Kinetyczna teoria gazow i termodynamika II - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology
alien85
alien8514 March 2013

Kinetyczna teoria gazow i termodynamika II - Notatki - Fizyka, Notatki'z Fizyka. Warsaw University of Technology

PDF (581.0 KB)
12 strona
913Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z fizyki: kinetyczna teoria gazów i termodynamika.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Wyk³ad 17

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 17

17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II

17.1 Średnia droga swobodna

Średnia droga swobodna to inaczej średnia odległość między miejscami kolejnych zderzeń. Zależy od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości. Rozpatrujemy cząstkę kulistą o średnicy d. Zderzenie będzie miało miejsce gdy odle- głość między środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka jest "tarczą" o powierzchni

σ = πd2 Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego. W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v "przemiata" objętość walca vtσ. Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to w tym walcu nasza cząstka napo- tka (zderzy się z)

nz = vtσn

cząstek. Średnia droga swobodna to średnia odległość pomiędzy punktami kolejnych zderzeń. Jest ona równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez licz- bę zderzeń

ndnnt

t 2

11 πσσ

λ === v v

(17.1)

To równanie wyprowadzono w oparciu o założenie, że cząstka zderza się z nierucho- mymi obiektami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w poruszający się cel. Częstość zderzeń jest większa, a średnia droga swobodna mniejsza

nd 22

1 π

λ = (17.2)

Zwróćmy uwagę, że wtedy w równaniu (17.1) dwie występujące tam prędkości są róż- ne: prędkość w liczniku to prędkość średnia v cząsteczek względem naczynia, a pręd- kość w mianowniku to średnia prędkość względna wzglv w stosunku do innych cząste- czek. Można się przekonać jakościowo, że

wzglv > v Np. gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to wzglv = 2v , gdy pod kątem prostym to

vv 2=wzgl , a gdy w tę samą stronę to wzglv = 0. Uwzględniając rzeczywisty rozkład

prędkości otrzymujemy v2=wzglv . Przykład 1

17-1

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Cząstki powietrza w temperaturze 273 K i pod ciśnieniem 1 atm. d = 2·10-8 cm, v = 105 cm/s, n = 3·1019/cm3. Wówczas średnia droga swobodna jest równa 2·10-5 cm (około 1000d). Odpowiednia częstość zderzeń wynosi 5·109/s.

17.2 Rozkład prędkości Maxwella

Na poprzednim wykładzie omawialiśmy prędkość średnią kwadratową cząsteczek gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od tem- peratury (cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo prędkości zmieniają się w wyniku zderzeń). Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierające- go N cząsteczek ma postać

kT m

e kT

mNN 22 2 3 2

2 4)(

v

vv

  

  =

π π (17.3)

W równaniu tym N(v)dv jest liczbą cząstek o prędkościach z przedziału od v do v + dv. T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmana, m - masa cząsteczki. Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć dodając (całkując) liczby dla po- szczególnych różniczkowych przedziałów prędkości

∫ ∞

= 0

d)( vvNN

Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch różnych temperatur.

0.000 200.000 400.000 600.000 800.000 1000.000

__ _

v v2

vp

v (m/s)

N (v

)

T=300 K

T=70 K

gdzie -v prędkość średnia, 2v - prędkość średnia kwadratowa, vp – prędkość najbar- dziej prawdopodobna.

17-2

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nie- skończoności. Ze wzrostem temperatury rośnie prędkość średnia kwadratowa. Obszar prędkości jest teraz większy. Ponieważ liczba cząstek (pole pod krzywą) jest stała więc rozkład się "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperaturą, liczby cząstek o prędkościach większych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybkości reakcji chemicznych towarzyszących zwiększeniu temperatury. Z równania widać, że rozkład prędkości zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym więcej szybkich cząste- czek (w danej temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery niż tlen czy azot.

17.3 Równanie Van der Waalsa

Równanie stanu gazu doskonałego

pV = nRT dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy większych gęsto- ściach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla gazu oraz że zasięg sił międzycząsteczkowych może być większy niż odległości międzyczą- steczkowe.

J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzględnia te czynniki. Jeżeli cząstki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostęp- na dla cząstek jest mniejsza od objętości naczynia. "Objętość swobodna" jest mniejsza od objętości naczynia o "objętość własną" cząsteczek b. Jeżeli oznaczymy przez v obję- tość przypadającą na jeden mol v = V/n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu

p(v – b) = RT Można również prosto uwzględnić efekt sił międzycząsteczkowych. Siły przyciągania pomiędzy n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po lewej" z n cząsteczkami (na jed- nostkę objętości) "po prawej" jest proporcjonalna do n2 czyli proporcjonalna do 1/v2. Siła przyciągająca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ciśnieniu, które zo- stało uwzględnione w równaniu Van der Waalsa

RTb ap =−

 

   + )(2 vv

(17.4)

gdzie stałe a i b wyznaczamy doświadczalnie. (Równanie Van der Waalsa też bywa za- wodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby się do różnych gazów w różnych warunkach). Na rysunku poniżej porównano zachowanie się gazu doskonałego (rysunek po lewej) w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).

17-3

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2 0

300

350

400

17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki

17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne

Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego sprężanie gazu. 1. Tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy aż ustali się równowaga z otoczeniem.

W czasie takiego procesu ciśnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone bo nie są jednakowe w całej objętości.

2. Tłok przesuwamy bardzo powoli, tak że ciśnienie i temperatura gazu są w każdej chwili dobrze określone. Ponieważ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga no- wy stan równowagi. Możemy złożyć cały proces z ciągu takich małych przesunięć tłoka i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Jeżeli bę- dziemy zmniejszać nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym wszystkie stany pośrednie (pomiędzy początkowym i końcowym) są stana- mi równowagi. Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem

odwracalnym. Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany

otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego tzn. przebiegający po tej samej drodze w przeciwnym kierunku.

17.4.2 Cykl Carnota

Bardzo ważnym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granicę naszych możliwości zamiany ciepła na pracę. 1) Gaz znajduje się w stanie p1, V1, T1 (punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła i pozwalamy, żeby gaz rozprężył się izotermicznie do stanu p2, V2, T1 (punkt B). Gaz pobiera ciepło Q1. 2) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i pozwalamy na dalsze rozprężanie adia- batyczne gazu (np. zmniejszając obciążenie tłoka) do stanu p3, V3, T2 (punkt C). Gaz wykonuje pracę przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do T2.

17-4

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T2) i sprężamy gaz izotermicznie do stanu p4, V4, T2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q2. 4) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i sprężamy adiabatycznie do stanu p1, V1, T1 (punkt A). Siły zewnętrzne wykonują pracę i temperatura gazu podnosi się do T1.

A

B

C D

Q1

Q2

W T1

T2

V

p

Wypadkowa praca W wykonana przez układ w czasie pełnego cyklu jest opisana

przez powierzchnię zawartą wewnątrz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilość ciepła pobra- na przez układ podczas jednego cyklu wynosi Q1 - Q2. Wypadkowa zmiana energii we- wnętrznej wynosi zero bo stan końcowy pokrywa się z początkowym. Z pierwszej zasa- dy termodynamiki mamy więc

W = Q1 – Q2 Sprawność silnika wynosi

1

21

1

21

1 T TT

Q QQ

Q W

= −

==η (17.5)

Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym (maszyna chłodząca).

17.4.3 Druga zasada termodynamiki

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konse- kwencji ta ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstruować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pra- cę? Moglibyśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończo- ne) ilości ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne. Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie ter- modynamiki. Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady 1) Nie można zbudować perpetum mobile drugiego rodzaju. 2) Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wów- czas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.

17-5

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

3) Żadna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami T1 i T2 nie mo- że mieć sprawności większej niż (T1 - T2)/T1. 4) W układzie zamkniętym entropia nie może maleć.

Rozpatrzmy następujący schemat (pokazany na rysunku poniżej),w którym super silnik o sprawności większej od silnika Carnota napędza ten silnik. Efektem końcowym jest przeniesienie dwóch jednostek ciepła z zimniejszego do cieplejszego zbiornika.

T1 (gor¹ cy zbiornik)

Q1=4 Q1'=6

Silnik Carnota η =0.5

Super silnik ηS=0.75

W=3

Q2=1 Q2'=3

T2 (zimny zbiornik)

17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur

Pokazaliśmy więc, że sprawność silnika Carnota jest równa

1

21

1

21

1 T TT

Q QQ

Q W

= −

==η

Wynika stąd, że

T1/T2 = Q1/Q2 Zatem stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciepła można wyznaczyć mierząc przenoszenie ciepła podczas jednego cyklu Carnota. Powyższy wzór stanowi definicję termodynamicznej skali temperatur.

17.4.5 Entropia

• Zerowa zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem temperatury • Pierwsza zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem energii wewnętrznej • Druga zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem entropii

17-6

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Entropia jest miarąnieuporządkowania układu cząstek. Im większy jest stan niepo- rządku położeń i prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ bę- dzie w tym stanie. Przykłady sytuacji gdy nieuporządkowanie rośnie bo tracimy część zdolności do klasy- fikacji cząstek. • Rozprężanie swobodne • Przepływ ciepła do wyrównania temperatur Z definicji entropia S układu jest równa S = klnω(17.6) gdzie k - stała Boltzmana, ω - prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów). Zgodnie z definicją prawdopodobieństwa układ częściej będzie w stanie o większym prawdopodobieństwie niż w stanie o mniejszym prawdopodobieństwie. Układ więc "poszukuje" stanów o większym prawdopodobieństwie, a w miarę wzrostu ω rośnie również S. Stąd

S ≥ 0 To jest czwarte sformułowanie drugiej zasady termodynamiki. Pokażmy, że pozostałe sformułowania są mu równoważne.

S = S2 − S1 = klnω2 − klnω1

S = kln(ω2/ω1) Rozpatrzmy teraz swobodne rozprężanie gazu od objętości V1 do objętości końcowej V2. Względne prawdopodobieństwo znalezienia jednej cząstki w V1 w porównaniu do V2 jest

2

1

.12

1

V V

cz

= 

  

 ω ω

Dla N cząstek stosunek prawdopodobieństw

N

Ncz V V

 

  

 =

  

2

1

.2

1

ω ω

Otrzymujemy więc

S =Nkln(V2/V1) Podzielmy i pomóżmy równanie przez T; otrzymamy wtedy

17-7

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

T V V

NkT S 1

2ln =∆

Wyrażenie w liczniku jest równe ilości ciepła ∆Q dostarczonego do układu aby ten przeszedł do stanu końcowego w sposób odwracalny (rozprężanie izotermiczne).

T QS

T QS

d ddlub =∆=∆ (17.7)

więc ostatecznie

∫= T QS d (17.8)

gdzie dQ jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym. Entropia S jest termodynamiczną funkcją zależną tylko od początkowego i końcowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami (termodynamiczna defini- cja entropii).

Z tego punktu widzenia szczególnie interesujące są procesy adiabatyczne nie zwią- zane z przepływem ciepła pomiędzy układem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym dQ = 0, więc dla procesu odwracalnegodS = 0 na podstawie równania (17.8).

Oznacza to, że entropia układu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodzą pro- cesy odwracalne, jest stała. Jednocześnie można pokazać, że dla procesu adiabatyczne- go nieodwracalnego, entropia układu rośnie. Można uogólnić zasadę wzrostu entropii na układy nieizolowane adiabatycznie tzn. takie, które wymieniają ciepło z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz układ i otoczenie razem jako jeden "większy" układ ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy

0dd ≥+ oSS gdzie dSo jest zmianą entropii otoczenia. Zmienia się więc entropia naszego układu i otoczenia. Jeżeli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciepła dQ z otoczenia do naszego układu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia układu rośnie o tę samą wartość dQ/T, więc całkowita zmiana entropii jest równa zeru.

Zatem posługując się entropią (zgodnie z drugą zasadą termodynamiki) możemy stwierdzić czy dany proces może zachodzić w przyrodzie. Przykład Stosując wzór (17.8) można pokazać, np. że ciepło przepływa z ciała gorącego do zim- nego, a nie odwrotnie. Dwa identyczne ciała o T1 i T2 kontaktujemy termicznie. Po chwili temperatury wynoszą odpowiednio T1 - dT1, T2 + dT2 wskutek przepływu ciepła:

dQ1 = -mcdT1 i dQ2 = mcdT2

17-8

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Ponieważ dQ1 = – dQ2 więc dT1 = – dT2 = dT Zmiana entropii każdego z ciał jest równa

dS1 = – mcdT/T1 i dS2 = mcdT/T2 Wypadkowa zmiana entropii wynosi

dS = mcdT(1/T2 – 1/T1) skąd zmiana temperatury

 

  

 −

= 21

21 dd TT

S mc TTT

dS jest dodatnia więc dT ma taki sam znak jak (T1 – T2). Tak więc jeżeli T1 > T2 to cie- pło przepływa z ciała o T1 do ciała o T2. Przypuśćmy, że ten strumień ciepła dQ1 został użyty do napędzania silnika Carnota pra- cującego pomiędzy T1 i T2. Wówczas zgodnie z wyrażeniem na sprawność

1

21

1d d

T TT

Q W

=

można uzyskać pracę mechaniczną

ST TT

QTW d11dd 2 12

12 = 

  

 −=

Można pokazać całkiem ogólnie, że jeżeli w układziezamkniętym zawierającym ciała o różnych temperaturach następuje wzrost entropii dS to towarzyszy temu strata energii mechanicznej dW równa iloczynowi dS i temperatury najchłodniejszego ciała. Uwaga: możliwe jest lokalne zmniejszenie entropii, kiedy jednak bierze się pod uwagę wszystkie części układu (układ zamknięty) to wypadkowa zmiana entropii będzie równa zeru lub będzie dodatnia.

17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu

17.5.1 Stan równowagi

Stan równowagi układu to taki stan, w którym żaden z parametrów potrzebnych do makroskopowego opisu układu nie zależy od czasu. Dla układu jednorodnego (np. ga- zu) w stanie równowagi wystarcza znajomość dwu podstawowych parametrów stanu np. ciśnienie i objętość. Opis komplikuje się gdy mamy układ niejednorodny np. ciecz w równowadze z parą. Dla danej temperatury stan równowagi tego układu jest możliwy przy różnych objęto- ściach układu (od objętości zależy ilość fazy ciekłej i gazowej). Natomiast temperatura i

17-9

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

ciśnienie przestają być niezależne. W każdej temperaturze równowaga jest możliwa tyl- ko przy określonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyższym istnieje tylko ciecz, przy niższym para. Podobnie ciecz i ciało stałe mogą istnieć w równowadze tylko w tempera- turze topnienia, która jest funkcją ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w rów- nowadze z parą nasyconą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi pokazane na rysunku poniżej. Literą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury top-

nienia z ciśnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zależność dla kilku nietypowych sub- stancji, które przy topnieniu zmniejszają objętość np. lód.

p

T

aa'

b

b'

K

P

I II III

Krzywa b + b' pokazuje zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P nazywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało stałe – para, a odcinek b krzywa równowagi ciecz – para. W punkcie potrójnym mogą istnieć wszyst- kie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ciśnieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16 K (O °C). Krzywa b kończy się w punkcie krytycznym K powyżej którego nie istnieje różnica pomiędzy gazem i cieczą. Dlatego żeby skroplić gaz trzeba obniżyć temperaturę poniżej temperatury krytycznej.

17.5.2 Zjawiska transportu

Dotychczas zajmowaliśmy się właśnie układami w stanie równowagi. Teraz zapo- znamy się z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą gdy układ dąży do takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (trans- portem): • materii • energii • pędu • ładunku elektrycznego Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybliżeniu za pomocą rów- nania różniczkowego, które przedstawia propagację pewnej wielkości fizycznej ϕ mają- cą na celu osiągnięcie równowagi

x

Kj ∂ ∂ϕ

−= (17.8)

gdzie j jest gęstością strumienia wielkości ϕ (gęstość prądu), K jest stałą charakteryzu- jącą daną sytuację fizyczną. Stałą K wiążemy z właściwościami mikroskopowymi rozpa-

17-10

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

trywanego układu statystycznego, z tzw. współczynnikami transportu. Wiążą się one z nośnikami np. cząsteczkami gazu, elektronami w metalu. • Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cząstek w kierunku obszarów o mniejszej kon- centracji n (dążenie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji

gradnD x nDjD −=−= ∂

gdzie jD gęstość strumienia cząstek, n - koncentracja cząstek. Równanie to znane jest pod nazwą prawa Ficka. Współczynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu)

λv 3 1

=D

Przewodnictwo cieplne czyli transport energii, wskutek ruchu cząstek w kierunku obszaru o niższej T (dążenie do wyrównania temperatury). Równanie (prawo Fouriera) ma postać

gradT x TjQ κ∂

∂κ −=−=

gdzie jQ jest gęstością strumienia ciepła, κ jest współczynnikiem przewodnictwa ciepl- nego. Dla rozrzedzonego gazu

λκ Vcnv3 1

=

Lepkość gazu polegająca na przenoszeniu pędu między warstwami gazu o różnych prędkościach (dążenie do wyrównania prędkości).Równanie (prawo Newtona) ma postać

gradu x uj p η∂

∂η −=−=

gdzie u jest prędkością (unoszenia) warstwy. Współczynnik lepkości dla rozrzedzonego gazu wynosi

λη mnv 3 1

=

Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ru- chu elektronów (dążenie do wyrównania potencjałów elektrycznych). Równanie (prawo Ohma) ma postać

17-11

docsity.com

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gradVσ ρ

σ −=== EEj 1

gdzie przewodność elektryczna σ jest dana wyrażeniem

vm nq

m nq λτσ

22

==

Uwaga: wszystkie współczynniki transportu zależą od temperatury (poprzez prędkość średnią, średnią drogę swobodną itd.)

17-12

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome