Zasada indukcji matematycznej - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok
komik86
komik8615 March 2013

Zasada indukcji matematycznej - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1, Notatki'z Analiza matematyczna. University of Bialystok

PDF (132.7 KB)
1 strona
481Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy matematycznej: zasada indukcji matematycznej.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

ANALIZA MATEMATYCZNA I, Matematyka Finansowa rok I, 2010/2011 Lista 1: Zasada indukcji matematycznej

1. Przedstaw przy użyciu symbolu ∑

lub ∏

następujące sumy i iloczyny:

(a) 1

1 · 2 +

1

2 · 3 +

1

3 · 4 + . . . +

1

(n− 1) · n (b)

1

4 ! +

1

5 ! + . . . +

1

n ! + . . .

(c) sin x + sin 2x + . . . + sin nx

(d) 1 + 1√ 2

+ 1√ 3

+ . . . + 1√ n

(e) 2 ( 1 + 1

2

) ( 1 + 1

3

) ( 1 + 1

4

) . . . ( 1 + 1

n

) 2. Udowodnić indukcyjnie:

(a) Wykaż, że n∑

k=1

k2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

(b) Wykaż, że n∑

k=1

k3 =

( n(n + 1)

2

)2 (c) Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N liczba 26n+1 + 32n+2 jest podzielna przez 11. (d) Dla n ∈ N, n ≥ 2

1 + 1√ 2

+ 1√ 3

+ . . . + 1√ n

> √

n

(e) Niech a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an (ciąg Fibonacciego). Pokazać, że 2|a3n. (f) Udowodnić, że ciąg Fibonacciego określony indukcyjnie w (2e) można zdefiniować w na-

stępujący sposób: an = 1√5 [(

1+ √

5 2

)n − (

1− √

5 2

)n] .

(g) Dla dowolnych xi, yi ∈ R (i=1,. . . ,n) pokazać, że zachodzi nierówność Schwarza

(x1y1 + . . . + xnyn) 2 ≤ (x21 + . . . + x2n)(y21 + . . . + y2n)

3. Udowodnić indukcyjnie

(a) n∏

i=1

(1 + xi) ≥ 1 + n∑

i=1

xi, nierówność Bernoulliego

gdzie x1, x2, . . . , xn - liczby rzeczywiste tego samego znaku, większe od −1.

(b) Jeśli ∀i=1,...,n xi ∈ R+ oraz n∏

i=1

xi = 1, to n∑

i=1

xi ≥ n.

i wyprowadzić stąd nierówność miedzy średnią harmoniczną, geometryczną i arytme- tyczną:

n n∑

i=1

1 ai

≤ n √√√√ n∏

i=1

ai ≤ 1

n

n∑ i=1

ai, gdzie ai > 0 dla i = 1, 2, . . . , n

(c) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i dla dowolnego n ∈ N prawdziwy jest wzór

(a + b)n = n∑

k=0

( n

k

) an−kbk

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome