Zbiory miary zero, miara Cantora - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Zbiory miary zero, miara Cantora - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (94.3 KB)
1 strona
846Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: zbiory miary zero, miara Cantora.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria miary

Lista 6 (zbiory miary zero, miara Cantora)

Zad 1. Pokaza¢, »e je»eli zbiory A,B ⊂ [0, 1] s¡ takie, »em(A)+m(B) > 1, to A∩B 6= ∅

Zad 2. Wykaza¢, »e dla ka»dego mierzalnego w sensie Lebesgue'a zbioru E i ka»dej liczby a ∈ [0,m(E)] istnieje mierzalny w sensie Lebesgue'a zbiór A ⊂ E taki, »e m(A) = a .

Zad 3. Udowodni¢, »e je»eli zbiór A ⊂ Rk nie jest miary zero, to dla ka»dej liczby dodatniej c < 1 istnieje przedziaª P ⊂ Rk taki, »e m(A ∩ P ) > c ·m(P ).

Zad 4. Wykaza¢, »e C+C = [0, 2], gdzie C jest zbiorem Cantora. Wyci¡gn¡¢ st¡d wniosek, »e suma lagebraiczna dwóch zbiorów miary zero nie musi zbiorem miary zero.

Zad 5. Pokaza¢, »e zbiór wszystkich liczb w rozwini¦ciu dwójkowym postaci 0, c1, c2, ...(2), gdzie cn = 0 przy ka»dym n nieparzystym, jest miary zero.

Zad 6. Niech A b¦dzie zbiorem wszystkich liczb przedziaªu [0, 1] maj¡cych rozwini¦cie dwójkowe, w którym cyfra 0 nie wyst¦puje dwa razy. Dokªadniej

A = {0, c1, c2, ...(2) : cn = 1 lub cn+1 = 1 dla ka»dego n ∈ N}.

Wykaza¢, »e zbiór A jest miary zero.

Zad 7. Niech f : [0, 1] → R+ b¦dzie funkcja, która na ka»dym przedziale usuni¦tym o dªugo±ci 1

3n przyjmuje warto±¢ n, a na zbiorze Cantora C okre±lona jest dowolnie.

wykaza¢, »e zbiór

A = {(x, y) : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ f(x)} ⊂ R2

jest mierzalny oraz znale¹¢ jego miar¦.

Zad 8. Niech f : C → [0, 1] b¦dzie tak zwan¡ funkcj¡ Cantora:

f

( ∞∑

n=1

2in 3n

) = ∞∑

n=1

in 2n , in ∈ {0, 1}.

Pokaza¢, »e funkcja f jest ci¡gªa, niemalej¡ca, poza przeliczalnym zbiorem punktów ró»nowarto±ciowa i nigdzie nie ró»niczkowalna, a ponadto jednoznacznie przedªu»a si¦ do niemalej¡cej funkcji F : [0, 1]→ [0, 1], która jest ci¡gªa, i prawie wsz¦dzie ró»niczkowalna.

Zad 9. Niech F : R→ [0, 1] b¦dzie przedªu»eniem funkcji z powy»szego zadania takim, »e F (x) = 0, dla x < 0 i F (x) = 1 dla x > 1. Uzasadni¢, »e wzór

µF ([a, b)) = F (b)− F (a)

zadaje na R miar¦, której no±nikiem jest zbiór Cantora oraz obliczy¢ µF ([15 , 1 4 ]).

Zad 10. Opisa¢ miar¦, której dystrybuant¡ jest skokowa funkcja Heaviside'a

H(x) =

{ 0 x ≤ 0 1 x > 0

.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome