Podprzestrzenie - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Podprzestrzenie - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (104.7 KB)
1 strona
762Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: podprzestrzenie.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria caªki

Lista 7

Zad 1. Wykaza¢, »e je»eli f ∈ Lpµ(X) dla dostatecznie du»ych p, to limp→∞ ‖f‖p = ‖f‖∞.

Zad 2. Wykaza¢ nierówno±¢ H öldera (1884), tj. dla wykªadników sprz¦»onych 1 ≤ p, q ≤ ∞, czyli takich, »e 1

p + 1

q = 1 zachodzi

‖f · g‖1 ≤ ‖f‖p · ‖g‖q,

gdzie f ∈ Lpµ(X), g ∈ Lqµ(X). Pokaza¢, »e równo±¢ w powy»szym wzorze zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡ staªe α, β takie, »e α|f |p = β|g|q (prawie wsz¦dzie).

Zad 3. Udowodni¢, »e je±li f, g ∈ Lpµ(X) i p ≥ 1, to zachodzi nierówno±¢, zwana nierówno- ±ci¡ Minkowskiego

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Denicja. Zbiór L0µ(X) := {f : X → R : ∫ X fdµ = 0} jest podprzestrzeni¡ liniow¡ ka»dej

z przestrzeni Lpµ(X), p ∈ (0,∞]. Kªadziemy Lpµ(X) := Lpµ(X)/L0µ(X), p ∈ (0,∞].

Zad 4. Pokaza¢, »e przestrze« Lpµ(X)

a) dla p ∈ [1,∞] jest przestrzeni¡ unormowan¡ z norm¡ ‖ · ‖p.

b) dla p ∈ (0, 1) jest przestrzeni¡ metryczn¡ z metryk¡ d(f, g) = ‖f − g‖pp.

Zad 5. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu {fn}n∈N w przestrzeniach Lpµ([0, 1]), p ∈ (0,∞], gdy

a) fn(t) = t n, b) fn(t) = n

2 3 · I[0, 1

n ](t), b) fn(t) =

√ n · I[0, 1

n ](t

4)

Zad 6. Wykaza¢, »e je»eli µ jest miar¡ sko«czon¡ oraz 0 < p ≤ q < ∞, to dla ka»dego f ∈ Lqµ(X) mamy (

1

µ(X)

∫ X

|f |p dx ) 1

p

≤ (

1

µ(X)

∫ X

|f |q dx ) 1

q

.

Zad 7. Udowodni¢, »e je»eli miara µ jest sko«czona, to przestrzenie Lpµ(X) tworz¡ ci¡g zst¦puj¡cy:

L∞µ (X) ⊂ Lqµ(X) ⊂ Lpµ(X), gdzie 0 < p < q ≤ ∞ Pokaza¢ na przykªadzie miary Lebesgue'a na odcinku [0, 1], »e powy»szej inkluzji nie mo»na zast¡pi¢ równo±ci¡.

Zad 8. Przestrzenie Lpµ(N), gdzie µ jest miar¡ licz¡c¡ oznaczamy przez `p. Wykaza¢, »e przestrzenie `p tworz¡ ci¡g wst¦puj¡cy:

`p ⊂ `q ⊂ `∞, gdzie 0 < p < q ≤ ∞.

Pokaza¢, »e powy»szej inkluzji nie mo»na zast¡pi¢ równo±ci¡.

Zad 9. Udowodni¢, »e je»eli ci¡g {fn}n∈N jest zbie»ny do f w przestrzeni Lpµ(X), p ∈ (0,∞], to ci¡g {fn}n∈N jest zbie»ny do fwedªug miary µ. Pokaza¢ na przykªadzie, »e implikacja odwrotna nie zachodzi.

Zad 10. Niech p, q ∈ (0,∞]. Pokaza¢, »e je»eli ci¡g {fn}n∈N zbiega do f w przestrzeni Lpµ(X) oraz do g w przestrzeni L

p µ(X), to f = g prawie wsz¦dzie.

Zad 11. Poda¢ przykªad ci¡gu {fn}n∈N w Lpµ([0, 1]), p ∈ (0,∞] zbie»nego punktowo do zera, ale rozbie»nego w przestrzeni Lpµ([0, 1])

Zad 12. Poda¢ przykªad ci¡gu {fn}n∈N w Lpµ([0, 1]), p ∈ (0,∞] zbie»nego do zera w prze- strzeni Lpµ([0, 1]) oraz rozbie»nego punktowo (prawie wsz¦dzie).

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome