Rachunek całek - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Rachunek całek - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University

PDF (65.8 KB)
6 strona
334Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z zakresu algebry: rachunek całek.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 6
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
5.2.Rachunek całek

5.2. Rachunek całek

Przy obliczaniu całek wykorzystujemy wprost poniŜej podane twierdzenie, a takŜe

dwie ogólniejsze metody całkowania przez podstawienie i przez części.

Zakładamy, Ŝe rozwaŜane funkcje są ciągłe w pewnym przedziale X.

Twierdzenie

a) ∫ ∫= dx)x(fadx)x(af , gdy a ∈ R, całka iloczynu liczby i funkcji

b) ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ całka sumy funkcji

b) ∫ ∫ ∫+=+ dxxgbdxxfadxxbgxaf )()()]()([ całka kombinacji liniowej funkcji

Przykłady stosowania powyŜszych twierdzeń były w części 5.1.

Całkowanie przez podstawienie

Schemat postępowania w przypadku obliczenia całki ∫ dx)x(f metodą całkowania

przez podstawienie (zwanej równieŜ metodą przez zamianę zmiennej) jest następujący.

Aby obliczyć całkę ∫ dx)x(f ,

a) zmienną x traktujemy jako funkcję nowej zmiennej t; praktycznie biorąc umiejętnie

dobieramy funkcję g taką, Ŝe x = g(t),

b) obliczamy róŜniczkę tej nowej funkcji; stosujemy wzór dx = g’(t)dt ,

c) tworzymy całkę dttgtgf )())(( '

∫ w sposób następujący: w całce wyjściowej ∫ dx)x(f

podstawiamy g(t) w miejsce x oraz g’(t)dt w miejsce dx,

d) wyznaczamy funkcję pierwotną G zmiennej t funkcji podcałkowej y = f(g(t)) g’(t),

e) w funkcji pierwotnej G zastępujemy zmienną t wyraŜeniem obliczonym ze wzoru

x = g(t),

f) otrzymujemy poszukiwaną całkę.

To postępowanie sankcjonuje wzór (nazywany wzorem na całkowanie przez

podstawienie):

∫ dx)x(f = dttgtgf )()]([ '

∫ , gdy x = g(t) jest funkcją róŜniczkowalną,

złoŜenie f[g(t)] jest wykonalne oraz x = g(t) ma funkcję pierwotną y = G(t).

Praktyczne reguły

• Posługiwanie się metodą całkowania przez podstawienie ma sens, jeśli całka

dttgtgf )())(( '∫ jest łatwiejsza do obliczenia niŜ całka ∫ dx)x(f . Nie moŜna jednak podać

Ŝadnej ogólnej uŜytecznej instrukcji, która wskazywałaby jak wybierać podstawienie.

Umiejętność doboru odpowiedniego podstawienia nabywa się drogą wprawy.

• Poprawność całkowania moŜemy sprawdzić obliczając pochodną wyniku (pochodną

otrzymanej funkcji pierwotnej); powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową.

Przykład 1.

Oblicz całkę ∫ + 4x3 dx

, wykorzystując podstawienie x = 3

4−t .

ZauwaŜ, Ŝe jeŜeli x = 3

4−t , to t = 3x + 4.

Po tym podstawieniu w mianowniku funkcji

podcałkowej otrzymamy t.

Funkcja podcałkowa przyjmuje prostszą postać.

Mamy dx = dt 3

1 i po podstawieniu do danej całki otrzymujemy:

t

dt 3

1

= ct t

dt +=∫ ||ln3 1

3

1 .

W funkcji pierwotnej ||ln 3

1 t +c podstawiamy zamiast t wyraŜenie 3x+4

otrzymujemy |43|ln 3

1 +x +c.

Ostatecznie ∫ + 4x3 dx

= |43|ln 3

1 +x +c.

Poprawność przeprowadzonych rachunków moŜna wykazać obliczając pochodną

otrzymanej funkcji pierwotnej.

PoniewaŜ:

( |43|ln 3

1 +x +c)’ = 43

1

+x , więc obliczenia są poprawne.

Przykład 2.

Oblicz całkędx)5x(x2 72 +∫ .

Wybieramy podstawienie x2 +5 = t; obliczamy róŜniczkę 2x dx =dt.

Takie podstawienie sprawia, Ŝe wyraŜenie podcałkowe

przyjmuje znacznie prostszą postać:

2x (x2 + 5)7dx = 2x(x2 + 5)7 ⋅ 2x dx = t7 dt

Po podstawieniu do danej całki mamy:

. 8

1 87 ctdtt +=∫

Powracając do zmiennej x mamy:

8

1 t8 + c = 8

1 (x2 + 5)8 + c.

Zatem dx)5x(x2 72 +∫ = 8 1 (x2 + 5)8 + c.

Sprawdzimy poprawność przeprowadzonych rachunków obliczając pochodną

otrzymanej funkcji pierwotnej. Mamy: ( 7272'82 )5(22)5(8 8

1 ])5(

8

1 [ +=+=++ xxxxcx .

Otrzymaliśmy funkcję podcałkową, więc zgodnie z definicją całki rachunki są poprawne.

Całkowanie przez części

Metoda ta jest stosowana do obliczenia takich całek, gdy funkcja podcałkowa jest

iloczynem dwóch funkcji. Wykorzystuje się w niej wzór (nazywany wzorem na całkowanie

przez części) :

gxfxgxfdxxgxf )()()()()( '' ∫∫ −= (x)dx,

przy załoŜeniu, Ŝe pochodne f’ , g’ są funkcjami ciągłymi.

Schemat postępowania w przypadku obliczenia całki ∫ dx)x(f metodą całkowania

przez części jest następujący.

Aby obliczyć daną całkę ∫ dx)x(f ,

a) wyraŜenie podcałkowe f(x) dx przedstawiamy w postaci iloczynu dwóch czynników:

u(x) oraz v’(x) dx,

b) obliczamy d u = u’(x) dx oraz ∫ dxxv )(' = v(x),

c) obliczenia podstawiamy do wzoru na całkowanie przez części:

dxxf )( = ∫ dvxu )( =u(x) v(x) − ∫ duxv )( = u(x) v(x) − ∫ duxuxv )(')( ,

d) wykonujemy dalsze całkowanie.

Praktyczna reguła

• Posługiwanie się metodą całkowania przez części ma sens, jeśli ostatnia całka we

wzorze na całkowanie przez części jest łatwiejsza do obliczenia niŜ całka wyjściowa.

Nie moŜna jednak podać Ŝadnej ogólnej uŜytecznej instrukcji, która wskazywałaby jak

dobierać wyraŜenia u(x) oraz v’(x). Umiejętność tę nabywa się drogą wprawy.

Przykłady

a) Oblicz całkędxxex∫ .

Przyjmujemy: f(x) = x , g =)x(' e x , więc f ,1)x(' = g(x)= e x .

Podstawiając do wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy:

.cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ∫∫

Poprawność przeprowadzonych rachunków moŜna wykazać obliczając pochodną

otrzymanej funkcji pierwotnej. PoniewaŜ:

(xex - ex +c)’ = x ex , więc obliczenia są poprawne.

b) Oblicz całkę ∫ − xdxsin)4x2( .

Teraz przyjmujemy: f(x) = 2x −4 , g )x(' =sin x, więc f )x(' =2, g(x) = −cos x.

Zatem ∫ =− xdxsin)4x2( (2x−4)(−cos x) − ∫ − )xcos(2 dx =

= (2x−4)(−cos x) + 2sin x+c.

Ostatecznie ∫ − xdxsin)4x2( = (4 − 2x) cos x + 2sin x + c.

PoniewaŜ = [(4 − 2x) cos x + 2sin x + c]’ = (2x-4) sin x, więc obliczenia są poprawne.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1. Oblicz:

a) ∫ 5x dx

; b) ∫ −75 2

x

dx ; c) ∫

+ dt

t

t 2)2( ; d) ∫ − dttt )31( ;

e) dx) x

3 2x3(∫ +− ; f) dx)5x4x2(

2 −+∫ .

Zadanie 2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, oblicz:

a) ∫ xex2 , przyjmij f(x) = x2 , g’(x) = ex ;

b) ∫ xx cos dx , przyjmij f(x) = x , g’(x) = cos x ;

c) ∫ + xx sin)13( dx , przyjmij f(x) = 3x+1 , g’(x) = sin x ;

d) ∫ xln dx , przyjmij f(x) = ln x , g’(x) = 1;

e) xx ln∫ dx , przyjmij f(x) = ln x , g’(x) = x ;

f) ∫ xx ln 2 ,

g) ∫ − xx ln1 , przyjmij f(x) = ln x , g’(x) = x -1 .

Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, oblicz:

a) ∫ xdxsinx ; b) ∫arctgx dx , c) ∫ xarctgx dx , d) ∫ − xdxcos)x32( ;

e) ∫ xe x cos dx , f) ∫ xx

2sin dx , g) ∫ xx 4cos dx , h) ∫ 3)(ln xx dx.

Zadanie 4. Stosując wskazane podstawienie, oblicz:

a) ∫ + 5)4x3( dx ; 3x + 4 = t, d) xe x cossin∫ dx , sinx = t,

b) ∫ + 2x5 dx ; 5x + 2 = t, e) ∫ + −

21

2

x

x dx, 1 + x2 = t,

c) ∫ − dx)x47sin( ; 7 – 4x = t , f) dxx∫ 33 cossin , sin x = t.

Zadanie 5. Oblicz przez podstawienie:

a) 15)5(∫ −x dx, b) 13)23(∫ − x dx, c) )74sin(∫ −x dx,

d) )67cos(2∫ − x dx, e) ∫ − 21 x xdx

, f) xdxx cossin3∫

Zadanie 6. Oblicz przez podstawienie:

a) ∫ + x x

e

dxe

1 , b) ∫ x

x2ln , c) ∫ 42

3

cos x

dxx , d) ∫ + 64 2x

xdx ,

e) ∫ +17 2xx dx, f) ∫ − 241 x

dx , g) ∫ +−

− 223

)22(

xx

dxx , h) ∫ +− 2)32(1 x

dx .

Zadanie 7. Oblicz całkę funkcji wymiernej:

a) ∫ + 6x dx

, b) ∫ − x dx

45 , c) ∫ +

+ 2

22

x

x dx , d) ∫ −

−+− 1

)32( 2

x

dxxx ,

e) ∫ + )3(xx dx

, f) ∫ +− −

)3)(1( xx

dx , g) ∫ ++ 65

2 2 xx

dx , h) ∫ −

− 23 2

42

xx

x dx .

Odpowiedzi

Zad.1.: b) 76 38

1 x +c ; c) ½ t2 +4t + 4ln |t| + c ; d)

3

2 t1,5 - 2

5

5

6 t + c ;

e) cxln3x2x 2

3 2 ++− ; f) cx5x 3

4 x

3

4 35,1 +−+ .

Zad. 3.: a) − xcos x + sin x + c; b) x arc tgx - ½ ln (1 + x2) + c;

c) ½ (x2 + 1) arc tgx – ½ x + c; d) (2x − 3)sin x +2cos x + c ;

e) ½ ex (sin x + cos x) + c ; f) - 0,25x sin 2x – 0,125 cos 2x + 0,25 x2 +c;

g) 0,25 x sin 4x + 0,0625 cos 4x + c; h) 3 3

2 x (ln3 x – 2 ln2 x +

3

8 ln x -

9

16 ) +c.

Zad. 4.: a) 18

1 (3x + 4)6 +c ; b) 5,1)2x5( 15

2 + +c ; c) c)x47cos( 4

1 +− ,

d) - 3

1 sin(7 – 6x) + c ; e) – ln (1 + x2) + c ; f) 0,25 sin4 x -

6

1 sin6 x + c.

Zad. 5.: a) 16

1 (x- 5)16 + c; b) -

28

1 (3 – 2x)14 + c ; c) -0,25 cos (4x – 7) + c ;

d) - 3

1 sin(7 – 6x) + c; e) – ln 21 x− + c ; f) 0,25 sin4 x + c.

Zad. 6.: a) ln (1 + ex) + c ; b) 3

1 ln3 x + c ; c) 0,25 tg (x4) + c ; d)

8

1 ln (4x2 + 6) + c;

e) 14

1 (7x2 + 1) + c ; f) ½ arc sin2x + c ; g) 2 223 xx +− + c; ½ arcsin (2x+3) + c.

Zad.7.: a) ln |x + 6| + c, b) – 0,25 ln| 5 – 4x| + c ; c) ½ (x+2)2 – 4(x+2) + 6 ln |x+2| + c;

d) –(x-1)2 – 3(x-1) – 4 ln|x – 1| + c ; e) 3

1 (ln |x| - ln|x+3|) +c ;

f) 0,25( ln|x+3| - ln|x -1| ) + c ; g) ln|x+2| - ln|x+3| +c ; h) -2 x -1 + c.

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome