Przestrzeń funkcji mierzalnych - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Przestrzeń funkcji mierzalnych - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (91.5 KB)
1 strona
297Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: przestrzeń funkcji mierzalnych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria caªki

Lista 1

Zad 1. Niech (Y,Σ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡, a f : X → Y dowolnym odwzoro- waniem. Wyznaczy¢ najmniejsz¡ σ-algebr¦ podzbiorów X, przy której f jest odwzoro- waniem mierzalnym. Tak¡ σ-algebr¦ nazywa si¦ σ-algebr¡ generowan¡ przez f i oznacza przez σ(f).

Zad 2. Niech (X,Σ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡, a f : X → Y dowolnym odwzorowa- niem. Wyznaczy¢ najmniejsz¡ σ-algebr¦ podzbiorów Y , przy której f jest odwzorowaniem mierzalnym. Jak wygl¡da najwi¦ksza taka σ-algebra?

Zad 3. Wyznaczy¢ σ-algebr¦ σ(f), je±li

a) f : X → R i f(x) = IA(x)− IB(x), gdzie A, B ⊂ X,

b) f : X → R i f(x) = IA(x) + IB(x), gdzie A, B ⊂ X,

c) f : R → R i f(x) = sgnx,

d) f : R → R i f(x) = [x], gdzie [x] = max{k ∈ Z : k ≤ x}.

Zad 4. Niech f, g : [0,∞) → [0,∞). Sprawdzi¢, czy funkcja f jest mierzalna wzgl¦dem σ(g) lub g jest mierzalna wzgl¦dem σ(f), je±li

a) f(x) = sin(πx), g(x) = sgn (sin(πx)),

b) f(x) = [x], g(x) = [ √ x],

c) f(x) = [x], g(x) =

{ x2 x ∈ N [x+ 1][x] x /∈ N

,

d) f(x) = ∑∞

n=0 n · I(n,n+1](x), g(x) =

{ x(x+ 1) x ∈ N [x+ 1]2 x /∈ N

.

Zad 5. Pokaza¢, »e je»eli funkcje f, g : X → R s¡ mierzalne, to mierzalne s¡ zbiory

A = {x ∈ X : f(x) < g(x)}, B = {x ∈ X : f(x) ≤ g(x)}, C = {x ∈ X : f(x) = g(x)}.

Zad 6. Udowodni¢, »e je»eli funkcja f : X → R jest mierzalna, to mierzalne s¡ wszystkie funkcje

fa,b(x) =

 b f(x) > b

f(x) a ≤ f(x) ≤ b a f(x) < a

, gdzie a < b.

Zad 7. Wykaza¢, »e je»eli {fn}n∈N jest ci¡giem funkcji mierzalnych fn : X → R, gdzie R = R ∪ {−∞,+∞}, to funkcje

lim sup n→∞

fn oraz lim inf n→∞

fn

s¡ funkcjami mierzalnymi.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome