Przestrzenie metryczne - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Przestrzenie metryczne - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (128.1 KB)
1 strona
396Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: przestrzenie metryczne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

ANALIZA MATEMATYCZNA I, Matematyka Finansowa rok I Lista 5: Przestrzenie metryczne

1. Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś funkcja d : X×X → R określona w następujący sposób:

d(x, y) =

{ 1, gdy x 6= y 0, gdy x = y

Pokazać, że d jest metryką w zbiorze X. Uwaga: Metryka ta nazywa się metryką dyskretną albo metryką 0-1.

2. Niech f : R → R będzie funkcją różnowartościową. Pokazać, że wzór d(x, y) = |f(x) − f(y)| definiuje metrykę w zbiorze R.

3. Sprawdzić, czy funkcja d : X ×X → R jest metryką w zbiorze X:

(a) X = R; d(x, y) = |x2 − y2| (b) X = R; d(x, y) = |x− 2y| (c) X = R; d(x, y) = | sin x− sin y|

4. Pokazać, że funkcja d : X ×X → R jest metryką w zbiorze X:

(a) X = N; d(n, m) = |n−m| nm

(b) X = Rn; d(x, y) = n∑

i=1

|xi − yi|

(c) X = R2; d((x1, y1), (x2, y2)) = max {|x1 − x2| ; |y1 − y2|} (d) X = R2; d((x1, y1), (x2, y2)) =

√ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

5. Narysować kule:

(a) B(1, 1 2 ) w metryce z zadania 4a;

(b) B((0, 0), 1) w metrykach z zadania 4b (dla n = 2), 4c, 4d.

6. Pokazać, że w zbiorze R z metryką d(x, y) = |x− y|

(a) następujące przedziały są zbiorami otwartymi: (a, b), (−∞, a), (a,∞) ; (b) następujące przedziały są zbiorami domkniętymi: [a, b], (−∞, a], [a,∞).

7. Wyznaczyć punkty skupienia zbioru A = {n + 1 k

: n, k ∈ N} w zbiorze R z metryką d(x, y) = |x− y|.

8. Wykazać, że zbiór A = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| < 1} jest otwarty w przestrzeni metrycznej (R2, d), d-metryka euklidesowa.

9. Czy zbiór A = { 1, 1

2 , 1

3 , . . .

} ⊂ (X, d) jest domknięty, jeśli d(x, y) = |x− y| oraz a) X = (0, 2),

b) X = R?

10. Dla zbiorów A = [1, 2]× [0, 1], B = (−1, 1)× (0, 2), C = [2, 3]× (4, 5), D = ([0, 1]∪{2})× (0, 1), E = ([1, 2] ∪ {3})× {4} w przestrzeni R2 z metryką euklidesową wyznaczyć: wnętrze, punkty skupienia, domknięcie.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome