Macierze - Notatki - Matematyka - Część 2, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin
bobby_m
bobby_m8 March 2013

Macierze - Notatki - Matematyka - Część 2, Notatki'z Matematyka. Maria Curie-Sklodowska University in Lublin

PDF (587.5 KB)
8 strona
781Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu matematyki: macierze.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 8
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

7

3

1 7

33

7

3 1 7

33

100

010

001

3

2

1

    

  

x

x

x

Matematyka ćwiczenia.

Przykład: Oblicz wskaźnik macierzy IV stopnia

   

   

0321

1205

1130

4123

A

Wszystkie kolumny i rzędy mają taką sama ilość zer. Możemy więc wybrać dowolny element od którego

rozpoczniemy obliczenia. Rozpoczniemy od zera z 3 rządu , 2 kolumny. Rząd 3, kolumna 2 zostają więc

wyeliminowany z obliczeń.

   

   

0321

1205

1130

4123

A

   

   

0321

1205

1130

4123

   

   

0321

1205

1130

4123

     

  683613228- (-18)2 443 142-

-18 W 44 W 14 W

110

413

125

110

413

12

125

413

031

125

413

13

125

110

031

125

110

12 242221





 

Przykład: Obliczyć macierz odwrotna metodą dopełnień.

  

  

241

230

121

A

1) Obliczamy wskaźnik macierzy:

3129

8346

230

121

241

230

121





 

 

  

  

W

A

docsity.com

2) Obliczamy macierz dopełnień.

Krok 1

A=

  

  

 241

230

121

A=

  

  

 241

230

121

A=

  

  

 241

230

121

     

     

     

 

 



41

30 1

21

20 1

24

23 1

312111

DA

Krok 2)

A=

  

  

 241

230

121

A=

  

  

 241

230

121

A=

  

  

 241

230

121

     

     

       

       

 

 

 

 

 



41

21 1

21

11 1

24

12 1

41

30 1

21

20 1

24

23 1

322212

312111

DA

Krok 3)

A=

  

  

 241

230

121

A=

  

  

 241

230

121

A=

  

  

 241

230

121

     

     

             

       



 

 

 

 







30

21 1

20

11 1

23

12 1

41

21 1

21

11 1

24

12 1

41

30 1

21

20 1

24

23 1

332313

322212

312111

DA

Krok 4) Obliczamy wskaźniki w macierzy dopełnień:

docsity.com

     

     

     

                     

                     









 



 





 



 











3

03

30

21 1

2

02

20

11 1

1

34

23

12 1

6

24

41

21 1

3

12

21

11 1

0

44

24

12 1

3

30

41

30 1

2

20

21

20 1

2

86

24

23 1

332313

322212

312111

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

AD

Krok 5) Obliczamy elementy macierzy dopełnień według wzoru:   WA nij  1

                   

       

    

  



  

  







  

  







321

630

322

312111

613101

312121

312111

613101

312121

654

543

432

DA

3) Transponujemy macierz dopełnień:

.     

  



   

  

  

  



363

232

102

321

630

322 T

TDA

4) Obliczamy macierz odwrotną:

W

A A

T

1

     

     



     

     





 



  

  



 

121 3

2 1

3

2 3

1 0

3

2

3

3

3

6

3

3 3

2

3

3

3

2 3

1 0

3

2

3

363

232

102 1AWAT

5) Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń.

Wykorzystujemy zależność:

Macierz pomnożona przez macierz odwrotną daje w wyniku macierz jednostkową.

IAA 1

     

     





121 3

2 1

3

2 3

1 0

3

2

1A

  

  

241

230

121

A

docsity.com

 

       

            

  

  

     

     







      

      





 

  

 

  

 

  

 

  

  

     

     



100

010

001

24146211 3

4 2

3

2

3

8 3

3

4

3

2

3

2 3

2

3

2

3

4

3

4

3

1

3

2

212211413221110211

2 3

2 211

3

2 4

3

2 312

3

2 1

3

2 011

3

2

2 3

1 201

3

2 4

3

1 302

3

2 1

3

1 001

3

2

241

230

121

121 3

2 1

3

2 3

1 0

3

2

Mnożenie IAA 1 sprawdziło się. Obliczenie macierzy pierwotnej zostało przeprowadzone poprawnie.

Przeprowadzimy to samo obliczenie wykorzystując metodę przekształceń elementarnych.

100

010

001

241

230

121

  

  

  

  

A

Polega ona na tym, że do macierzy dopisujemy jej postać jednostkową a następnie obie macierze poddajemy

kolejnym przekształceniom ich elementów tak, aby postać macierzy sprowadzić do postaci macierzy

jednostkowej. Po takich przekształceniach dopisana na początku macierz jednostkowa będzie miała postać

poszukiwanej macierzy pierwotnej.

Przekształcenie – 1

Pierwszy i drugi wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero

100

010

001

241-

230

121

  

  

  

  

A

Aby zamiast elementu a 31 = -1 otrzymać 0 należy do wiersz 3 dodać wiersz 1.

313100

010

001

241

230

121

www   

  

  

  

 ok.!

  

  

  

  

101

010

001

360

230

121

docsity.com

Przekształcenie – 2

Aby zamiast elementu a 22 = 3 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez 3

3

w2 w2

101

010

001

360

230

121

  

  

  

  

A ok.!

  

  

  

  

101

0 3

1 0

001

360 3

2 10

121

Przekształcenie – 3

Aby zamiast elementu a 12 = 2 otrzymać 1 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-2) i dodać do wiersza 1.

  1221

101

0 3

1 0

001

360 3

2 10

121 www 

  

  

  

  

 ok.!

     

     

 

     

     

 

101

0 3

1 0

0 3

2 1

360 3

2 10

3

1 01

Przekształcenie – 4

Aby zamiast elementu a 31 = -1 otrzymać 0 należy pomnożyć przez (-6) i dodać do wiersza 3.

32)6(3101

0 3

1 0

0 3

2 1

360 3

2 10

3

1 01

www 

     

     

 

     

     

 

 ok.!

     

     

     

     

121

0 3

1 0

0 3

2 1

100 3

2 10

3

1 01

Przekształcenie – 5

Aby zamiast elementu a 33 = -1 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-1)

docsity.com

3)1(3121

0 3

1 0

0 3

2 1

100 3

2 10

3

1 01

ww 

     

     

     

     

 ok.!

     

     



     

     

 

121

0 3

1 0

0 3

2 1

100 3

2 10

3

1 01

Przekształcenie – 6

Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1

13 3

1 1

121

0 3

1 0

0 3

2 1

100 3

2 10

3

1 01 www 

  

 

     

     



     

     

 

 ok.!

     

     



  

  

121

0 3

1 0

3

1 0

3

2

100 3

2 10

001

Przekształcenie – 7

Aby zamiast elementu a 23 = 2/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-2/3) i dodać do w2

23 3

2 2

121

0 3

1 0

3

1 0

3

2

100 3

2 10

001

www  

  

 

     

     



  

  

 ok.!

     

     



  

  

121 3

2 1

3

2 3

1 0

3

2

100

010

001

Przykład: Rozwiązać układ równań.

 

 



8

2

4

2512

31

32216

xx

xx

xxx

.

Tworzymy macierz współczynników i macierz wartości:

docsity.com

  

  

052

101

126

A

  

  

8

2

4

W

Obliczamy metodą przekształceń elementarnych.

  

  

8

2

4

052

101

126



    

    

  

  

w2(-1)w1w2

8

2 6

4

052

101 6

1

6

2 1

6:

8

2

4

052

101

126

      

     



w3(-2)w1w3

8 6

8 6

4

052 6

5

3

1 0

6

1

6

2 1

(-3)w2w2

3

20 3

4 3

2

3

1

3

13 0

6

5

3

1 0

6

1

3

1 1



     

     



 

  

 

     

    



12 3

1 1

3

20 4-

3

2

3

1

3

13 0

2

5 10

6

1

3

1 1

www

 

  

 

     

   

 

32 3

13 w3

3

20 4-

2

3

1

3

13 0

2

5 10

101

ww

 

  

 

     

  

3 21

2 w3

24

4-

2

2

21 00

2

5 10

101

w

 

  

 

    

   

 23 2

5 2

7

16 4-

2

100 2

5 10

101

www

docsity.com



     

     

w1w3w1

7

16 7

12 2

100

010

101

7

16 3

7

12 2

7

2 1

7

16 7

12 7

2

100

010

001





     

     

x

x

x

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome