacja modelu – ocena sensowności parametrów

strukturalnych i ocena, czy model z dostateczną dokładnoś- cią opisuje wahania zmiennych endogenicznych.

5. Praktyczne wykorzystanie modelu – ocena prawidłowości ilościowych w przeszłości lub wnioskowanie w przyszłość (predykcja).

5

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Z punktu widzenia walorów poznawczych: 1) modele przyczynowo-opisowe – między zmienną endoge-

niczną a zmiennymi objaśniającymi (przyczynami) każdego równania zachodzą związki przyczynowo-skutkowe (np. Y – dochód narodowy, X – zatrudnienie w sferze produkcji materialnej),

2) modele symptomatyczne – równania (ewentualnie niektóre z nich) nie mają interpretacji przyczynowo-skutkowej, rolę zmiennych objaśniających odgrywają zmienne silnie skore- lowane ze zmiennymi endogenicznymi (np. Y – dochód narodowy, X – liczba ludności w wieku produkcyjnym),

3) modele tendencji rozwojowych – opisują wahania zmien- nych endogenicznych w czasie z wyróżnieniem takich elementów jak trend, wahania periodyczne i przypadkowe.

Ze względu na czynnik czasu: 1) modele statyczne – zmienne występują bez opóźnień czaso-

wych (wszystkie odnoszą się do tego samego okresu lub momentu czasu), w zbiorze zmiennych objaśniających nie występuje zmienna czasowa t,

2) modele dynamiczne – pokazują rozwój zmiennych endoge- nicznych w czasie (model trendu, model autoregresyjny).

Ze względu na złożone powiązania między zmiennymi endo- genicznymi modelu: 1) modele proste, 2) modele rekurencyjne, 3) modele o równaniach współzależnych.

Ze względu na postać analityczną modelu: 1) modele liniowe, 2) modele nieliniowe.

6

Konstrukcja jednorównaniowego liniowego modelu ekono- metrycznego Dobór zmiennych do modelu – podstawowe kryterium: zmien- ne silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelo- wane między sobą:

- metoda Hellwiga Dana jest zmienna endogeniczna (objaśniana) Y oraz zbiór X={X1,X2,...,Xm} m kandydatek na zmienne objaśniające do jednorównaniowego modelu ekonome- trycznego. Dane są współczynniki korelacji liniowej Pearsona (R0 – cechy Y ze zmiennymi objaśniającymi,

R – cech objaśniających między sobą): Niepustych kombinacji zmiennych ze zbioru X jest 2m-1. Przez Cs oznaczymy zbiór numerów zmiennych wcho- dzących w skład s-tej kombinacji.

Określamy indywidualną pojemność informacyjną zmiennej Xj wchodzącej w skład s-tej kombinacji: Określamy integralną pojemność informacyjną s-tej kom- binacji:

Miary indywidualna jak i integralna przyjmują wartości z przedziału [0,1]. Najlepszy jest ten zestaw zmiennych objaśniających, dla którego pojemność integralna Hs jest największa, czyli:

     

     

=

     

     

=

1

1 1

1

321

33231

22321

11312

3

2

1

0 RR

!

"#"""

!

!

!

"

rrr

rrr rrr rrr

r

r r r

mmm

m

m

m

m

∑ ∈

=

C si ij

j sj r

rh 2

∑ ∈

= Csj

sjs hH

}12...,,2,1:max{: −== msopt sopt HHC

7

Przykład: Y – liczba studentów studiów dziennych w tys. osób

(w latach 1965-89), X1 – dynamika dochodu narodowego (ceny stałe –

1950=100), X2 – liczba miejsc w domach studenckich w tys., X3 – liczba ludności w wieku 20-24 lata w tys. osób, X4 – dynamika płac realnych (ceny stałe, 1950=100), X5 – liczba ludności z wykształceniem wyższym w tys. Wybrać optymalny podzbiór zmiennych.

Y Lata X1 X2 X3 X4 X5 Y 1,000 0,750 0,941 0,933 0,701 0,928 0,710

LATA 0,750 1,000 0,850 0,917 0,129* 0,674 0,992 X1 0,941 0,850 1,000 0,932 0,511 0,897 0,818 X2 0,933 0,917 0,932 1,000 0,454 0,834 0,899 X3 0,701 0,129* 0,511 0,454 1,000 0,602 0,047* X4 0,928 0,674 0,897 0,834 0,602 1,000 0,648 X5 0,710 0,992 0,818 0,899 0,047* 0,648 1,000

Podzbiory (zawęzimy do X1-X3): C1:{X1}; C2:{X2}; C3: {X3}; C4:{X1,X2}; C5:{X1,X3}; C6:{X2,X3}; C7:{X1,X2,X3} h11=0,9412/1=0,885; H1=0,885 h22=0,9332/1=0,870; H2=0,870 h33=0,7012/1=0,491; H3=0,491 h41=0,9412/(1+0,932)=0,458; h42=0,9332/(1+0,932)=0,451; H4=0,909 h51=0,9412/(1+0,511)=0,576; h53=0,7012/(1+0,511)=0,325; H5=0,901 h62=0,9332/(1+0,454)=0,599; h63=0,7012/(1+0,454)=0,338; H6=0,937 h71=0,9412/(1+0,932+0,511)=0,362; h72=0,9332/(1+0,932+0,511)=0,356; h73=0,7012/(1+0,932+0,511)=0,201; H7=0,919

8

Wniosek: najlepszy podzbiór spośród X1, X2, X3: X2, X3. - metoda analizy grafów

Testujemy testem t-Studenta dla współczynników korela- cji H0: rij≠0 dla ij – można obliczyć wartość krytyczną współczynnika korelacji r* według wzoru:

W macierzy R zerujemy wszystkie współczynniki kore- lacji nie różniące się istotnie od zera, a następnie budu- jemy graf powiązań między zmiennymi. Wierzchołkami grafu są zmienne, a łączącymi je krawędziami – istotnie różne od zera współczynniki korelacji. Do modelu wybieramy po jednej zmiennej z każdej gru- py – tą, która jest najsilniej skorelowana ze zmienną endogeniczną. Przykład: Metodą grafów wybrać optymalny podzbiór zmiennych objaśniających, gdy dany jest krytyczny współczynnik korelacji r*=0,4 oraz macierze współczynników korelacji:

Zerujemy współczynniki nie różniące się istotnie od zera (r≤r*):

t tr n 2

2 *

2 α

α

+− =

    

    

− −

−−− −− −

=

        

        

− −

=

00,1 12,000,1 07,015,000,1

25,030,010,000,1 45,010,040,030,000,1

43,050,020,015,060,000,1 17,006,040,050,007,012,000,1

oraz

15,0 20,0 15,0 50,0 70,0 25,0

85,0

0 RR

[ ]

    

    

− −

=

00,1 00,1

00,1 00,1

45,000,1 43,050,060,000,1

50,000,1 7654321

R

9

Uzyskujemy 3 grafy:

Wybieramy X5, X1 – jako silniej skorelowaną z Y niż X4 oraz X2 – gdyż X2 stanowi wierzchołek o najwyższym stopniu (r(X2)=3).

Szacowanie parametrów jednorównaniowego modelu liniowego

Y=α0+ α1X1 + α2X2 +...+αkXk

Zakładamy, że dysponujemy - wartościami zmiennej endogenicznej yt w okresie

t=1,2,...,n; - wartościami n-elementowych szeregów czasowych, które

zapisujemy jako xjt – wartość j-tej zmiennej w okresie t=1,2,...,n lub wartościami zmiennej objaśniającej na n obiektach w przypadku danych przekrojowych.

W ujęciu macierzowym:

- wektor obserwacji zmiennej objaśnianej,

5 1 4

23 6

7

   

   

=

× y

y y

y

n n

" 2

1

1

10

- macierz zaobserwowanych wartości zmiennych objaś- niających

- wektor składników losowych,

- wektor nieznanych parametrów modelu.

Uzyskujemy dwa warianty zapisu:

yt=α0+α1x1t+α2x2t+...+αkxktt, t=1,2,...,n

lub macierzowo

y=Xα+ε.

   

   

=

xxx

xxx xxx

knnn

k

k

kn!

"#"""

!

!

21

22212

12111

)1(1

1 1

X

   

   

=

×ε

ε ε

ε

n n

"

2

1

1

    

    

=

×+α

α α α

α

k k

"

2

1

0

1)1(

11

Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów: 1) zmienne objaśniające Xj są nielosowe i nieskorelowane ze

składnikiem losowym ε; 2) rz(X) = k+1 ≤ n; 3) E(ε)=0; 4) D2(ε) = E(εεT) = σ2I, σ2 < ∞; 5) εt: N(0,σ2) dla t=1,2,..., n.

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK): Celem jest wyznaczenie ocen nieznanych parametrów α mo- delu za pomocą ich estymatorów a.

Wartości zmiennej objaśnianej obliczonej ze wzoru = a0 + a1x1t + a2x2t + ... + akxkt, t=1, 2, ..., n nazywamy wartościami teoretycznymi (oczekiwanymi). W za- pisie macierzowym możemy zapisać:

Różnicę między wartościami empirycznymi yt a teoretycznymi nazywamy resztą dla okresu t, co w zapisie macierzowym ma postać:

yt̂ yt̂

aX

a

a a

1

1 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

n

2

1

21

22212

12111

=

   

   

=

   

   

=

       

       

"

!

"#"""

!

!

"

xxx

xxx xxx

y

y y

y

knnn

k

k

n

2

1

yt̂

aX

a

a a

1

1 1

ˆ

ˆ ˆ

n

2

1

21

22212

12111

−=

   

   

−===

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

y

xxx

xxx xxx

y

y y

y

y y

y

y y

e

e e

e

knnn

k

k

n

2

1

n

2

1

n

2

1

n

2

1

"

!

"#"""

!

!

""""

12

Metoda najmniejszych kwadratów służy do wyznaczenia ta- kiego wektora a oszacowań parametrów α, przy którym suma kwadratów odchyleń wartości teoretycznych od empirycznych zmiennej objaśniającej y osiągnie minimum:

S(a) = eTe = (y-Xa)T(y-Xa)=yTy – 2aTXTy+aTXTXa. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji S(a) jest Kolejne przekształcenia prowadzą do układu równań:

-2XTy+2XTXa = 0 i następnie do układu Cramera XTXa = XTy. Jeżeli rz(X)=k+1 (spełnione założenie 2) powyższy układ rów- nań ma jedyne rozwiązanie dane wzorem:

a = (XTX)-1XTy. Wektor a jest liniowym (każda jego składowa jest liniową funkcją składowych wektora y), zgodnym (zbieżnym stocha- stycznie do α), nieobciążonym (E(a)=α) i najefektywniejszym (mającym najmniejszą wariancję) estymatorem wektora α. Przykład Oszacować parametry strukturalne modelu opisującego współ- zależność między Yi – wydajnością pracy wyrażoną w sztu- kach/miesiąc a X1i – stażem pracy w latach i X2i – zmienną ze- ro-jedynkową wyrażającą poziom kwalifikacji (0 – bez wyksz- tałcenia zawodowego; 1 – posiada wykształcenie zawodowe).

yi - wydajność x1i x2i 155 1 0 171 2 1 172 3 0 207 5 1 201 4 1 210 5 1

0 a

S(a) = ∂

13

  

  

 =

       

       

= 111010 545321 111111

X

151 141 151 031 121 011

X T

( )     

    

= −

    

    

=

− −−

25.125.000.0 25.0125.025.0

00.025.01

XX 4164 168020 4206

XX T 1T

( )   

  

 ⋅

− −−

    

    

= −

111010 545321 111111

25.125.000.0 25.0125.025.0

00.025.01

XXX TT 1

( )

  

  

 =

      

      

  

  

−− −−

−−

= =−

75.10 5.11 5.140

210 201 207 172 171 155

025.0075.075.025.0 125.00125.0125.025.0125.0

25.0025.025.05.075.0 yXXXa TT

1

14

WERYFIKACJA JEDNORÓWNANIOWEGO MODELU EKONOMETRYCZNEGO

A. Weryfikacja merytoryczna

1. Bada się zgodność znaków ocen parametrów z wiedzą ekonomiczną o modelowanym zjawisku. Ocena aj para- metru strukturalnego αj mówi, o ile zmieni się wartość zmiennej Xj, przy której znajduje się parametr.

2. Jeżeli wiedza ekonomiczna nie wyjaśnia wystarczająco modelowanego zjawiska, wówczas sprawdzamy, czy model ekonometryczny jest koincydentny. Mówimy, że model jest koincydentny, gdy dla każdej zmiennej objaśniającej Xi spełniony jest warunek

sgn ri = sgn ai. 3. Miarami dokładności dopasowania modelu do danych

empirycznych jest współczynnik zbieżności ϕ2

lub współczynnik determinacji R2 określający, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej Y jest wyjaśniona przez model:

R2 jest liczbą z przedziału [0, 1]. Odpowiednią interpretację współczynnikowi R2 można nadać tylko wtedy, gdy: – model jest liniowy, – model zawiera wyraz wolny, – parametry modelu oszacowano metodą najmniejszych

kwadratów.

ϕ 22 1R −=

( ) ( ) yyy

yXayy yyy

eeˆ 2T

TTT

2T

T

1

2 1

2

2

nn −

− =

− ==

∑ −

∑ −

=

= n

t

n

t

yy

yy

t

ttϕ

15

Jeżeli k+1 – liczba szacowanych parametrów modelu jest niewiele mniejsza od liczby obserwacji n, to stosujemy skorygowany współczynnik determinacji

Skorygowany współczynnik determinacji nie jest unor- mowany (może przyjmować wartości ujemne). Gdy model ekonometryczny nie ma wyrazu wolnego do mierzenia dopasowania modelu do danych empirycznych stosuje się niescentrowany współczynnik determinacji:

4. Efekt katalizy – niosą zmienne zwane katalizatorami – polega na uzyskiwaniu zbyt wysokiej wartości współ- czynnika determinacji R2, mimo że zmienne objaśniają- ce i objaśniana nie uzasadniają tego. Mając dane macierze współczynników korelacji:

uporządkujmy zmienne Xi tak, że współczynniki kore- lacji z wektora R0 będą spełniały warunek:

0< r1 ≤ r2 ≤ ... ≤ rk By uzyskać tylko dodatnie współczynniki korelacji, mnożymy ujemnie korelujące zmienne przez –1. Przy tak uporządkowanych zmiennych objaśniających z pary zmiennych (Xi, Xj) zmienna Xi będzie katalizato- rem, gdy

( ) RRR-1RR 22222 ,)1( ≤+−−= kn k

]1,0[1 Ryy eeR 2NT

T 2

N ∈−=

     

     

=

     

     

=

1

1 1

1

321

33231

22321

11312

3

2

1

0 RR

!

"#"""

!

!

!

"

rrr

rrr rrr rrr

r

r r r

kkk

k

k

k

k

.lub0 r rrr

j

i ijij ><

16

Natężenie efektu katalizy mierzymy za pomocą miary: η = R2 – H,

gdzie H jest integralną pojemnością informacyjną zesta- wu zmiennych objaśniających modelu z metody Hellwi- ga doboru zmiennych do modelu. Spełniona jest nierówność 0 ≤ η ≤ 1. Do porównywania różnych modeli wygodne jest względne natężenie efektu katalizy:

B. Weryfikacja statystyczna

1. Analiza błędów oszacowań parametrów Estymatorem obciążonym wariancji składnika resztowe- go (losowego) S2 jest:

lub nieobciążonym

Macierz kowariancji estymatora wektora parametrów a dana jest wzorem:

Szczególne znaczenie mają pierwiastki elementów z głównej przekątnej macierzy D2(a)

nazywane średnimi błędami oszacowań parametrów mo- delu (odchyleniami standardowymi) oraz średnie względ- ne błędy oszacowań parametrów

%.100ç

RW 2ç ⋅=

( ) )TT(11 XayyyˆS 1

222 −∑ − −=−=≈ = knttkn n

t yyσ

( ) )TT( 1

1 1

1 XayyyˆŜ 1

222 −∑ − −−=−−=≈ = knttkn n

t yyσ

[ ]dX)X(ŜX)X(ó(a)D )1)(1(1212 TT2 ij kk ++−− =≈=

kjjja jS ...,,1,0,d ==

kj j

a j

a S

...,,1,0%100 =⋅

17

cd. przykładu ze str. 11

Błędy średnie (odchylenia standardowe) oszacowań parametrów:

[ ] =

   

  

   

  

       

       

− −−

=

= −−

= −

75.208 25.197 75.208

175 25.174

152

210201207172171155210200 126

1

)TT( 1

1 XayyyŜ 2

kn

( )

    

    

    

    

= −

− −−

− =

= −

−− −

=

69.1994.300.0 94.397.194.3

00.094.375.15

25.125.000.0 25.0125.025.0

00.025.01 75.15XXŜ)a(D T

22 1

44.469,19)D(40.197,1)D(97.375,15)D( aaa 210 ======

{ }

8125.11

75.1575.210152210200 3 1

S2 = =−=

18

2. Ocena istotności parametrów modelu ekonometrycznego

a) test t-Studenta Przyjmując, że spełnione jest założenie 5) klasycznej metody najmniejszych kwadratów ze str. 10 dotyczące normalności składnika resztowego, to zmienna losowa

ma rozkład t-Studenta z n-k-1 stopniami swobody. Wykorzystywana jest ona jako sprawdzian testu do weryfikacji hipotezy H0: αj=0 przy hipotezie alterna- tywnej H1: αj≠0.

b) Uogólniony test Walda Jeżeli zbudowany jest model ekonometryczny z k zmiennymi objaśniającymi i chcemy go rozbudować przez wprowadzenie m nowych zmiennych objaśnia- jących, to do oceny czy łączny efekt wprowadzanego zestawu zmiennych jest istotny służy test Walda. Weryfikuje on hipotezę H0: αk+1= αk+2= ... = αk+m=0 przy hipotezie alternatywnej H1: co najmniej jeden z testowanych parametrów jest różny od zera. Test można zastosować po oszacowaniu parametrów modeli podstawowego i rozszerzonego o ile można przyjąć, że spełnione jest założenie 5) klasycznej me- tody najmniejszych kwadratów ze str. 10 dotyczące normalności składnika resztowego. Sprawdzianem testu jest statystyka

gdzie e – wektor składników resztowych modelu pod- stawowego i r – wektor składników resztowych mode- lu rozszerzonego. Zmienna losowa F ma rozkład F- Snedecora z r1=m i r2=n-k-1-m stopniami swobody.

kj S at

a j

j ...,,1==

( ) , m)-1-k-r/(nr

/rr-eeF T

TT m=

19

Do zweryfikowania hipotezy o istotności wszystkich zmiennych objaśniających w modelu podstawowym, czyli: H0: α1= α2= ... = αk=0 przy hipotezie alterna- tywnej H1: przynajmniej jeden z parametrów jest róż- ny od zera, stosujemy sprawdzian

gdzie R2 – scentrowany współczynnik determinacji zbudowanego modelu. Zmienna losowa F ma rozkład F-Snedecora z r1=k i r2=n-k-1 stopniami swobody.

Test ten może być wykorzystany do oceny istotności współczynnika determinacji modelu, czyli H0: R2=0 przy konkurencyjnej hipotezie H1: R2≠0.

c) test mnożnika Lagrange’a Jeżeli nie można przyjąć, że spełnione jest założenie 5) klasycznej metody najmniejszych kwadratów ze str. 10 dotyczące normalności składnika resztowego, to stosowany jest ten test do zweryfikowania hipotezy o istotności zestawu m zmiennych objaśniających rozszerzających model podstawowy, w którym już jest k zmiennych, czyli analogicznie jak w teście Walda H0: αk+1= αk+2= ... = αk+m=0 przy hipotezie alternatyw- nej H1: co najmniej jeden z testowanych parametrów jest różny od zera. By zastosować ten test szacujemy parametry modelu podstawowego, obliczamy wektor składników reszto- wych, następnie szacujemy parametry i współczynnik determinacji R2 modelu:

, 1)-k-)/(nR-(1

/RF 2

2 k=

nttjt mk

j j ...,,2,1,hxââe

1 0t =+∑+=

+

=

20

Dla n>30 statystyka n⋅R2 ma rozkład χ2 z m stopniami swobody. Jeżeli odrzucimy H0, to co najmniej jedna ze zmiennych rozszerzających powinna być włączona do modelu podstawowego.

3. Ocena liniowości modelu ekonometrycznego Do zweryfikowania hipotezy H0: oszacowany model ekonometryczny jest liniowy przy hipotezie alternatyw- nej H1: model nie jest liniowy, stosowany jest test serii Walda-Wolfowitza omówiony w ramach wykładu ze statystyki. Zasada: po uporządkowaniu ciągu reszt według wybra- nej zmiennej objaśniającej określamy stopień przemie- szania znaków dodatnich i ujemnych reszt. Resztom ujemnym przyporządkowujemy A, dodatnim – B i usta- lamy liczbę serii:

ABBBABAAAABAABAAAABBBBBBAA Niech r oznacza liczbę serii, n1 i n2 – liczbę symboli A i B. Jeżeli liczebności prób są mniejsze lub równe 20, musi- my skorzystać ze specjalnych tabel lub pakietów sta- tystycznych. Jeżeli n1 i n2 są większe niż 20, to rozkład liczby serii można przybliżyć rozkładem normalnym:

Sprawdzianem hipotezy H0 jest statystyka

gdzie r oznacza liczbę serii. Z tablic rozkładu N(0,1) lub t-Studenta z ∞ liczbą stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną uα.

) )1()( )2(2

, 2

1N( 2121

2 212121

21

21

$$$$ %$$$$ &'$%$&' σ rmr

nnnn nnnnnn

nn nn

−++ −−

+ +

σ r rmu r −=obl

21

5. Ocena autokorelacji składnika losowego modelu ekono- metrycznego

a) test Durbina-Watsona Sprawdzenia wymaga spełnienie założenia 4) klasycznej metody najmniejszych kwadratów ze str. 11:

D2(ε) = E(εεT) = σ2I, którego niespełnienie powoduje że estymator a ma duże wariancje. Niech εt=ρεt-1+ηt , ρ <1 (ρ nazywamy współczynni- kiem autokorelacji) – opis procesu autokorelacji I rzędu. Niech ηt będzie zmienną losową spełniającą warunki: E(η)=0 i D2(η)=σ02I. Zachodzą następujące równości:

Nieobciążonym estymatorem współczynnika autokore- lacji jest:

By sprawdzić, czy składniki losowe modelu są skutkiem autokorelacji I rzędu stosowany jest test Durbina-Watso- na do zweryfikowania hipotezy H0: ρ=0 (nieskorelowa- nie składników losowych). Sprawdzianem jest statystyka

    

    

= −

=

1

1

1

)(oraz 1

1

ñññ

ñññ ñññ

Dñ ñ

3-n2-n1-n

2-n

1-n2

222

02 2

!

!!#!!

!

!

σεσ

∑∑

= −

=

= −

= n

t t

n

t t

n

t tt

ee

ee

2

2

1 2

2

2 1ρ̂

∑ −

∑ −

∑ −

= −

=

=

=

=

= −

≈ −

≈ −

= n

t t

n

t n

t t

n

t n

t t

n

t

e

ee

e

ee

e

ee tttttt

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2 )()()( d

111

22

Z zapisu wynika, że d ≈ 2(1 - ) należy do przedziału [0, 4]. Tablice zawierające graniczne wartości d dla α=0.05 znaleźć można w zbiorze zadań Edwarda Nowa- ka Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań, PWN, War- szawa 1997. Przy weryfikacji H1: ρ>0 podane tam wartości dL i dU mają następującą interpretację: d≤ dL – H0 odrzucamy; d≥ dU – brak podstaw do odrzucenia H0; dL< d < dU – nie podejmujemy żadnej decyzji. Przy weryfikacji H1: ρ<0 podane tam wartości dL i dU mają następującą interpretację: d≥ 4-dL – H0 odrzuca- my; d≤ 4-dU – brak podstaw do odrzucenia H0; 4-dU< d < 4-dL – nie podejmujemy żadnej decyzji.

b) test mnożnika Lagrange’a W przypadku nie podjęcia żadnej decyzji testem Dur- bina-Watsona H0: ρ=0 przy H1: ρ≠0 stosujemy test, którego kroki mają postać: 1) szacujemy parametry interesującego nas modelu, 2) obliczamy składniki resztowe et, t=1, 2, ..., n, 3) szacujemy parametru modelu pomocniczego:

i obliczamy współczynnik determinacji R2 dla tego modelu,

4) Dla n>30 statystyka (n-1)⋅R2 ma rozkład χ2 z 1 stop- niem swobody.

ñ̂

ntttjt k

j j k ...,,2,1,heâxââe 110t 1

=+++= −∑ = +

23

6. Heteroskedastyczność składnika losowego modelu eko- nometrycznego Heteroskedastyczność składnika losowego – składniki losowe wzajemnie nieskorelowane, ale mają różne wa- riancje. Macierz kowariancji ma postać:

Sprawdzenie równości wariancji polega na zweryfiko- waniu hipotez: H0: const, t=1, 2, ..., n (składnik losowy homoske- dastyczny); H1: const, t=1, 2, ..., n (składnik losowy heteroske- dastyczny).

W przypadku normalności składnika losowego liniowego modelu ekonometrycznego do zweryfikowania powyż- szych hipotez można zastosować test Harrisona- McCabe’a.

a) test Harrisona-McCabe’a 1) Szacujemy parametry modelu y=Xα + ε. 2) Obliczamy reszty et, t=1, 2, ..., n. 3) Obliczamy wartość statystyki b ze wzoru:

m musi spełniać warunki: 1<m<n, m>k+1, n-m>k+1 i jest wyznaczane według zasady:

ntt

n

...,,2,1,,

00

00 00

)( ó

ó

ó ó

åD 2 2

2

2

2

1

2 =+∞<

    

    

=

!

!!!!

!

!

=ó 2

t

≠ó 2

t

∑ =

∑ == n

t t

m

t t

e

e

1 2

1 2

b

24

, n parzyste, reszty monotoniczne,

, n nieparzyste, reszty monotoniczne,

numer obserwacji, której odpowiada najwięk- sza (najmniejsza) co do modułu wartość resz- ty, jeżeli reszty najpierw rosną – później ma- leją.

4) Wyznaczamy wartości krytyczne:

gdzie F1 jest wartością krytyczną rozkładu F-Snede- cora dla poziomu istotności α z r1=n-m, r2=m-k-1 stopniami swobody, F2 – wartością krytyczną roz- kładu F-Snedecora dla poziomu istotności α z r1=n- m-k-1, r2=m stopniami swobody.

5) Decyzję podejmujemy następująco: b≤bL H0 odrzucamy, bL<b<bU nie podejmujemy żadnej decyzji, b≥bU brak podstaw do odrzucenia H0.

b) test White’a Stosujemy gdy n>30. 1) Szacujemy parametry modelu

yt=α0+α1x1t+α2x2t+...+εt, t=1, 2, ..., n i obliczamy reszty et i ich kwadraty. Przyjmujemy, że .

2) Szacujemy parametry pomocniczego modelu

   

   

− = 2

1 2 n

n

m

m kmn

km mn FbFb 2U1L )1(1

1

1 )(

1

1 ⋅−−−

+ =

−− ⋅−

+ =

≈ó 2

t e 2

t

hââ âââââó

...3122k2112k...

...222k 2 11k...22110

2

ttttt

ttttt

xxxx xxxx

++++++

++++++++=

25

3) Obliczamy współczynnik determinacji R2 dla mode- lu pomocniczego. Statystyka n⋅R2 ma rozkład χ2 z tyloma stopniami swobody, ile jest składników z x- em w modelu pomocniczym.

4) Na poziomie istotności α weryfikujemy H0: β1=β2=...=βk+1=βk+2=...=β2k+1=β2k+2=...=0

przy H1, że co najmniej jeden parametr jest różny od 0. Jeśli H0 nie zostanie odrzucona, składnik losowy mo- delu można uznać za homoskedastyczny.

7. Ocena normalności składnika losowego modelu ekono- metrycznego W celu zweryfikowania hipotez

H0: składnik losowy modelu liniowego ma rozkład normalny;

H1: składnik losowy modelu liniowego nie ma roz- kładu normalnego

możemy zastosować jeden z poniższych testów. a) test Jarque-Bera 1) Szacujemy parametry modelu y=Xα + ε. 2) Obliczamy reszty et, t=1, 2, ..., n. 3) Szacujemy wartość nieobciążonego estymatora od-

chylenia standardowego składnika losowego:

4) Szacujemy wartość miary asymetrii rozkładu reszt związanej z trzecim momentem (dla rozkładów symetrycznych równa się 0):

∑= =

n

t ten 1 21S

∑= =

n

t

te n 1 3

3

1 S

1 B

26

5) Szacujemy wartość miary kurtozy rozkładu reszt związanej z czwartym momentem (dla rozkładu normalnego równa się 3):

6) Szacujemy wartość statystyki JB

która ma rozkład χ2 z dwoma stopniami swobody.

b) test Shapiro-Wilka 1) Szacujemy parametry modelu ekonometrycznego

i porządkujemy reszty niemalejąco: e(1) ≤e(2) ≤...≤e(n). 2) Obliczamy wartość statystyki

gdzie an-i+1, i=1, 2, ..., h (h=n/2 dla n parzystych i h=(n-1)/2 dla n nieparzystych) są współczynnika- mi, które można odczytać w Zarys metod ekonome- trii. Zbiór zadań. Edward Nowak, PWN, Warszawa 1997, str. 204-206.

3) Z tablic testu Shapiro-Wilka (Zarys metod ekono- metrii. Zbiór zadań. Edward Nowak, PWN, War- szawa 1997, str. 207) odczytujemy wartość krytycz- ną dla poziomu istotności γ.

4) Jeśli W obliczone będzie większe niż wartość kry- tyczna odczytana z tablic, brak podstaw do odrzu- cenia H0 (normalność rozkładu).

  

  −+= )3B(24

1 B6

1JB 2 2

1n

∑= =

n

t

te n 1 4

4

2 S 1

B

∑ =

∑ =

+−+

 

  −

= n

1i i

2

h

1i )i()1in(1i-n

2

)ee(

)ee(a W

27

Przykład Mamy następujące dane:

Lata NIt NIt-1 QSt SZMt U7677t 1975 30 579 448 832 36,2 0 1976 29 096 30 579 484 739 37,1 1 1977 28 759 29 096 502 432 37,1 1 1978 20 908 28 759 509 969 37,1 0 1979 16 106 20 908 503 084 39,5 0 1980 12 083 16 106 487 740 41,7 0 1981 10 870 12 083 430 675 44,6 0 1982 7 932 10 870 397 082 46,8 0 1983 8 259 7 932 424 878 48,4 0 1984 11 286 8 259 441 448 50,3 0 1985 14 309 11 286 436 965 52,1 0 1986 15 230 14 309 447 696 52,8 0 1987 16 519 15 230 446 768 52,4 0 1988 17 005 16 519 458 920 52,4 0 1989 17 460 17 005 470 317 52,5 0

gdzie: NI – nakłady inwestycyjne w mln zł (ceny stałe z 1984 r.)

QS – produkcja w mln zł (ceny stałe z 1984 r.) SZM – stopa zużycia majątku trwałego (%) U7677 – zmienna zero-jedynkowa przyjmująca 1 w la-

tach 76 i 77 oraz 0 w pozostałych latach. Oszacować parametry modelu:

NIt=α0+α1NIt-1+α2QSt+α3SZMt+α4U7677+εt NIt=-33665+0.6546 NIt-1+0.036 QSt+452.7 SZMt+

+8509 U7677+et R2=0.9933 R2popr=0.9866 Błędy parametrów: Sa0=7231; Sa1=0.090; Sa2=0.015; Sa3=61.5; Sa4=1123.6 ta0=4.65 ta1=7.25 ta2=2.36 ta3=7.36 ta4=7.57

28

Współczynniki korelacji liniowej: NI NIt-1 QS SZM U7677 -1*SZM

NI 1,000 ,92 ,57 -,6222 ,66 ,62 NIt-1 ,916 1,00 ,83 -,7595 ,71 ,76 QS ,574 ,83 1,00 -,5751 ,42 ,58 SZM -,622 -,76 -,58 1,0000 -,50 -1,00 U7677 ,657 ,71 ,42 -,5050 1,00 ,50 -1*SZM ,622 ,76 ,58 -1,0000 ,50 1,00

Zestawienie empirycznych i teoretycznych wartości zmiennej objaśnianej NI oraz wielkości reszt i ich kwadratów:

LATA NI NI oblicz. e e2 1975 30579,00 1976 29096,00 29106,79 -10,787 116,368 1977 28759,00 28772,96 -13,964 194,982 1978 20908,00 20314,70 593,305 352010,3 1979 16106,00 16014,05 91,949 8454,655 1980 12083,00 13314,22 -1231,22 1515897, 1981 10870,00 9939,252 930,748 866292,2 1982 7932,000 8931,814 -999,814 999628,0 1983 8259,000 8733,575 -474,575 225221,6 1984 11286,00 10404,28 881,721 777431,2 1985 14309,00 13039,23 1269,774 1612327, 1986 15230,00 15721,29 -491,287 241363,3 1987 16519,00 16109,69 409,314 167538,0 1988 17005,00 17390,94 -385,937 148947,7 1989 17460,00 18164,64 -704,635 496510,5

Suma e=-135 Suma e2=7411933 Średnia e=-9.7 Średnia e2=529424 n=14 Se=907.4 – odchylenie standardowe składnika resztowego (błąd standardowy estymacji).

29

Przykład (Nowak 21) Mamy następujące dane:

t Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 10,3 48 5 1,2 5 1,25 0,85 2 10,5 38 15 3,1 12 1,13 0,98 3 10,6 43 18 1,9 5 1,29 0,82 4 10,7 50 11 1,3 10 1,22 0,70 5 11,0 33 25 2,0 7 1,28 0,53 6 11,5 28 18 2,5 5 1,12 0,48 7 12,0 35 28 1,1 13 1,20 0,61 8 12,2 28 34 2,1 7 1,18 0,47 9 12,5 22 23 3,6 18 1,24 0,67 10 12,6 30 29 4,9 9 1,15 0,42 11 13,0 25 26 2,0 10 1,13 0,49 12 13,9 25 25 4,5 18 1,17 0,41 13 14,4 22 36 5,0 19 0,95 0,40 14 15,2 21 31 4,2 27 1,00 0,50 15 16,0 20 37 6,8 36 0,70 0,37

gdzie: Y – koszty jednostkowe w tys. zł.

X1 – wielkość produkcji w tys. szt. X2 – przeciętny wiek maszyn w latach. X3 – udział braków w %. X4 – przestój maszyn z powodu awarii w dniach X5 – przeciętna wydajność pracy robotników (% wyk.

normy). X6 – udział produkcji wyrobów typowych w produkcji

globalnej. Do modelu wybrano spośród kandydujących zmiennych objaśniających X1, X4 i X6. Oszacować parametry modelu:

Yt=α0+α1X1t+α4X4t+α6X6tt

30

Uzyskano model: Yt=13,8225-0,0337X1t+0,1224X4t-3,4184X6t+et

=13,8225-0,0337X1t+0,1224X4t-3,4184X6t a0 a1 a4 a6 Błąd standardowy estymacji (pierwiastek z wariancji skład- nika resztowego):

Se=0,43618 Współczynniki determinacji:

R2=0.9530 R2popr=0.9402 Średnie błędy oszacowań parametrów: Sa0=0,661003; Sa1=0,020933; Sa4=0,016973; Sa6=0,938113

Ocena istotności parametrów (15-3-1 stopni swobody): ta0=20,91 ta1=1,61 ta4=7,21 ta6=3,64 Zmienna X1 jako nieistotna może być usunięta z modelu.

Po jej usunięciu uzyskujemy model: Yt=13,1709+0,13685X4t-4,4448X6t+et

=13,1709+0,13685X4t-4,4448X6t a0 a1 a6 Błąd standardowy estymacji (pierwiastek z wariancji skład- nika resztowego):

Se=0,46433 Współczynniki determinacji: R2=0.9419 R2popr=0.9323

Średnie błędy oszacowań parametrów: Sa0=0,5568; Sa4=0,0153; Sa6=0,7334

Ocena istotności parametrów (15-3-1 stopni swobody): ta0=23,65 ta4=8,92 ta6=6,06

tŶ

tŶ

31

Zestawienie empirycznych i teoretycznych wartości zmiennej objaśnianej Y oraz wielkości reszt i ich kwadratów:

t Y e e2 1 10,3 10,077 0,223 0,050 2 10,5 10,457 0,043 0,002 3 10,6 10,210 0,390 0,152 4 10,7 11,428 -0,728 0,529 5 11,0 11,773 -0,773 0,597 6 11,5 11,721 -0,221 0,049 7 12,0 12,238 -0,238 0,057 8 12,2 12,040 0,160 0,026 9 12,5 12,655 -0,155 0,024 10 12,6 12,535 0,065 0,004 11 13,0 12,361 0,639 0,408 12 13,9 13,811 0,089 0,008 13 14,4 13,992 0,408 0,166 14 15,2 14,642 0,558 0,311 15 16,0 16,451 -0,451 0,204

Suma e=0,00796 Suma e2=2,5873

Stosujemy Test Walda w celu sprawdzenia, czy któraś z zesta- wu zmiennych X2, X3, X5 jest istotna. Zweryfikujemy hipotezę H0: α2= α3=α5=0 przy hipotezie alternatywnej H1: co najmniej jedna z testowanych parame- trów jest różny od zera. Sprawdzianem testu jest statystyka

gdzie e – wektor składników resztowych modelu podstawo- wego i r – wektor składników resztowych modelu rozszerzo- nego. Zmienna losowa F ma rozkład F-Snedecora z r1=m i r2=n-k-1-m stopniami swobody.

( ) , m)-1-k-r/(nr

/rr-eeF T

TT m=

32

Model rozszerzony: Yt=α0+α4X4t+α6X6t+ α2X2t+α3X3t+α5X5tt

Uzyskano model: =12,693+0,224X2t+0,050X3t+0,118X4t-0,438X5t-3,4184X6t

a0 a2 a3 a4 a5 a6

Błąd standardowy estymacji (pierwiastek z wariancji skład- nika resztowego):

Se=0,50838 Współczynniki determinacji: R2=0.9478 R2popr=0.9188

Średnie błędy oszacowań parametrów: Sa0=2,626 Sa2=0,027 Sa3=0,150 Sa4=0,031

Sa5=1,784 Sa6=1,232

Ocena istotności parametrów (15-3-1 stopni swobody): ta0=4,83 ta2=0,84 ta3=0,34 ta4=3,83 ta5=0,25 ta6=2,86

Zestawienie empirycznych i teoretycznych wartości zmiennej objaśnianej Y oraz wielkości reszt i ich kwadratów:

t Y e e2 r 1 10,3 10,077 0,223 0,050 9,919 0,381 2 10,5 10,457 0,043 0,002 10,659 -0,159 3 10,6 10,210 0,390 0,152 10,333 0,267 4 10,7 11,428 -0,728 0,529 11,189 -0,489 5 11,0 11,773 -0,773 0,597 11,755 -0,755 6 11,5 11,721 -0,221 0,049 11,633 -0,133 7 12,0 12,238 -0,238 0,057 12,239 -0,239 8 12,2 12,040 0,160 0,026 12,216 -0,016 9 12,5 12,655 -0,155 0,024 12,613 -0,113 10 12,6 12,535 0,065 0,004 12,669 -0,069

Ŷ * t

Ŷ Ŷ *

33

11 13,0 12,361 0,639 0,408 12,337 0,663 12 13,9 13,811 0,089 0,008 13,648 0,252 13 14,4 13,992 0,408 0,166 14,169 0,231 14 15,2 14,642 0,558 0,311 14,587 0,613 15 16,0 16,451 -0,451 0,204 16,502 -0,502

eTe=2,5873 rTr=2,3265

Test mnożnika Lagrange’a

Obliczamy reszty et z modelu podstawowego jak w teście Walda, a następnie szacujemy parametry o obliczamy współczynnik determinacji dla modelu pomocniczego:

et=β0+β2X2t+β3X3t+β5X5tt

Uzyskano model: = −0,38616+0,00797X2t+0,00608X3t+0,15525X5t

b0 b2 b3 b5

Błąd standardowy estymacji (pierwiastek z wariancji skład- nika resztowego):

Se=0,47901 Współczynnik determinacji: R2=0.0245

Sprawdzian: n*R2 =15*0,0245=0,3675 - rozkład χ2 z 3 st.sw. (n>30 – nie spełniony).

Współczynnik autokorelacji I rzędu (H0: ρ=0)

d=2(1-0,2302)=1,5396

2302,0 170261,018125,0

040442,0

2

2

1 2

2

2 1ˆ ===

∑∑

= −

=

= −

n

t t

n

t t

n

t tt

ee

ee ρ

34

Test Harrisona-McCabe’a

1. Parametry modelu: =13,1709+0,13685X4t-4,4448X6t

2. Obliczamy reszty et: 0,223 0,043 0,390 -0,728 -0,773 -0,221 -0,238 0,160 -0,155 0,065 0,639 0,089 0,408 0,558 -0,451 3. Obliczamy wartość statystyki b (dane w przykładzie doty-

czą 15 zakładów, więc są to dane przekrojowe, reszty moż- na więc uporządkować niemalejąco i przyjąć m=(15-1)/2=7. Gdyby dane dotyczyły kolejnych lat – porządkowanie byłoby niewskazane – m byłoby numerem największej (gdyby najpierw rosły) lub najmniejszej (gdyby najpierw malały) co do wartości bezwzględnej reszty et). Uporządkowane reszty:

0,043 0,065 0,089 -0,155 0,160 -0,221 0,223 -0,238 0,390 0,408 -0,451 0,558 0,639 -0,728 - 0,773

Sumujemy kwadraty reszt podkreślonych oraz kwadraty wszystkich reszt i otrzymujemy:

b=0.16219/2.587997=0.0627. Przyjmując α=0.05 odczytujemy F1 dla r1=15-7=8 i r2=7-2- 1=4 stopni swobody (F1=6.041) oraz F2 dla r1=15-7-2-1=5 i r2=7 stopni swobody (F1=3.972) i obliczamy bL=0.076 i bU=0.2606. Ponieważ b=0.0627<bL=0.076, więc odrzucamy H0 o ho- moskedastyczności składnika losowego.

Test White’a 1. Parametry modelu:

=13,1709+0,13685X4t-4,4448X6t 2. Obliczamy reszty et: 0,223 0,043 0,390 -0,728 -0,773 -0,221 -0,238 0,160

tŶ

tŶ

35

-0,155 0,065 0,639 0,089 0,408 0,558 -0,451 3. Szacujemy parametry modelu pomocniczego:

Po oszacowaniu parametrów otrzymujemy

-1.0854+0.0054x4t+4.1376x6t+0.0002x24t-3.0397x26t- -0.0197x4tx6t

Współczynnik determinacji R2=0.1985. χ2=15*0.1985=2.98 z 5 stopniami swobody Krytyczna wartość χ2 dla α=0.05 wynosi 11.007. Brak podstaw do odrzucenia H0, składnik można uznać za homoskedastyczny.

Test normalności składnika losowego Jarque-Bera

1. Parametry modelu: =13,1709+0,13685X4t-4,4448X6t

2. Obliczamy reszty et: 0,223 0,043 0,390 -0,728 -0,773 -0,221 -0,238 0,160 -0,155 0,065 0,639 0,089 0,408 0,558 -0,451 3.

4.

5.

6. JB=15((-0.3929)*(-0.3929)/6+(2,2461-3)2/24)=0.741 JB=0.741<χ20.05,2=5.991, brak podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności składnika losowego modelu.

hââââââe 6446 2 666

2 44466440

2

tttttttt xxxxxx ++++++=

=ó̂ 2

t

tŶ

4154.02.588/15S ==

3929.015/5311.5-B1 −==

2461,215/6916.33B2 ==

36

Test normalności składnika losowego Shapiro-Wilka

1. Parametry modelu: =13,1709+0,13685X4t-4,4448X6t

2. Obliczamy reszty et: 0,223 0,043 0,390 -0,728 -0,773 -0,221 -0,238 0,160 -0,155 0,065 0,639 0,089 0,408 0,558 -0,451

Porządkujemy reszty niemalejąco t e e(t) a(n-t+1) e(n-t+1)- e(t) a(n-t+1)(e(n-t+1)- e(t)) 1 0,223 -0,773 0,5150 1.412 0.7272 2 0,043 -0,728 0,3306 1.286 0.4252 3 0,390 -0,451 0,2495 0.859 0.2143 4 -0,728 -0,238 0,1878 0.628 0.1179 5 -0,773 -0,221 0,1353 0.444 0.0601 6 -0,221 -0,155 0,0880 0.315 0.0277 7 -0,238 0,043 0,0433 0.046 0.0020 8 0,160 0,065 9 -0,155 0,089 10 0,065 0,160 11 0,639 0,223 12 0,089 0,390 13 0,408 0,408 14 0,558 0,558 15 -0,451 0,639

Suma 1.5744

Wobl.=1.57442/2.589=0.9574 Dla poziomu istotności α=0.05 i n=15 odczytujemy wartość krytyczną W=0.881.

Ponieważ Wobl.>W, więc brak podstaw do odrzucenia H0 o normalności rozkładu składnika losowego.

tŶ

37

Estymacja parametrów modeli ekonometrycznych z autokorelacją składnika losowego

metodą Cochrane-Orcutta

Problem autokorelacji nie dotyczy danych przekrojowych. Jeśli stwierdzi się, że składnik losowy charakteryzuje się istot- ną autokorelacją, dane wejściowe należy następująco przeksz- tałcić: – t=1:

– t=2, 3, ..., n:

Dla tak przekształconych danych dokonujemy ponownego oszacowania parametrów modelu metodą najmniejszych kwadratów. W przypadku istotnej autokorelacji procedurę oceny istotności autokorelacji testem Durbina-Watsona, przekształcamy zmien- ne i budujemy kolejny model. Kończymy po wyeliminowaniu autokorelacji składnika losowego.

Przykład 22, Nowak str. 75.

Y – wielkość produkcji w tys. sztuk; X1 – zatrudnienie w tys. osób; X2 – moc zainstalowanych maszyn w kW; X3 – dostawy surowców w tys. ton; X4 – przestoje z powodu awarii w dniach.

ñ̂1yy 21 *

1 −=

k...,2,1,0,jñ̂1xx 2

j1 * j1 =−=

k...,2,1,0,jxñ̂xx 1-tj,jt*jt =−=

yñ̂yy 1-tt *

t −=

38

t Y X1 X2 X3 X4 e et-1 e2 et*et-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18,5 19,2 20,0 20,8 21,7 22,8 23,7 25,0 26,7 28,3

4,4 4,3 4,5 4,5 4,4 4,6 4,6 4,6 4,5 4,5

10,5 11,0 11,7 12,1 13,0 13,9 15,1 16,5 18,1 20,0

2,80 2,83 3,01 3,17 3,42 3,56 3,73 3,81 4,07 4,32

8 10 15 12 7 10 11 13 8 17

-,219 ,089 ,016 ,184 -,082 ,111 -,161 ,050 ,111 -,098

-,219 ,089 ,016 ,184 -,082 ,111 -,161 ,050 ,111

,048 ,008 ,000 ,034 ,007 ,012 ,026 ,003 ,012 ,010

-,019 ,001 ,003 -,015 -,009 -,018 -,008 ,006 -,011

Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: Y R= ,99918372 R2= ,99836811 Poprawiony R2= ,99706261 F(4,5)=764,73 p<,00000 Błąd std. estymacji: ,17649

BETA Błąd st.BETA B Błąd st.

B t(5) Poziom p

W. wolny 4,381827 3,395285 1,290563 ,253308 X1 ,008490 ,029235 ,278013 ,957365 ,290394 ,783174 X2 ,647143 ,137249 ,662495 ,140505 4,715087 ,005266 X3 ,351933 ,142359 2,202704 ,891005 2,472157 ,056381 X4 -,000773 ,025034 -,000783 ,025374 -,030870 ,976568

Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: Y R= ,99916648 R2= ,99833366 Poprawiony R2= ,99785757 F(2,7)=2096,9 p<,00000 Błąd std. estymacji: ,15073

BETA Błąd st.BETA B Błąd st.

B t(7) poziom p

W. wolny 5,396353 ,650282 8,298484 ,000072 X2 ,629006 ,081503 ,643927 ,083436 7,717582 ,000115 X3 ,374413 ,081503 2,343409 ,510118 4,593861 ,002502 Obliczmy współczynnik autokorelacji

5466,0 149,0111,0

0703,0

2

2 1

2

2

2 1

ˆ −=−== ∑∑

= −

=

= −

n

t t

n

t t

n

t tt

ee

ee ρ

39

Zweryfikujemy H0: |ρ|=0 przeciw H1: |ρ|>0 d=2(1-0.5466)=0.9068

Wartości krytyczne dL=0.95, dU=1.54. Ponieważ d<dL – na poziomie istotności α=0.05 przyjmujemy H1.

Przekształcone dane miałyby postać:

t Y X2 X3 Y* X*2 X*2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18,5 19,2 20,0 20,8 21,7 22,8 23,7 25,0 26,7 28,3

10,5 11,0 11,7 12,1 13,0 13,9 15,1 16,5 18,1 20,0

2,80 2,83 3,01 3,17 3,42 3,56 3,73 3,81 4,07 4,32

15,490 29,312 30,495 31,732 33,069 34,661 36,162 37,954 40,365 42,894

8,793 16,739 17,713 18,495 19,614 21,006 22,698 24,754 27,119 29,893

2,345 4,360 4,557 4,815 5,153 5,429 5,676 5,849 6,153 6,545

40

Estymacja parametrów modeli ekonometrycznych z heteroskedastycznością składnika losowego

metodą White’a

5) Szacujemy parametry modelu yt=α0+α1x1t+α2x2t+...+εt, t=1, 2, ..., n

i obliczamy reszty et i ich kwadraty. Przyjmujemy, że . 6) Szacujemy parametry modelu

Po oszacowaniu parametrów modelu obliczamy teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej . Jeśli zdarzy się, że to realizujemy punkt 3, w przeciwnym razie przechodzimy do 4.

7) Konstruujemy model ekonometryczny

Szacujemy jego parametry o obliczamy wartości teore- tyczne

8) Obliczamy wagi wt=1/ 9) Konstruujemy model postaci i szacujemy parametry

wtyt=α’0+α’1(wtx1t)+α’2(wtx2t)+...+ε’t, t=1, 2, ..., n

Metoda nosi nazwę ważonej metody najmniejszych kwadra- tów.

≈ó 2

t e 2

t

hââ âââââe ...3122k2112k...

...222k 2 11k...22110

2

ttttt

ttttt

xxxx xxxx

++++++

++++++++=

ê2t

gããã)ln(e 222k 2 11k0

2

tttt xx +++++=

))êln(exp(ó̂i)êln( 222

ttt =

ó̂ 2

t

0ê2 <t

41

Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów

Jeśli zamiast założenia 4-ego do klasycznej metody najmniej- szych kwadratów:

D2(ε) = E(εεT) = σ2I, σ2 < ∞ przyjmiemy

D2(ε) = σ2V, σ2 < ∞, Wektor parametrów modelu szacowany uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów uzyskujemy z równości:

a=(XTV-1X)-1XTV-1y Estymator macierzy kowariancji ma postać:

D2(a)=S2(XTV-1X)-1 Gdzie S2 (estymator wariancji składnika losowego) obliczany jest ze wzoru:

Dla modelu z istotną autokorelacją I rzędu składnika losowego macierz V-1 jest postaci:

By umożliwić zastosowanie algorytmów regresji liniowej z pakietów statystycznych znajdziemy macierz wagową P taką, że V-1=PTP, a następnie zastosujemy następujące prze- kształcenie danych:

y*=Py,

1-k-n eVeS

1-T 2 =

      

      

+

+ +

− =−

1ñ-0000 ñ-ñ1ñ-000

000ñ1ñ-0 000ñ-ñ1ñ- 0000ñ-1

ñ1 1

V

2

2

2

2 1

!

!

!!!!!!!

!

!

!

42

X*=PX. Parametry modelu szacujemy klasyczną metodą najmniej- szych kwadratów korzystając ze wzoru:

a=(X*TX*)-1X*Ty* zaś estymator macierzy kowariancji ma postać:

D2(a)=S2(X*TX*)-1 W przypadku macierzy V-1 podanej wyżej macierz P ma postać:

W modelu z heteroskedastycznym składnikiem losowym macierz kowariancji składnika losowego można zapisać jako:

a macierz odwrotną do V:

ù00

0ù0 00ù

ó

ó00

0ó0 00ó

)å(D 2

n

2

1

2

2

2 2

2 1

2 =

   

   

=

   

   

=

!

!!!!

!

!

!

!!!!

!

!

n

      

      

=−

ù

100

0 ù

10

00 ù

1

V

n

2

1

1

!

!!!!

!

!

       

       

 −

=

1ñ-0000 01ñ-000

0001ñ-0 00001ñ- 00000ñ1 2

!

!

!!!!!!!

!

!

!

P

43

Macierz P w tym przypadku ma postać:

Szacowanie parametrów modeli autoregresyjnych

Model autoregresyjny I rzędu:

yt=α0+α1yt-1+α2xt+...+εt, t=1, 2, ..., n

Do weryfikacji hipotezy odnośnie autokorelacji składnika losowego dla takich modeli nie używamy testu Durbina- Watsona lecz jego odmianą zwaną testem h-Durbina opartą na statystyce:

Dla n>30 statystyka ma rozkład N(0,1). Gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, stosować można test mnożnika Lagrange’a.

]S1)-(n-1)/[1-(nñ̂h 2a1=

      

      

=

ù

100

0 ù

10

00 ù

1

P

n

2

1

!

!!!!

!

!

44

Metoda Cochran-Orcutta szacowania parametrów modelu autoregresyjnego

1. Szacujemy parametry modelu yt=α0+α1yt-1+α2xt+...+εt, t=1, 2, ..., n

i obliczamy reszty et. Estymacja parametrów α0, α1, α2 kla- syczną metodą najmniejszych kwadratów dałaby estymato- ry obciążone i niezgodne.

2. Szacujemy parametry modelu et=ρet-1+ut, t= 2, ..., n

Uzyskujemy współczynnik autokorelacji . 3. Dokonujemy transformacji zmiennych (t=2, 3, ..., n):

4. Szacujemy parametry modelu:

Obliczamy reszty i powtarzamy procedurę od punktu 2 aż do uzyskania odpowiednio małego ρ.

5. Dla ostatnich reszt budujemy model:

W wyniku zastosowania metody Cochrane-Orcutt’a parame- try β uzyskane w kroku 4 są zgodnymi (np. to, że β0 jest zgodnym estymatorem α0 oznacza, że dla dowolnego ε>0) oszacowaniami parametrów α budowane- go modelu (α0≈β0, α1≈β1, α2≈β2), zaś średnie błędy szacunku parametrów γ uzyskanych w punkcie 5 są zgodnymi oszaco- waniami średnich błędów oszacowań parametrów α. Przeanalizujmy metodę Cochrane-Orcutt’a na przykładzie ze strony 26.

ñ̂

xñ̂xx 1-* ttt −=

yñ̂yy 1- *

ttt −= yñ̂yy 2-1-

* 1- ttt −=

nttttt ...,,4,3åxâyâây **

2 *

110 * =+++= −

e*t

e*t gexye 3

* 2

* 110

* ttttt ++++= − γγγγ

{ } 1lim 0,0 =<−∞→ εαβ nn P

45

Lata NIt NIt-1 SZMt et 1975 30 579 36,2 1976 29 096 30 579 37,1 3384,230 1977 28 759 29 096 37,1 4530,230 1978 20 908 28 759 37,1 -2983,77 1979 16 106 20 908 39,5 -846,050 1980 12 083 16 106 41,7 -902,390 1981 10 870 12 083 44,6 859,638 1982 7 932 10 870 46,8 -1753,86 1983 8 259 7 932 48,4 903,620 1984 11 286 8 259 50,3 2882,190 1985 14 309 11 286 52,1 2194,730 1986 15 230 14 309 52,8 -173,060 1987 16 519 15 230 52,4 346,820 1988 17 005 16 519 52,4 -456,180 1989 17 460 17 005 52,5 -525,150

gdzie: NI – nakłady inwestycyjne w mln zł (ceny stałe z 1984 r.)

SZM – stopa zużycia majątku trwałego (%) Pkt 1. Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: NI R= 0,94801396 R2= 0,89873046 Popraw. R2= 0,88031782 F(2,11)=48,811 p<0,00000 Błąd std. Estymacji: 2258,2

BETA Błąd st. BETA B

Błąd st. B t(11) Poziom p

W. wolny -18954,1 8679,050 -2,18389 0,051515 NI_T_1 1,198786 0,147130 1,0 0,127 8,14778 0,000005 SZM 0,372555 0,147130 379,7 149,959 2,53215 0,027867

46

Pkt 2. Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: E R= 0,14120570 R2= 0,01993905 F(1,11)=0,22379 p<0,64541 Błąd std. estymacji: 2069,4

BETA Błąd st. BETA B

Błąd st. B t(11) poziom p

W. wolny 232,9544 598,7408 0,389074 0,704648 E_T_1 0,141206 0,298490 0,1313 0,2775 0,473066 0,645414

Oszacowana wartość współczynnika autokorelacji: 0.1313.

Pkt 3. Transformujemy zmienne:

Lata NIt* NIt-1* SZMt* et* 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

25080,98 24938,70 17131,94 13360,78 9968,282 9283,502 6504,769 7217,528 10201,59 12827,15 13351,23 14519,30 14836,06 15227,24

25080,98 24938,70 17131,94 13360,78 9968,282 9283,502 6504,769 7217,528 10201,59 12827,15 13351,23 14519,30 14836,06

32,347 32,229 32,229 34,629 36,514 38,985 40,962 42,255 43,945 45,496 45,959 45,467 45,520 45,620

5461,624 -2217,07 140,959 -561,870 883,132 -2018,33 712,183 2423,241 1783,705 -228,484 651,743 -102,395 -33,655

47

Pkt 4. Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: NI_GW R= ,91373846 R2= ,83491797 Popraw. R^2= ,80190156 F(2,10)=25,288 p<,00012 Błąd std. estymacji: 2138,3

BETA Błąd st.BETA B Błąd st.

B t(10) poziom p

β0 -15139,7 7994,147 -1,89384 ,087506 NIt-1* 1,141583 ,175059 ,9 ,144 6,52113 ,000067 SZMt* ,410809 ,175059 373,7 159,261 2,34668 ,040871

Uzyskujemy model postaci: NIt=−15139.7+0.9NIt-1+373.7SZMt+et,

Pkt 5. Poniżej uzyskujemy oszacowania błędów szacunków parame- trów modelu:

Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: e* R= ,15346894 R2= ,02355271 F(3,9)=,07236 p<,97331 Błąd std. estymacji: 2241,9

BETA Błąd st. BETA

B Błąd st. B

t(9) poziom p

γ0 963,8542 8933,348 ,107894 ,916447 γ3 et-1 ,122324 ,392339 ,1116 ,358 ,311782 ,762308 γ1 NIt-1* ,026879 ,528855 ,0090 ,178 ,050825 ,960575 γ2 SZMt -,041326 ,468039 -15,3760 174,141 -,088296 ,931575

Nowe szacunki błędów oszacowań

48

Prognozowanie na podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego

Prognoza punktowa:

Średni błąd predykcji:

gdzie S2 – wariancja składnika resztowego:

Względny średni błąd predykcji:

Jeżeli składnik losowy ma rozkład normalny, na podstawie oszacowanego modelu ekonometrycznego można wyznaczyć prognozy przedziałowe korzystając z faktu, że zmienna losowa t zdefiniowana jak niżej ma rozkład t-Studenta z n-k-1 stopniami swobody:

Z tego wynikają wzory na przedział ufności dla yτ na pozio- mie istotności α:

W przypadku wyznaczania prognozy punktowej dla okresu τ=n+s dla modelu z autokorelacją I rzędu składnika losowego ze współczynnikiem autokorelacji możemy zastosować wzór:

][, xxx1xaxy kô2ô1ôTôTô P ô !==

( ) ( )x)XX(x1Sx)a(DxSS ôT 1Tô 2/1ô2Tô2 2/1Pô −++ ==

y Sv P ô

P ô

ô=

S

yy P ô

P ôô

- t =

á1}P{ StyySty Pô1kná, P ôô

P ô1kná,

P ô −=+<<− −−−−

á1}tP{ t 1kná, −=< −−

( ) )( 1

1 1

1 XayyyˆS TT 1

22 −∑ − −− =

−− =

= knkn n

t tt yy

ρ̂ ][, xxx1xe)ñ̂(axy kô2ô1ôTôn

sT ô

P ô !=+=

49

Predykcja powinna stanowić proces regularnie prowadzony. Prognozy budowane krokowo ze stałą kontrolą i korygowa- niem są rękojmią precyzji wnioskowania. Po upływie pewnej liczby okresów dla których wyznaczano prognozy można poli- czyć średni absolutny błąd predykcji (yτ – rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w okresie τ):

lub współczynnik Theila:

Dla przykładu weźmy model uzyskany ostatnio NIt=−15139.7+0.9NIt-1+373.7SZMt+et,

i wyznaczmy prognozę punktową dla roku 1990 (τ=16) przyjmując następujące wartości zmiennych objaśniających:

Lata NIt NIt-1 QSt SZMt U7677t 1989 17 460 17 005 470 317 52,5 0 1990 ? 17460 - 55 -

NIt=-15139.7+0.9*17460+373.7*55=20 553.5

Podsumowanie budowy, oceny i wykorzystania liniowych jednorównaniowych modeli ekonometrycznych

∑ =

= m 1ô

P ôôn

1 y-yu

∑ =

∑ ==

m

1τ yτ

2

m

1τ )yPτ-yτ( 2

2I

k

Wybór zmiennych do

Wybór rodzaju modelu

Model liniowy jednorównaniow

Model nieliniowy,

Szacowanie parametrów modelu klasyczną metodą najmniejszych kwadratów

Weryfikacja modelu: - merytoryczna, - koincydencja, - efekt katalizy, - dokładność dopasowania, - błędy szacunku parametrów, - istotność zmiennych objaś-

niających (test Studenta, uogólniony test Walda, test mnożnika Lagrange’a),

- ocena liniowości modelu (test serii),

- normalność rozkładu skład- nika losowego (test Jarque- Bera, test Shapiro-wilka)

Czy model autoregresyjny? Nie

- ocena istotności autoko- relacji I rzędu (test h- Durbina),

- zmodyfikowana metoda Cochrane-Orcutt’a sza- cowania parametrów i ich błędów

Ta

Czy ogólna ocena modelu pozytywna?

Nie

- ocena heteroskedastycz- ności modelu (test Har- risona-McCabe’a, test White’a)

Model

Homoskeda- styczny

Heteroskeda- styczny

Ta

50

51

Czy dane przekrojowe? Nie Tak

Stosujemy do estymacji parametrów: - metodę White’a, lub - uogólnioną metodę naj-

mniejszych kwadratów (przekształcamy dane z wykorzystaniem odpo- wiedniej macierzy V i stosujemy KMNK)

Ocena istotności autoko- relacji składnika losowe- go (test Durbina-Watsona lub test mnożnika La- grange’a)

Istotna Nie

Stosujemy do estymacji parametrów: - metodę Cochran-Orcutta,

lub - uogólnioną metodę naj-

mniejszych kwadratów (przekształcamy dane z wykorzystaniem odpowie- dniej macierzy V i sto- sujemy KMNK)

Wykorzystanie modelu: - wnioskowanie w oparciu o

model, - prognozowanie punktowe, - prognozowanie przedziało-

we (o ile rozkład składnika losowego jest normalny),

- ocena dokładności prognoz: zastosowanie miar ex ante (średni błąd i względny śre- dni błąd predykcji) i ex post (średni absolutny błąd pre- dykcji i współczynnik Theila).

52

WIELORÓWNANIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE

Wielorównaniowy model ekonometryczny zawiera co naj- mniej dwa równania, z których każde objaśnia jedną zmienną.

Definicje: Zmienna endogeniczna (Y) – zmienna objaśniana jednym z równań modelu bez opóźnień czasowych. Zmienna egzogeniczna – zmienna, której wartości określane są poza modelem. Zmienne opóźnione – zmienne endogeniczne lub egzogeniczne dotyczące okresów minionych. Zmienne z góry ustalone (Z) – zmienne egzogeniczne opóź- nione i nie oraz zmienne endogeniczne opóźnione. Równania unormowane – tak przekształcone, by parametr przy zmiennej endogenicznej nieopóźnionej objaśnianej danym równaniem był równy 1. Ogólny zapis modelu wielorównaniowego jest następujący:

m – liczba nieopóźnionych zmiennych endogenicznych w mo- delu (liczba równań). k – liczba zmiennych z góry ustalonych w modelu.

åZãYâY

åZãYâY

åZãYâY

mj

k

1j mji

1-m

1 mim

2j

k

1j 2ji

m

2i 1

2i2

1j

k

1j 1ji

m

2i 1i1

++=

++=

++=

∑∑

∑∑

∑∑

==

= ≠ =

==

i

i

!!!!!!!!!!!!!

53

Zapis macierzowy (postać strukturalna) modelu wielorówna- niowego:

BY+ΓZ=ε gdzie

Postać zredukowana modelu – nieopóźnione w czasie zmienne endogeniczne Y1, Y2, ..., Ym wyrażane są tylko przez zmienne z góry ustalone Z1, Z2, ..., Zk. Jest ona podstawą do estymacji parametrów modelu.

Zapis postaci zredukowanej modelu wielorównaniowego jest następujący:

    

    

=

    

    

=

    

    

=

å

å å

å

Z

Z Z

Z

Y

Y Y

Y

m

2

1

m

2

1

m

2

1

"""

    

    

−−−

−−−

−−−

=

    

    

−−

−−

−−

=

ããã

ããã ããã

Ã

ââ

ââ ââ

B

mkm2m1

2k2221

1k1211

m2m1

2m21

1m12

1

1

1

!

!!!!

!

!

!

!!!!

!

!

çZðY

çZðY

çZðY

mj

k

1j mjm

2j

k

1j 2j2

1j

k

1j 1j1

+=

+=

+=

=

=

=

!!!!!!!!

54

Zapis macierzowy postaci zredukowanej: Y=ΠZ+η

gdzie

Między parametrami postaci zredukowanej i strukturalnej istnieją następujące zależności:

Π=−Β−1Γ η=Β−1ε.

Z równości Π=−Β−1Γ wynika, że przy nieosobliwej macierzy B można zawsze określić parametry Π postaci zredukowanej. By wyznaczyć parametry B oraz Γ na podstawie parametrów Π trzeba rozwiązać układ równań BΠ = -Γ. Model zupełny – liczba równań modelu jest równa liczbie zmiennych endogenicznych nieopóźnionych, a każde równanie opisuje inną zmienną endogeniczną nieopóźnioną.

Przykłady: a) prosty model Keynesa

Ct=α+βDt+εt – zachowanie się konsumenta, Yt=Ct+It – warunek równowagi,

gdzie C – konsumpcja, D – dochód, I – inwestycje. C, D – zmienne endogeniczne;

I – zmienna objaśniana poza modelem (egzogeniczna), z góry ustalona.

    

    

=

    

    

=

ç

ç ç

ç

ððð

ððð ððð

Ð

m

2

1

mkm2m1

2k2221

1k1211

"

!

!!!!

!

!

55

Postać strukturalna: BY+ΓZ=ε

gdzie

Postać zredukowana modelu:

lub macierzowo: Y=ΠΤZ+η

gdzie

b) prosty model makroekonomiczny Ct=α0+α1Dt+α2Ct-1+ε1t – konsumpcja, It=δ0+δ1Rt+δ2( Dt–Dt-1)+ε2t – inwestycje, Dt=Ct+It+Gt – popyt globalny, gdzie

C – konsumpcja, D – dochód, I – inwestycje, R – stopa procentowa, G – wydatki rządowe.

 

  

 =

  

 =

  

 =

0 1 åå I

Z D CY t

tt

t

  

  

 =

  

  

 =

− −

− −

10 âá-

à 11 â1

B

åI 1

D

åIC

ttt

ttt

â1 1

â1â1 á

â1 1

â1 â

â1 á

−−−

−−−

++=

++=

( )    

   

=    

   

=

−−

−−=Γ å

å çÐB-

t

t

â1 1 â1

1

â1 1

â1 á

â1 â

â1 á

TT1-

56

Ct, Dt, It – zmienne endogeniczne, łącznie współzależne; Rt, Gt – zmienne objaśniane poza modelem

(egzogeniczne); Ct-1, Dt-1 – opóźnione zmienne endogeniczne; Rt, Gt, Ct-1, Dt-1, 1 – zmienne z góry ustalone.

Postać strukturalna: BY+ΓZ=ε

gdzie

  

  

 =

  

  

 =

0 å å

å D I C

Y 2t

1t

t

t

t

    

    

=

      

      

=

−− − −

111 10

á01 B

D C G R 1

Z 2 1

1-t

1-t

t

t

δ

    

    

= 001-00 ä00ä-ä- 0á-00á-

à 210

20

57

Klasyfikacja modeli wielorównaniowych

Model prosty – gdy macierz B (po ewentualnej zmianie kolej- ności równań) jest macierzą diagonalną. Postać zredukowana jest modelem prostym.

P1 = α11Z1+ α12K1+ α10+ε1, P2 = α21Z2+ α22K2+ α20+ε2, P3 = α31Z3+ α32K3+ α30+ε3,

Model rekurencyjny – gdy macierz B (po ewentualnej zmianie kolejności równań) jest macierzą trójkątną.

P1 = γ11Z1+ γ12K1+ γ10+ε1, P2 = β21P1+ γ23Z2+ γ24K2+ γ20+ε2, P3 = β32P2+ γ35Z3+ γ36K3+ γ30+ε3,

Model o równaniach współzależnych – macierz B nie jest ani trójkątną ani diagonalną (P1, P2, P3 – zmienne łącznie współ- zależne).

P1 = β12P2+ γ11Z1+ γ12K1+ γ10+ε1, P2 = β21P1+ β23P3+γ23Z2+ γ24K2+ γ20+ε2, P3 = β31P1+ γ35Z3+ γ36K3+ γ30+ε3,

Szacowanie parametrów modeli prostych i rekurencyjnych

W modelach prostych i rekurencyjnych nie występują sprzę- żenia zwrotne między nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi, dlatego każde równanie można traktować jako model jednorównaniowy. Do oszacowania parametrów kolejnych równań można zastosować klasyczną metodę naj- mniejszych kwadratów.

58

Na przykład (patrz Nowak str. 155) parametry modelu (prostego)

Y1 = α11Z+ α10+ε1, Y2 = α21Z+ α20+ε2,

Szacujemy korzystając ze wzorów dla każdego równania z osobna:

a1 = (ZTZ)-1ZTy1, a2 = (ZTZ)-1ZTy2,

Identyfikowalność modeli o równaniach współzależnych

Równanie identyfikowalne – i-te równanie w modelu o m rów- naniach współzależnych jest identyfikowalne, gdy macierz Ai parametrów znajdujących się przy zmiennych, które są w mo- delu, a nie występują w równaniu jest rzędu m-1 (warunek ko- nieczny i dostateczny). Niech ki oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w mo- delu, a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana. Wtedy: - jeśli ki=m-1 – równanie jest identyfikowalne (warunek ko-

nieczny), - jeśli ki>m-1 – równanie jest niejednoznacznie identyfikowal-

ne, - jeśli ki<m-1 – równanie nie jest identyfikowalne. Równanie strukturalne jest identyfikowalne, gdy jego parame- try dają się wyznaczyć (jednoznacznie lub nie) na podstawie znajomości parametrów postaci zredukowanej modelu. Model identyfikowalny – model o równaniach identyfikowal- nych. Nieidentyfikowalność równania oznacza, że nie można oszacować jego parametrów.

59

Przykład: Zbadać identyfikowalność równań modelu: St = β12Wt+β13Kt+γ11Zt+γ10+ε1, Wt = β21St+γ22Zt+γ20+ε2, Kt = β31St+γ32Kt-1+γ30+ε3,

Zapiszmy model w postaci: St–β12Wt–β13Kt–γ11Zt–γ10=ε1, Wt–β21St–γ22Zt–γ20=ε2, Kt–β31St–γ32Kt-1–γ30=ε3,

Identyfikowalność 1-go równania: w równaniu nie występuje zmienna Kt-1. Macierz A1 ma postać A1=[–γ32]. Jest ona rzędu co najwyżej 1, czyli <m–1 (k1<m–1) – równanie nieidentyfiko- walne. Identyfikowalność 2-go równania: w równaniu nie występują zmienne Kt, Kt-1. Macierz A2 ma postać

Det(A2)=(–γ32)(–β13)≠0, więc rz(A2)=m–1=2 (k2=m–1) – rów- nanie jednoznacznie identyfikowalne. Identyfikowalność 3-go równania: w równaniu nie występują zmienne Wt, Zt. Macierz A3 ma postać

Det(A3)=γ22β12+γ11≠0, więc rz(A3)=m–1=2 (k3=m–1) – równa- nie jednoznacznie identyfikowalne.

 

 

 =

ã-1 ã-â-

A 22

1112 3

 

 

 =

ã1 0â

A 32

13 1

60

WIELORÓWNANIOWE MODELE EKONOMETRYCZNE

Wielorównaniowy model ekonometryczny zawiera co naj- mniej dwa równania, z których każde objaśnia jedną zmienną.

Definicje: Zmienna endogeniczna (Y) – zmienna objaśniana jednym z równań modelu bez opóźnień czasowych. Zmienna egzogeniczna – zmienna, której wartości określane są poza modelem. Zmienne opóźnione – zmienne endogeniczne lub egzogeniczne dotyczące okresów minionych. Zmienne z góry ustalone (Z) – zmienne egzogeniczne opóź- nione i nie oraz zmienne endogeniczne opóźnione. Równania unormowane – tak przekształcone, by parametr przy zmiennej endogenicznej nieopóźnionej objaśnianej danym równaniem był równy 1. Ogólny zapis modelu wielorównaniowego jest następujący:

m – liczba nieopóźnionych zmiennych endogenicznych w mo- delu (liczba równań). k – liczba zmiennych z góry ustalonych w modelu.

åZãYâY

åZãYâY

åZãYâY

mj

k

1j mji

1-m

1 mim

2j

k

1j 2ji

m

2i 1

2i2

1j

k

1j 1ji

m

2i 1i1

++=

++=

++=

∑∑

∑∑

∑∑

==

= ≠ =

==

i

i

!!!!!!!!!!!!!

61

Zapis macierzowy (postać strukturalna) modelu wielorówna- niowego:

BY+ΓZ=ε gdzie

Postać zredukowana modelu – nieopóźnione w czasie zmienne endogeniczne Y1, Y2, ..., Ym wyrażane są tylko przez zmienne z góry ustalone Z1, Z2, ..., Zk. Jest ona podstawą do estymacji parametrów modelu.

Zapis postaci zredukowanej modelu wielorównaniowego jest następujący:

    

    

=

    

    

=

    

    

=

å

å å

å

Z

Z Z

Z

Y

Y Y

Y

m

2

1

k

2

1

m

2

1

"""

    

    

−−−

−−−

−−−

=

    

    

−−

−−

−−

=

ããã

ããã ããã

Ã

ââ

ââ ââ

B

mkm2m1

2k2221

1k1211

m2m1

2m21

1m12

1

1

1

!

!!!!

!

!

!

!!!!

!

!

çZðY

çZðY

çZðY

mj

k

1j mjm

2j

k

1j 2j2

1j

k

1j 1j1

+=

+=

+=

=

=

=

!!!!!!!!

62

Procedura: Zapis macierzowy postaci zredukowanej:

Y=ΠΤZ+η gdzie

Między parametrami postaci zredukowanej i strukturalnej istnieją następujące zależności:

ΠΤ=−Β−1Γ η=Β−1ε.

Z równości ΠΤ=−Β−1Γ wynika, że przy nieosobliwej macierzy B można zawsze określić parametry ΠΤ postaci zredukowanej. By wyznaczyć parametry B oraz Γ na podstawie parametrów ΠΤ trzeba rozwiązać układ równań BΠΤ = -Γ. Model zupełny – liczba równań modelu jest równa liczbie zmiennych endogenicznych nieopóźnionych, a każde równanie opisuje inną zmienną endogeniczną nieopóźnioną.

Przykłady: c) prosty model Keynesa

Ct=α+βDt+εt – zachowanie się konsumenta, Yt=Ct+It – warunek równowagi,

gdzie C – konsumpcja, D – dochód, I – inwestycje. C, D – zmienne endogeniczne;

    

    

=

    

    

=

ç

ç ç

ç

ððð

ððð ððð

Ð

m

2

1

mkm2m1

2k2221

1k1211 T

"

!

!!!!

!

!

63

I – zmienna objaśniana poza modelem (egzogeniczna), z góry ustalona.

Postać strukturalna: BY+ΓZ=ε

gdzie

Postać zredukowana modelu:

lub macierzowo: Y=ΠΤZ+η

gdzie

d) prosty model makroekonomiczny Ct=α0+α1Dt+α2Ct-1+ε1t – konsumpcja, It=δ0+δ1Rt+δ2( Dt–Dt-1)+ε2t – inwestycje, Dt=Ct+It+Gt – popyt globalny,

 

  

 =

  

 =

  

 =

0 1 åå I

Z D CY t

tt

t

  

  

 =

  

  

 =

− −

− −

10 âá-

à 11 â1

B

åI 1

D

åIC

ttt

ttt

â1 1

â1â1 á

â1 1

â1 â

â1 á

−−−

−−−

++=

++=

( )    

   

=    

   

=

−−

−−=Γ å

å çÐB-

t

t

â1 1 â1

1

â1 1

â1 á

â1 â

â1 á

TT1-

64

gdzie C – konsumpcja, D – dochód, I – inwestycje, R – stopa procentowa, G – wydatki rządowe.

Ct, Dt, It – zmienne endogeniczne, łącznie współzależne; Rt, Gt – zmienne objaśniane poza modelem

(egzogeniczne); Ct-1, Dt-1 – opóźnione zmienne endogeniczne; Rt, Gt, Ct-1, Dt-1, 1 – zmienne z góry ustalone.

Postać strukturalna: BY+ΓZ=ε

gdzie

  

  

 =

  

  

 =

0 å å

å D I C

Y 2t

1t

t

t

t

    

    

=

      

      

=

−− − −

111 10

á01 B

D C G R 1

Z 2 1

1-t

1-t

t

t

δ

    

    

= 001-00 ä00ä-ä- 0á-00á-

à 210

20

65

Klasyfikacja modeli wielorównaniowych

Model prosty – gdy macierz B (po ewentualnej zmianie kolej- ności równań) jest macierzą diagonalną. Postać zredukowana jest modelem prostym.

P1 = α11Z1+ α12K1+ α10+ε1, P2 = α21Z2+ α22K2+ α20+ε2, P3 = α31Z3+ α32K3+ α30+ε3,

Model rekurencyjny – gdy macierz B (po ewentualnej zmianie kolejności równań) jest macierzą trójkątną.

P1 = γ11Z1+ γ12K1+ γ10+ε1, P2 = β21P1+ γ23Z2+ γ24K2+ γ20+ε2, P3 = β32P2+ γ35Z3+ γ36K3+ γ30+ε3,

Model o równaniach współzależnych – macierz B nie jest ani trójkątną ani diagonalną (P1, P2, P3 – zmienne łącznie współ- zależne).

P1 = β12P2+ γ11Z1+ γ12K1+ γ10+ε1, P2 = β21P1+ β23P3+γ23Z2+ γ24K2+ γ20+ε2, P3 = β31P1+ γ35Z3+ γ36K3+ γ30+ε3,

Szacowanie parametrów modeli prostych i rekurencyjnych

W modelach prostych i rekurencyjnych nie występują sprzę- żenia zwrotne między nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi, dlatego każde równanie można traktować jako model jednorównaniowy. Do oszacowania parametrów kolejnych równań można zastosować klasyczną metodę naj- mniejszych kwadratów.

66

Na przykład (patrz Nowak str. 155) parametry modelu (prostego)

Y1 = α11Z+ α10+ε1, Y2 = α21Z+ α20+ε2,

Szacujemy korzystając ze wzorów dla każdego równania z osobna:

a1 = (ZTZ)-1ZTy1, a2 = (ZTZ)-1ZTy2,

Identyfikowalność modeli o równaniach współzależnych

Równanie identyfikowalne – i-te równanie w modelu o m rów- naniach współzależnych jest identyfikowalne, gdy macierz Ai parametrów znajdujących się przy zmiennych, które są w mo- delu, a nie występują w równaniu jest rzędu m-1 (warunek ko- nieczny i dostateczny). Niech ki oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w mo- delu, a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana. Wtedy: - jeśli ki=m-1 – równanie jest identyfikowalne (warunek ko-

nieczny), - jeśli ki>m-1 – równanie jest niejednoznacznie identyfikowal-

ne, - jeśli ki<m-1 – równanie nie jest identyfikowalne. Równanie strukturalne jest identyfikowalne, gdy jego parame- try dają się wyznaczyć (jednoznacznie lub nie) na podstawie znajomości parametrów postaci zredukowanej modelu. Model identyfikowalny – model o równaniach identyfikowal- nych. Nieidentyfikowalność równania oznacza, że nie można oszacować jego parametrów.

67

Przykład: Zbadać identyfikowalność równań modelu: St = β12Wt+β13Kt+γ11Zt+γ10+ε1, Wt = β21St+γ22Zt+γ20+ε2, Kt = β31St+γ32Kt-1+γ30+ε3,

Zapiszmy model w postaci: St–β12Wt–β13Kt–γ11Zt–γ10=ε1, Wt–β21St–γ22Zt–γ20=ε2, Kt–β31St–γ32Kt-1–γ30=ε3,

Identyfikowalność 1-go równania: w równaniu nie występuje zmienna Kt-1. Macierz A1 ma postać A1=[–γ32]. Jest ona rzędu co najwyżej 1, czyli <m–1 (k1<m–1) – równanie nieidentyfiko- walne. Identyfikowalność 2-go równania: w równaniu nie występują zmienne Kt, Kt-1. Macierz A2 ma postać

Det(A2)=(–γ32)(–β13)≠0, więc rz(A2)=m–1=2 (k2=m–1) – rów- nanie jednoznacznie identyfikowalne. Identyfikowalność 3-go równania: w równaniu nie występują zmienne Wt, Zt. Macierz A3 ma postać

Det(A3)=γ22β12+γ11≠0, więc rz(A3)=m–1=2 (k3=m–1) – równa- nie jednoznacznie identyfikowalne.

 

 

 =

ã-1 ã-â-

A 22

1112 3

 

 

 =

ã1 0â

A 32

13 1

68

ESTYMACJA MODELI WIELORÓWNANIOWYCH

Pośrednia metoda najmniejszych kwadratów Metoda jest stosowana do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie identyfikowal- nych. Do oszacowania parametrów postaci strukturalnej wykorzystuje ona oceny parametrów postaci zredukowanej. Procedura: 1. Sprowadzamy model do postaci zredukowanej:

Y=ΠΤZ+η 2. W wyniku zastosowania klasycznej metody najmniejszych kwadratów szacujemy parametry postaci zredukowanej P:

P=(ZTZ)-1ZTY, gdzie PT – macierz oszacowań parametrów postaci zredukowanej ΠT:

Z – macierz obserwacji z góry ustalonych występujących w modelu:

    

    

=

ppp

ppp ppp

P

mkm2m1

2k2221

1k1211 T

!

!!!!

!

!

    

    

=

zzz

zzz zzz

Z nkn2n1

2k2221

1k1211

!

!!!!

!

!

69

Y – macierz obserwacji zmiennych łącznie współzależnych

Oszacowania parametrów każdego równania oddzielnie może- my uzyskać wg wzoru:

pi=(ZTZ)-1ZTyi, i=1,2,...,m gdzie

3. Oceny parametrów postaci strukturalnej uzyskuje się w dro- dze rozwiązania układu równań:

BPT = -Γ .

    

    

=

yyy

yyy yyy

Y

nmn2n1

2m2221

1m1211

!

!!!!

!

!

    

    

=

    

    

=

y

y y

y

p

p p

p

in

i2

i1

ik

i2

i1

ii ""

70

Podwójna metoda najmniejszych kwadratów

Metoda służy do oszacowania parametrów równań modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie, jak i niejedno- znacznie identyfikowalnych. Parametry każdego równania szacuje się oddzielnie. W każdym z równań h-1 zmiennych endogenicznych pełni rolę zmiennych objaśniających (oprócz f zmiennych z góry ustalonych). Szacowane i-te równanie ma postać:

Procedura: 1. Zmienne łącznie współzależne Y1, Y2, ... , Yi-1, Yi+1, ..., Yh

wyrażamy przez zmienne z góry ustalone i uzyskujemy postać zredukowaną:

Parametry postaci zredukowanej szacuje się klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Korzystamy ze wzoru:

Pi=(ZTZ)-1ZTYi gdzie

åZãYâY i f

1 i

h

2 1

ii ++= ∑∑

= ≠ =

j j

jl

l l

l

.,...,1,1,...,2,1,çZðY k

1 hiil

lj j

ljl +−=+= ∑ =

    

    

=

zzz

zzz zzz

Z nkn2n1

2k2221

1k1211

!

!!!!

!

!

71

Na podstawie oszacowanej postaci zredukowanej oblicza się teoretyczne wartości zmiennych łącznie współzależnych występujących w szacowanym równaniu w roli zmiennych objaśniających:

Yi* = ZPi, gdzie

     

     

=

+

+

+

yyyyy

yyyyy yyyyy

Y

hn,1in1,1-in,n2n1

h2,1i2,1-i2,2221

h1,1i1,1-i1,1211

i

!!

!!!!!!!

!!

!!

     

     

=

+

+

+

ppppp

ppppp ppppp

P

hk,1ik1,1-ik,k2k1

h2,1i2,1-i2,2221

h1,1i1,1-i1,1211

i

!!

!!!!!!!

!!

!!

     

     

=

+

+

+

yyyyy

yyyyy yyyyy

Y *

hn, *

1in, *

1-in, * n2

* n1

* h2,

* 1i2,

* 1-i2,

* 22

* 21

* h1,

* 1i1,

* 1-i1,

* 12

* 11

* i

!!

!!!!!!!

!!

!!

72

2. Wstawiając oszacowane zmienne łącznie współzależne do i-tego równania otrzymujemy:

Parametry tego równania szacujemy metodą najmniejszych kwadratów korzystając ze wzoru:

gdzie bi – wektor oszacowań parametrów βi w i-tym równaniu, ci – wektor oszacowań parametrów γi w i-tym równaniu, yi – wektor wartości obserwacji zmiennej objaśnianej w i-

tym równaniu, Zi – macierz wartości obserwacji zmiennych z góry ustalo-

nych występujących w i-tym równaniu. Inaczej można zapisać:

Wariancję składnika losowego i-tego równania szacuje się ze wzoru:

Oszacowanie macierzy wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych i-tego równania ma postać:

åZãYâY i f

1 i

* h

2 1

ii ++= ∑∑

= ≠ =

j j

jl

l l

l

[ ] [ ]( ) [ ] yZYZYZYcba i T1

i

i i i

* ii

* ii

* i

T −=   

  

 =

  

  

 =

  

  

 = 

  

 −

yZ yY

ZZYZ ZYYY

c ba

i T i

i T

1

i

i i

* i

i T i

* i

T i

i * i T*

i * i T

f)1(hn ees i

T i2

ie +−− =

  

  

 =

  

  

 = 

  

 −

yZ yY

ZZYZ ZYYY

c ba

i T i

i T

1

i

i i

* i

i T i

* i

T i

i * i T*

i * i T

73

Funkcje produkcji

V=F(K,L) Środki produkcji: - K – majątek produkcyjny (kapitał) - L – nakłady pracy żywej - Zasoby bogactw naturalnych.

K, L – zmienne ciągłe, wzajemnie substytucyjne

Funkcja jednorodna stopnia k: F(λK,λL)=λk F(K,L) sytuacje: k=1; k<1; k>1.

W przypadku funkcji jednorodnych: FKK + FLL=kV – w jakich proporcjach dobierać K i L by wytworzyć produkcję V.

Wzajemna substytucja czynników produkcji – izokwanty.

K

Równanie izokwanty:

L

tg ϕ1=R=-dK/dL=FL/FK – krańcowa stopa substytucji

Podejmowanie optymalnych decyzji - znane są koszty jednostkowe K – c1 i L – c2. Koszt = c1K+c2L

ϕ ϕ1La V

b c

b

K −  

 

= 0

1

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome