Wyznaczanie normy operatorów - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza funkcjonalna. University of Bialystok
blondie85
blondie8515 March 2013

Wyznaczanie normy operatorów - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza funkcjonalna. University of Bialystok

PDF (89.7 KB)
1 strona
836Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy funkcjonalnej: wyznaczanie normy operatorów.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Analiza funkcjonalna

Lista 5 (Wyznaczanie normy operatorów)

Zad 1. Niech K ∈ L2([0, 1] × [0, 1]). Udowodni¢, »e operator T : L2[0, 1] → L2[0, 1] zdeniowany wzorem

(Tx)(s) =

∫ 1 0

K(s, t)x(t)dt

jest operatorem ci¡gªym.

Zad 2. Niech D(A) = {x ∈ `2 : ∑∞

n=1(nx(n)) 2 < ∞} b¦dzie podprzestrzeni¡ `2. Czy

operator liniowy A : D(A)→ `2 zadany wzorem

A(x(1), x(2), ...) = (x(1), 2x(2), 3x(3), ...)

jest operatorem ci¡gªy?

Zad 3. Wyznacz norm¦ operatora A : `p → `p, p ∈ [1,∞], zadanego wzorem

a) Ax = (x(1), x(2), ..., x(n), 0, 0, ...) b) Ax = (x(1), x(3), x(5), x(7), ...)

c) Ax = (x(2), x(3), x(4), ...) d) Ax = (1 3 x(1), 1

32 x(2), ..., 1

3n x(n), ...)

e) Ax = (2x(1), 9 4 x(2), ..., (n+1

n )nx(n), ...)

Zad 4. Wyznaczy¢ norm¦ funkcjonaªu Tx = ∑n

i=1 cix(ti) okre±lonego na przestrzeni ci¡gªych funkcji rzeczywistych C[a, b]; ci ∈ R, ti ∈ [a, b]. Rozwa»y¢ przypadek, gdy C[a, b] jest przestrzeni¡ ci¡gªych funkcji zespolonych; ci ∈ C, ti ∈ [a, b].

Zad 5. Wyznaczy¢ norm¦ operatora liniowego A : C[a, b] → C[a, b] zadanego formuª¡ (Ax)(t) = tx(t), dla x ∈ C[a, b].

Zad 6. Wyznaczy¢ norm¦ funkcjonaªu Tx = ∫ 1 −1 tx(t)dt w przestrzeni X, gdy

a) X = C[−1, 1], b) X = Lp[−1, 1], dla p ∈ [1,∞].

Zad 7. Wyznaczy¢ norm¦ operatora (Ax)(t) = tx(t), gdy

a) A : C[−1, 1]→ Lp[−1, 1], p ∈ [1,∞), b) A : Lp[−1, 1]→ L1[−1, 1], p ∈ [1,∞).

Zad 8. Wyznaczy¢ norm¦ operatora A : X → Y danego wzorem (Ax)(t) = ∫ t

0 x(t), gdy

a) X = L1[0, 1], Y = C[0, 1], b) X = Y = L1[0, 1], c) X = Y = C[0, 1],

d) X = C[0, 1], Y = C(1)[0, 1].

Zad 9. Pokaza¢, »e operator A : X → Y jest ograniczonym operatorem liniowym i obliczy¢ jego norm¦.

X Y A

a) `3 L1[0, 1] (Ax)(t) = ∑∞

k=1 x(k)tk

2k

b) L2[−1, 1] `1 Ax = (

1 3

∫ 1 −1 tx(t)dt, ...,

1 3k

∫ 1 −1 t

kx(t)dt, ... )

c) C[−1, 1] `1 Ax = (

1 3

∫ 1 −1 tx(t)dt, ...,

1 3k

∫ 1 −1 t

kx(t)dt, ... )

d) C(1)[0, 2] C(1)[0, 1] (Ax)(t) = tx(t2 + 1)

e) C[−17, 30] L 5 2 [0, 1] (Ax)(t) =

∫ 1 0 (t + s)x(

√ s) ds + 3x(0)

f) `2 c Ax = ( x(1), x(2)

2 , x(3)

3 , x(4)

4 , ... )

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome