Zadanie - Notatki – Ekonometria, Notatki'z Ekonometria. Rzeszów University
hermiona80
hermiona8018 March 2013

Zadanie - Notatki – Ekonometria, Notatki'z Ekonometria. Rzeszów University

PDF (226.6 KB)
15 strona
901Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach omawiane zostają zagadnienia z ekonometrii: zadanie z ekonometrii.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 15
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

1

Zadanie nr 17 Korzystając z informacji zamieszczonych w tabeli poniżej, dobrać postać analityczną modelu regresji:

yi xi 30 100 50 150 90 200 80 300

100 350 120 450 120 550 160 600 140 700 150 900 150 1000 170 1050 160 1200

Y= wydatki na odzież i obuwie(w zł) X= wydatki ogółem (w zł) W szacowaniu modelu posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia zostaną wykonane za pomocą programu Excel. Przy weryfikacji hipotez istotności zakładamy współczynnik α=0,05.

2

Rozwiązanie Poniżej graficzna prezentacja danych do zadania

wartości orginalne

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

100 150 200 300 350 450 550 600 700 900 1000 1050 1200

wartości orginalne

Do zbadania zależności danych oraz w celu zaproponowania modelu analitycznego modelu, przeprowadzimy analizę danych po przez :

1. funkcję liniową 2. funkcję Tőrnqista

Ad.1 Parametry funkcji liniowej, przedstawionej poniżej :

xaay 10x ˆ będziemy szacować za pomocą MNK. Wektor parametrów rozwiązania obliczamy wg wzoru:

YX)XX(â TT 1 za macierz X podstawiamy Wydatki ogółem.Macierz Y otrzymujemy przypisując do niej wydatki na odzież i obuwie.

3

                  

                  

12001 10501 10001 9001 7001 6001 5501 4501 3501 3001 2001 1501 1001

X

                  

                  

160 170 150 150 140 160 120 120 100 80 90 50 30

Y

Kolejnym krokiem jest transpozycja macierzy X :

 

  

120010501000900700600550450350300200150100

1111111111111

Macierz XT mnożymy przez macierz X otrzymując macierz:

 

  

59925007550

755013

Obliczamy wyznacznik macierzy, który dla tego przypadku wynosi: 20900000 . Macierz odwrotna istnieje, więc przedstawiamy ją poniżej:

 

  

07-6,22E0,0003612-

0,0003612-0,2867225

Następnym krokiem jest obliczenie ilorazu XTY, wynosi on:

 

  

1057000

1520

Ostatnim krokiem w celu obliczenia wektora rozwiązań równania jest obliczenie iloczynu macierzy (XTX)-1(XTY)

4

 

  

0,1084 53,9833

Powyższa macierz jest macierzą parametrów naszego równania. Możemy przypisać odpowiednio

9833,53a0  oraz 1084,0a1  Uzyskujemy dzięki temu równanie o parametrach:

X1084,09833,53y teor.  Kolejnym analizy, jest oszacowanie parametrów rozkładu składnika losowego pozwalające wnioskować o dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych. Do pierwszego parametru należą średnie błędów szacunku estymatorów modelu. Należy obliczyć najpierw wariancje resztową 2eS :

  YXâYY kn

S TTTe  

12

gdzie: n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 13), k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2). Obliczmy najpierw iloczyn macierzy YTY, który wynosi 201400. Iloczyn macierzy XTY mamy już obliczony powyżej, dla przypomnienia pozostaje nam obliczyć iloczyn tej macierzy i wektora rozwiązań czyli  YXâ TT , a wynosi on: 196605. Przejdźmy do obliczenia 2eS

  435,9069196605201400 213

1S 2e  

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy wg wzoru:

jieaj cSS 2

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1. Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

 dla a0

11,178 0,2867225*9069,435S 0a   dla a1

0165,0 07-6,22E*9069,435S 1a  Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

5

H1 H1 H0

tj -tα tα

X1084,09833,53y teor.  Saj = (11,178) (0,0165) W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu weryfikujemy hipotezę

00 i:H  wobec alternatywnej

01 i:H  W tym celu wyznaczamy ze statystyki

aj

j i S

a t

t0 dla a0, które wynosi :

829,4178,11 9833,53t0 

oraz t1 dla a1

57,6 0165,0 1084,0t1 

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,11 =2,201. Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

Wyniki mówią nam, że parametr a0 dla którego przyjmujemy hipotezę H0 jest statystycznie różny od 0, oznacza to, że parametr ten ma wpływ na model. Parametr a1 jest istotnie różny od zera. Ma on wpływ na wielkość wydatków. Zapiszmy, więc nasz model :

X1084,09833,53y teor.  Saj : (2,55) (0,14) tj : (4,829) (6,57) Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s. Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 2eS czyli

2 eSs

w naszym przypadku wynosi ono 20,88 i mówi nam że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 20,88 zł. Współczynnik determinacji obliczamy wg wzoru:

t0=4,829 t1=6,57

6

  2

2 2

)y~(nYY )y~(nYXâR T

TT

 

n – liczba obserwacji (13) y~ - średnia z macierzy = 116,9231 Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

7975,0R2  Model nasz jest więc słabo dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia tylko 79,75 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 2R możemy obliczyć współczynnik zbieżności 2 , który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

2025,07975,01R1 22  Wysoka wartość współczynnik zbieżności świadczy o mało dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Współczynnik ten mierzy tę część całkowitej zaobserwowanej zmienności zmiennej Y, która wynika z działania czynników losowych ( przypadkowych). Współczynnik korelacji wielorakiej, to kolejna miara dopasowania modelu do danych empirycznych. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

893,0RR 2  Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

y~ sV

Dla naszego modelu, uzyskujemy

1786,0 9231,116 88,20V 

Współczynnik V informuje nas , jaki procent średniego poziomu zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej Y stanowią odchylenia przypadkowe w danym równaniu trendu. Sytuacja ze statystycznego punktu widzenia jest tym lepsza im wartość V jest bliższa 0. Współczynnik ten jest wysoki co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne. Aby odpowiedzieć na to pytanie,czy występuje autokorelacja zastosujmy statystykę Durbina-Watsona. Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które przedstawiamy w tabeli poniżej.

7

x yt Yt et et2 et-1 et-12 et -et-1 et et-1 (et -et-1)2 100 30 64,82 -34,82 1212,66 - - - - - 150 50 70,24 -20,24 409,79 -34,82 1212,66 14,58 704,94 212,58 200 90 75,66 14,34 205,54 -20,24 409,79 34,58 -290,22 1195,78 300 80 86,50 -6,50 42,29 14,34 205,54 -20,84 -93,24 434,31 350 100 91,92 8,08 65,23 -6,50 42,29 14,58 -52,53 212,58 450 120 102,76 17,24 297,10 8,08 65,23 9,16 139,22 83,91 550 120 113,60 6,40 40,92 17,24 297,10 -10,84 110,26 117,51 600 160 119,02 40,98 1679,09 6,40 40,92 34,58 262,12 1195,78 700 140 129,86 10,14 102,75 40,98 1679,09 -30,84 415,37 951,11 900 150 151,54 -1,54 2,38 10,14 102,75 -11,68 -15,64 136,42 1000 150 162,38 -12,38 153,35 -1,54 2,38 -10,84 19,11 117,51 1050 170 167,80 2,20 4,83 -12,38 153,35 14,58 -27,20 212,58 1200 160 184,06 -24,06 579,04 2,20 4,83 -26,26 -52,86 689,59 - - - 4794,98 - 263,31 - -76,60 1156,09

Dla zastosowania tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

 Estymator współczynnika autokorelacji



 

 

n

t t

n

t t

n

t tt

ee

ee r

2

2 1

1

2

2 1

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = -0,068

 Statystyka Durbina-Watsona

 

 

n

t t

n

t tt

e

ee d

1

2

2

2 1

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =0,241. Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=13 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=0,861 oraz du=1,562. Testujemy hipotezę

00 :H wobec hipotezy alternatywnej

01 :H Nanieśmy nasze dane na wykres.

8

Z powyższego wykresy wynika, że przyjmujemy hipotezę H1. W naszym modelu mamy do czynienia z dodatnią autokorelacją składników losowych. Jesteśmy zmuszeni wprowadzić macierz 1 , którą określamy jako

Jest to macierz, której na przekątnej wpisujemy 1+r2 , jedynie pierwszy i ostatni element przekątnej to 1. w pola sąsiadujące z przekątną wpisujemy –r . W pozostałe pola wpisujemy 0. Macierz Ω-1 ma wymiary 13x13 . Uwzględniając macierz Ω-1, wektor rozwiązań naszego modelu znajdziemy z wzoru:

YX)XX(â TT 111   Pierwszy człon tego równania 11  )XX( T jest równy:

 

  

07-5,616E0,000326-

0,000326-0,257083

Drugi człon tego równania YXT 1 jest równy:

 

  

1191035,89 1719,94992

Po wymnożeniu obu macierzy otrzymujemy nowy wektor rozwiązań modelu :

 

  

0,1086 54,1613

Ostatecznie model nasz możemy zapisać :

X1086,01613,54y teor.  Poniżej przedstawiamy graficzną prezentację danych otrzymanych przy pomocy powyższego wzoru.

     

     

  



1...0 ..... ... .r1r 0..r1

2

1

9

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

100 150 200 300 350 450 550 600 700 900 1000 1050 1200

Wartości orginalne Wartości teoretyczne

Ad.2

   

x

xy .t aby wykonać obliczenia, musimy dokonać przekształceń:

x 1

x x

y 1

.t 

 

 

 po uproszczeniu:

x 11

y 1

.t 

 

' 10

' .t xaay 

Uzyskujemy, więc macierz X w postaci:

10

                  

                  

0,00081 0,00101 0,00101 0,00111 0,00141 0,00171 0,00181 0,00221 0,00291 0,00331 0,00501 0,00671

01,01

X

                  

                  

0,0063 0,0059 0,0067 0,0067 0,0071 0,0063 0,0083 0,0083 0,0100 0,0125 0,0111 0,0200 0,0333

Y

Model ten, tak ja i poprzedni możemy obliczyć MNK, czyli wg wzoru:

YX)XX(â TT 1 Wynik naszej operacji na macierzach (XTX)-1, jest macierz:

 

  

11200,85333,507447- 33,507447-0,1771609

Macierz XTY wygląda następująco:

 

  

0,000672 0,14247

Po wymnożeniu naszych macierzy, uzyskujemy â :

 

  

2,7491 0,0027

Model nasz możemy zapisać w postaci:

x*7491,20027,0y't.  Kolejnym krokiem będzie obliczenie wariancji resztowej 2eS :

  YXâYY kn

S TTTe  

12

gdzie: n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 13), k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

11

Iloczyn macierzy YTY wynosi 0,002282, natomiast iloczyn  YXâ TT - 0,002236. Po obliczeniu uzyskujemy, więc 2eS = 4,2054E-06. Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy- dla przypomnienia wg wzoru:

jieaj cSS 2

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1 Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

 dla a0

4

0a 10*63,8 0,1771609*06-4,2054ES 

 dla a1

217,0 11200,853*06E2054,4S 1a  Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

x*7491,20027,0y't.  Saj : (8,63*10-4) (0,217) W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu zakładamy weryfikujemy hipotezę

00 i:H  wobec alternatywnej

01 i:H  W tym celu wyznaczamy ze statystyki

aj

j i S

a t

t0 dla a0, które wynosi :

86,31210*63,8 0027,0t 40  

oraz t1 dla a1

67,12 217,0

74941,2t1  Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,11 =2,201. Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

12

Już z wykresu widzimy, że wszystkie nasze parametry modelu są istotnie różne od zera. Oszacowane przez nas parametry modelu mają istotny wpływ na wielkość wydatków. Zapiszmy nasz model w postaci:

x*7491,20027,0y't. 

Saj : (8,63*10-4) (0,217) tj : (312,86) (12,67) Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s. Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 2eS czyli

2 eSs

w naszym przypadku wynosi ono 2,05*10-3 co oznacza, że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 2,05*10-3 zł. Obliczmy 2R , który obliczamy wg wzoru:

  2

2 2

)y~(nYY )y~(nYXâR T

TT

 

n – liczba obserwacji (13) y~ - średnia z macierzy = 0,0110 Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

0,9358R2  Model nasz jest więc bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 93,58 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 2R możemy obliczyć współczynnik zbieżności 2 , który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

0642,09358,01R1 22  Niska wartość współczynnik zbieżności świadczy o dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Współczynnik korelacji wielorakiej, jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

9674,0RR 2  Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

H1 H1 H0

tj -tα tα t1=12,67 t0=312,86

13

y~ sV

Dla naszego modelu, uzyskujemy

1864,0 011,0

10*2,05V -3

 Współczynnik ten jest wysoki co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne. Zastosujmy statystykę Durbina-Watsona dla Yt. wg wzoru:

18,1018x x37,370y' .t  

 gdzie 370,37 to 0a/1 a 1018,18 to β - wartość otrzymana z proporcji 2,7491= β / 370,37 Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które prezentujemy w tabeli poniżej.

x yt Yt et et2 et-1 et-12 et -et-1 et et-1 (et -et-1)2 100 30 33,123 -3,12 9,75 - - - - - 150 50 47,557 2,44 5,97 -3,12 9,75 5,57 -7,63 30,97 200 90 60,807 29,19 852,23 2,44 5,97 26,75 71,31 715,57 300 80 84,291 -4,29 18,41 29,19 852,23 -33,48 -125,27 1121,19 350 100 94,746 5,25 27,61 -4,29 18,41 9,55 -22,55 91,11 450 120 113,52 6,48 42,00 5,25 27,61 1,23 34,05 1,51 550 120 129,9 -9,90 97,97 6,48 42,00 -16,38 -64,15 268,27 600 160 137,33 22,67 514,00 -9,90 97,97 32,57 -224,40 1060,78 700 140 150,89 -10,89 118,63 22,67 514,00 -33,56 -246,93 1126,49 900 150 173,78 -23,78 565,28 -10,89 118,63 -12,88 258,96 166,00

1000 150 183,52 -33,52 1123,38 -23,78 565,28 -9,74 796,88 94,89 1050 170 188,03 -18,03 325,23 -33,52 1123,38 15,48 604,45 239,71 1200 160 200,36 -40,36 1629,27 -18,03 325,23 -22,33 727,94 498,63 - - - 5329,73 - 3700,46 - 1802,65 5415,13

Dla obliczenia tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

 Estymator współczynnika autokorelacji



 

 

n

t t

n

t t

n

t tt

ee

ee r

2

2 1

1

2

2 1

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = 0,406

 Statystyka Durbina-Watsona

14

 

 

n

t t

n

t tt

e

ee d

1

2

2

2 1

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =1,016. Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=13 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=0,861 oraz du=1,562. Testujemy hipotezę

00 :H wobec hipotezy alternatywnej

0:H1  Nanieśmy nasze dane na wykres.

W naszym przypadku (dla tego modelu ) nie możemy odpowiedzieć na pytanie o występowanie autokorelacji. Dla tego modelu mamy zbyt małą liczebność próby, by odpowiedzieć na to pytanie. Nanieśmy jeszcze nasze dane uzyskane za pomocą ekstrapolacji naszą funkcją na wykres.

15

0

50

100

150

200

250

100 150 200 300 350 450 550 600 700 900 1000 1050 1200

Wartości orginalne Wartości teoretyczne

Wadą pierwszego modelu jest występowanie autokorelacji składników losowych. Występuje tu też wyższy niż w innych prezentowanych modelach współczynnik zmienności losowej V. Ogólne miary dopasowania świadczą o tym, że to drugi model ,model funkcji Tőrnqista jest najlepiej dopasowany do danych empirycznych. Model ten również ma najniższy błąd standardowy s czyli przeciętne odchylenie ilości rzeczywistej od ilości wyznaczonej na podstawie modelu. Z tego powodu model ten w postaci:

18,1018x x37,370y' .t  

 uznaliśmy za dobry i wybraliśmy go jako końcowy efekt naszej pracy.

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome