Obliczanie granic ciągów liczbowych - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Obliczanie granic ciągów liczbowych - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (125.4 KB)
4 strony
611Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: obliczanie granic ciągów liczbowych.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Obliczanie granic ciągów liczbowych Poniżej podamy sposób obliczania typowych granic ciągów liczbowych. Wszystkie rachunki wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus. Przykład 1. Obliczyć granicę

 1235lim 34  

nnn n

Jest to granica z wielomianu; wyciągamy największą potęgę przed nawias:

    

   

 43 434 1235lim1235lim

nnn nnnn

nn

Tak więc, wyrażenie w nawiasie dąży do 5, zaś wyrażenie przed nawiasem dąży do  , czyli    

1235lim 34 nnn n

Przykład 2. Obliczyć granicę

11823 17252lim 24

234

 

 nnn nnnn

n

W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez 4n :

432

432

11823

17252 lim

nnn

nnnn n







Tak więc, wszystkie składniki licznika za wyjątkiem 2 i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli

3 2

11823 17252lim 24

234

  

 nnn nnnn

n

Uwaga. Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia, to granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach wielomianu z licznika i wielomianu z mianownika. Przykład 3. Obliczyć granicę

2823 125lim 24

23

 

 nnn nn

n

W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez 4n :

432

42

2823

125

lim

nnn

nnn n







Tak więc, wszystkie składniki licznika i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli

0 2823

125lim 24 23

  

 nnn nn

n

Uwaga. Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia niższego niż mianownik, to granica jest zawsze równa zero.

Przykład 4. Obliczyć granicę

283 125lim 2

23

 

 nn nn

n

W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez 2n :

2

2

283

125 lim

nn

n n

n 





Tak więc, licznik dąży do  i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli

  

 283 125lim 2

23

nn nn

n

Uwaga. Łatwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia wyższego niż mianownik, to granica jest zawsze równa ze znakiem plus lub minus, który zależy od znaku ilorazu współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.

  

 283 125lim 2

23

nn nn

n 

 

 283 125lim 2

23

nn nn

n 

 

 283 125lim 2

23

nn nn

n

Przykład 5. Obliczyć granicę

43 34lim  

 n

n

n

Licznik i mianownik są funkcjami wykładniczymi, dzielimy każdy składnik przez n3 :

n

n

n

n

3 41

3 3

3 4

lim 

  

  



  

 43 34lim n

n

n

Przykład 6. Obliczyć granicę

 nnnn n

 

22lim

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: 22))(( bababa  , zatem

    n

n n

n

n

n n

n n

n nnnn nnnn

nnn 1111

2lim )11()11(

2limlim 22

22

2 2

2 2

 

 



 

Po skróceniu przez n dostajemy

nn n 1111

2lim 



czyli ostatecznie

  1 11

2lim 22  

 

nnnn n

Sprawdźmy:

Przykład 7. Obliczyć granicę przy x różnym od zera

 

  

 

 

 

  ))(1(

1... )3)(2(

1 )2)(1(

1 )1(

1lim nxnxxxxxxxn

Zauważmy, że

zatem

  

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 nxxnxnxxxxxxx nn 11lim1

1 1...

3 1

2 1

2 1

1 1

1 11lim

Ostatecznie

xnxnxxxxxxxn 1

))(1( 1...

)3)(2( 1

)2)(1( 1

)1( 1lim 

  

 

 

 

 

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome