Zadanie programowania matematycznego - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania operacyjne. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Zadanie programowania matematycznego - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania operacyjne. University of Szczecin

PDF (317.1 KB)
2 strony
741Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące badań operacyjnych: zadanie programowania matematycznego; pojęcia.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Zadanie1 programowania matematycznego

Ogólna postać zadania programowania matematycznego jest następująca:

funkcja celu: (max lub min) z = f(x) (1.5)

ograniczenia: gi(x) <= 0 (i=1,2,...,m) (1.6)

x n jest wektorem zmiennych decyzyjnych. Funkcja f nosi nazwę

funkcji celu lub funkcji kryterium. Funkcje gi(x) nazywa się funkcjami ograniczeń

(warunki ograniczające, ograniczenia).

Dowolne rozwiązanie x n spełniające układ równań i nierówności (1.6) nosi nazwę

rozwiązania dopuszczalnego. Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych, będziemy oznaczać przez X. Jeżeli zbiór rozwiązań dopu

zadanie (1.6) nazywa się sprzecznym.

DEFINICJA: Rozwiązanie xo rozwiązaniem optymalnym zadania programowania matematycznego (1.5-6), jeżeli dla dowolnego x

warunek:

(minimalizacja funkcji celu) f(xo x) (1.7a)

(maksymalizacja funkcji celu) f(xo)≥f(x) (1.7b)

W przypadku gdy zadanie (1.5-6) nie jest sprzeczne i przy tym nie istnieje xo spełniające warunek (1.7a-b), to mówimy że zadanie nie ma skończonego rozwiązania optymalnego. Zadanie może mieć również więcej niż jedno rozwiązanie optymalne,

jeżeli warunek (1.7a-b) spełniony jest dla więcej niż jednego xo

TWIERDZENIE: Dla dowolnej funkcji z = f(x) spełnione są równości

(min) f(x) = - (max) [-f(x)]

(max) f(x) = - (min) [-f(x)] (1.8)

Zadanie programowania liniowego

Wprowadzenie

Jeżeli w zadaniu (1.5-6) funkcja celu oraz warunki ograniczające są liniowe, to zadanie takie nazywamy zadaniem programowania liniowego. Postać ogólna zadania programowania liniowego jest zatem następująca:

funkcja celu: (min albo max) z=cTx

ograniczenia: Ax b

x  0

wartość funkcji celu

c n współczynniki kosztu funkcji celu

x n zmienne decyzyjne

b m wektor wyrazów wolnych

A - macierz m x n współczynniki technologiczne

Każdy liniowy model decyzyjny odwzorowujący określoną sytuację decyzyjną zawiera się w ogólnej postaci zadania programowania liniowego. Postać ta nie jest wygodna do

określenia różnych własności zadań. Z tego powodu sformułowana zostanie inna postać

zadania programowania liniowego.

Zadaniem programowania liniowego o postaci standardowej2 nazywamy zadanie:

funkcja celu3: (min) z=cTx (F1)

1 M.Siudak - zadanie, S.I.Gass - zagadnienie; spotykany też termin - problem 2 M.Siudak podaje jeszcze jedną postać – postać kanoniczną

docsity.com

ograniczenia: Ax = b (b 0

x 0 (W2)

 Istnieje jeszcze jedno ważne założenie, że m<n (Gass)4

Zadanie o postaci ogólnej można przekształcić do zadania o postaci standardowej w

następujący sposób:  zamiana rodzaju ekstremum - zadanie na minimum (maksimum) można

przekształcić w zadanie na maksimum (minimum) zmieniając funkcję celu na przeciwną (mnożąc ją przez -1)

 zamiana zmiennych decyzyjnych dowolnych co do znaku na zmienne nieujemne.

Jeżeli x jest zmienną dowolną co do znaku, to podstawiając: x=x+-x-, gdzie x+=max{0,x}, x-=max{0,-x}, otrzymujemy przedstawienie tej zmiennej za

pomocą nieujemnych zmiennych x+ i x-  zamiana nierówności na równość: aTx Tx można zastąpić odpowiednio: aTx+xd=b

lub aTx-xd=b.

Nowo wprowadzona zmienna xd nosi nazwę zmiennej dodatkowej (osłabiającej).Zmienne te nie występują w funkcji celu.

PRZYKŁAD:

Postać wyjściowa:

funkcja celu: (max) z=2x1-x2+5x3-2x4

ograniczenia: x1+x2+2x3+5x4<=-20

2x1-x2-x4>=15

3x2+x3-2x4=14

x1,x3,x4>=0, x2 dowolne

Postać standardowa:

funkcja celu: (min) z’=-2x1+(x2 +-x2

-)-5x3+2x4

ograniczenia: -x1-(x2 +-x2

-)-2x3-5x4-x5=20

2x1-(x2 +-x2

-)-x4-x6=15

3(x2 +-x2

-)+x3-2x4=14

x1,x2 +,x2

-,x3,x4,x5,x6>=0  PYTANIA:

Czym się różni zadanie programowania liniowego od zadania programowania matematycznego ? Czym się różni postać standardowa zadania programowania liniowego od jego postaci

ogólnej ? Czy zmienne osłabiające występują w funkcji celu ?

Czy zmienne decyzyjne lub osłabiające mogą być ujemne ?

3 M.Siudak - max, S.I.Gass - min 4 układy w których ilość niewiadomych jest większa niż ilość równań (m<n) nazywa się układami nieoznaczonymi i albo nie

mają rozwiązania albo mają ich nieskończenie wiele – takimi układami zajmuje się programowanie liniowe

Komentarz [TŁ1]:

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome