Kinetyczna teoria gazow i termodynamika II - Notatki - Fizyka, Notatki z Fizyka

Pobierz Kinetyczna teoria gazow i termodynamika II - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity! Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Wykład 17 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II 17.1 Średnia droga swobodna Średnia droga swobodna to inaczej średnia odległość między miejscami kolejnych zderzeń. Zależy od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości. Rozpatrujemy cząstkę kulistą o średnicy d. Zderzenie będzie miało miejsce gdy odle- głość między środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka jest "tarczą" o powierzchni σ = πd2 Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego. W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v "przemiata" objętość walca vtσ. Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to w tym walcu nasza cząstka napo- tka (zderzy się z) nz = vtσn cząstek. Średnia droga swobodna to średnia odległość pomiędzy punktami kolejnych zderzeń. Jest ona równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez licz- bę zderzeń ndnnt t 2 11 πσσ λ === v v (17.1) To równanie wyprowadzono w oparciu o założenie, że cząstka zderza się z nierucho- mymi obiektami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w poruszający się cel. Częstość zderzeń jest większa, a średnia droga swobodna mniejsza nd 22 1 π λ = (17.2) Zwróćmy uwagę, że wtedy w równaniu (17.1) dwie występujące tam prędkości są róż- ne: prędkość w liczniku to prędkość średnia v cząsteczek względem naczynia, a pręd- kość w mianowniku to średnia prędkość względna wzglv w stosunku do innych cząste- czek. Można się przekonać jakościowo, że wzglv > v Np. gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to wzglv = 2v , gdy pod kątem prostym to vv 2=wzgl , a gdy w tę samą stronę to wzglv = 0. Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości otrzymujemy v2=wzglv . Przykład 1 17-1 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Cząstki powietrza w temperaturze 273 K i pod ciśnieniem 1 atm. d = 2·10-8 cm, v = 105 cm/s, n = 3·1019/cm3. Wówczas średnia droga swobodna jest równa 2·10-5 cm (około 1000d). Odpowiednia częstość zderzeń wynosi 5·109/s. 17.2 Rozkład prędkości Maxwella Na poprzednim wykładzie omawialiśmy prędkość średnią kwadratową cząsteczek gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od tem- peratury (cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo prędkości zmieniają się w wyniku zderzeń). Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierające- go N cząsteczek ma postać kT m e kT mNN 22 2 3 2 2 4)( v vv −      = π π (17.3) W równaniu tym N(v)dv jest liczbą cząstek o prędkościach z przedziału od v do v + dv. T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmana, m - masa cząsteczki. Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć dodając (całkując) liczby dla po- szczególnych różniczkowych przedziałów prędkości ∫ ∞ = 0 d)( vvNN Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch różnych temperatur. 0.000 200.000 400.000 600.000 800.000 1000.000 __ _ v v2 vp v (m/s) N (v ) T=300 K T=70 K gdzie -v prędkość średnia, 2v - prędkość średnia kwadratowa, vp – prędkość najbar- dziej prawdopodobna. 17-2 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki 3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T2) i sprężamy gaz izotermicznie do stanu p4, V4, T2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q2. 4) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i sprężamy adiabatycznie do stanu p1, V1, T1 (punkt A). Siły zewnętrzne wykonują pracę i temperatura gazu podnosi się do T1. A B C D Q1 Q2 W T1 T2 V p Wypadkowa praca W wykonana przez układ w czasie pełnego cyklu jest opisana przez powierzchnię zawartą wewnątrz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilość ciepła pobra- na przez układ podczas jednego cyklu wynosi Q1 - Q2. Wypadkowa zmiana energii we- wnętrznej wynosi zero bo stan końcowy pokrywa się z początkowym. Z pierwszej zasa- dy termodynamiki mamy więc W = Q1 – Q2 Sprawność silnika wynosi 1 21 1 21 1 T TT Q QQ Q W − = − ==η (17.5) Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym (maszyna chłodząca). 17.4.3 Druga zasada termodynamiki Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konse- kwencji ta ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstruować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pra- cę? Moglibyśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończo- ne) ilości ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne. Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie ter- modynamiki. Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady 1) Nie można zbudować perpetum mobile drugiego rodzaju. 2) Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wów- czas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego. 17-5 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki 3) Żadna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami T1 i T2 nie mo- że mieć sprawności większej niż (T1 - T2)/T1. 4) W układzie zamkniętym entropia nie może maleć. Rozpatrzmy następujący schemat (pokazany na rysunku poniżej),w którym super silnik o sprawności większej od silnika Carnota napędza ten silnik. Efektem końcowym jest przeniesienie dwóch jednostek ciepła z zimniejszego do cieplejszego zbiornika. T1 (gor¹ cy zbiornik) Q1=4 Q1'=6 Silnik Carnota η =0.5 Super silnik ηS=0.75 W=3 Q2=1 Q2'=3 T2 (zimny zbiornik) 17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur Pokazaliśmy więc, że sprawność silnika Carnota jest równa 1 21 1 21 1 T TT Q QQ Q W − = − ==η Wynika stąd, że T1/T2 = Q1/Q2 Zatem stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciepła można wyznaczyć mierząc przenoszenie ciepła podczas jednego cyklu Carnota. Powyższy wzór stanowi definicję termodynamicznej skali temperatur. 17.4.5 Entropia • Zerowa zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem temperatury • Pierwsza zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem energii wewnętrznej • Druga zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem entropii 17-6 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Im większy jest stan niepo- rządku położeń i prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ bę- dzie w tym stanie. Przykłady sytuacji gdy nieuporządkowanie rośnie bo tracimy część zdolności do klasy- fikacji cząstek. • Rozprężanie swobodne • Przepływ ciepła do wyrównania temperatur Z definicji entropia S układu jest równa S = klnω (17.6) gdzie k - stała Boltzmana, ω - prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów). Zgodnie z definicją prawdopodobieństwa układ częściej będzie w stanie o większym prawdopodobieństwie niż w stanie o mniejszym prawdopodobieństwie. Układ więc "poszukuje" stanów o większym prawdopodobieństwie, a w miarę wzrostu ω rośnie również S. Stąd ∆S ≥ 0 To jest czwarte sformułowanie drugiej zasady termodynamiki. Pokażmy, że pozostałe sformułowania są mu równoważne. ∆S = S2 − S1 = klnω2 − klnω1 ∆S = kln(ω2/ω1) Rozpatrzmy teraz swobodne rozprężanie gazu od objętości V1 do objętości końcowej V2. Względne prawdopodobieństwo znalezienia jednej cząstki w V1 w porównaniu do V2 jest 2 1 .12 1 V V cz =      ω ω Dla N cząstek stosunek prawdopodobieństw N Ncz V V       =      2 1 .2 1 ω ω Otrzymujemy więc ∆S =Nkln(V2/V1) Podzielmy i pomóżmy równanie przez T; otrzymamy wtedy 17-7 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki ciśnienie przestają być niezależne. W każdej temperaturze równowaga jest możliwa tyl- ko przy określonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyższym istnieje tylko ciecz, przy niższym para. Podobnie ciecz i ciało stałe mogą istnieć w równowadze tylko w tempera- turze topnienia, która jest funkcją ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w rów- nowadze z parą nasyconą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi pokazane na rysunku poniżej. Literą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury top- nienia z ciśnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zależność dla kilku nietypowych sub- stancji, które przy topnieniu zmniejszają objętość np. lód. p T aa' b b' K P I II III Krzywa b + b' pokazuje zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P nazywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało stałe – para, a odcinek b krzywa równowagi ciecz – para. W punkcie potrójnym mogą istnieć wszyst- kie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ciśnieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16 K (O °C). Krzywa b kończy się w punkcie krytycznym K powyżej którego nie istnieje różnica pomiędzy gazem i cieczą. Dlatego żeby skroplić gaz trzeba obniżyć temperaturę poniżej temperatury krytycznej. 17.5.2 Zjawiska transportu Dotychczas zajmowaliśmy się właśnie układami w stanie równowagi. Teraz zapo- znamy się z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą gdy układ dąży do takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (trans- portem): • materii • energii • pędu • ładunku elektrycznego Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybliżeniu za pomocą rów- nania różniczkowego, które przedstawia propagację pewnej wielkości fizycznej ϕ mają- cą na celu osiągnięcie równowagi x Kj ∂ ∂ϕ −= (17.8) gdzie j jest gęstością strumienia wielkości ϕ (gęstość prądu), K jest stałą charakteryzu- jącą daną sytuację fizyczną. Stałą K wiążemy z właściwościami mikroskopowymi rozpa- 17-10 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki trywanego układu statystycznego, z tzw. współczynnikami transportu. Wiążą się one z nośnikami np. cząsteczkami gazu, elektronami w metalu. • Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cząstek w kierunku obszarów o mniejszej kon- centracji n (dążenie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji gradnD x nDjD −=−= ∂ ∂ gdzie jD gęstość strumienia cząstek, n - koncentracja cząstek. Równanie to znane jest pod nazwą prawa Ficka. Współczynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu) λv 3 1 =D • Przewodnictwo cieplne czyli transport energii, wskutek ruchu cząstek w kierunku obszaru o niższej T (dążenie do wyrównania temperatury). Równanie (prawo Fouriera) ma postać gradT x TjQ κ∂ ∂κ −=−= gdzie jQ jest gęstością strumienia ciepła, κ jest współczynnikiem przewodnictwa ciepl- nego. Dla rozrzedzonego gazu λκ Vcnv3 1 = • Lepkość gazu polegająca na przenoszeniu pędu między warstwami gazu o różnych prędkościach (dążenie do wyrównania prędkości). Równanie (prawo Newtona) ma postać gradu x uj p η∂ ∂η −=−= gdzie u jest prędkością (unoszenia) warstwy. Współczynnik lepkości dla rozrzedzonego gazu wynosi λη mnv 3 1 = • Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ru- chu elektronów (dążenie do wyrównania potencjałów elektrycznych). Równanie (prawo Ohma) ma postać 17-11 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki gradVσ ρ σ −=== EEj 1 gdzie przewodność elektryczna σ jest dana wyrażeniem vm nq m nq λτσ 22 == Uwaga: wszystkie współczynniki transportu zależą od temperatury (poprzez prędkość średnią, średnią drogę swobodną itd.) 17-12 docsity.com