Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, operatory ograniczone - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Teoria operatorów. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, operatory ograniczone - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Teoria operatorów. University of Bialystok

PDF (169.4 KB)
2 strony
940Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii operatorów: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, operatory ograniczone.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Teoria operatorów nieograniczonych

Lista 2 (twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, przykªady operatorów ograniczonych)

Zad 1 (Zasada jednostajnej ograniczono±ci). Podzbiór T ⊂ H przestrzeni Hilberta H nazywamy sªabo ograniczonym, je»eli

∀h∈H ∃β(h)>0 |(g|h)| ≤ β(h) dla ka»dego g ∈ T.

Innymi sªowy, oznaczaj¡c przez fg : H → C funkcjonaªy fg(h) := (g|h) odpowiadaj¡ce elementom g ∈ T , zbiór T jest sªabo ograniczony je±li zbiór funkcjonaªów {fg : g ∈ T} jest ograniczony punktowo.

i) Pokaza¢, »e zbiór T jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy funkcjonaªy ograniczone fg : H → C odpowiadaj¡ce elementom g ∈ T s¡ jednostajnie ograniczone, tzn.

∃β>0∀h∈H |(g|h)| ≤ β‖h‖ dla ka»dego g ∈ T.

ii) Pokaza¢, »e je»eli dim(H) < ∞, to zbiór T jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest sªabo ograniczony

iii) Niech dim(H) = ∞. Wykaza¢, »e przy zaªo»eniu, i» zbiór T jest sªabo ograniczony ale nie jest ograniczony, istnieje ci¡g unormowanych wektrorów {en}∞n=1 ⊂ H i ci¡g wektorów {gn}∞n=1 ⊂ T takich, »e en+1 jest ortogonalny do wektorów e1, ..., en, g1, ..., gn oraz

|(gn+1|en+1)| ≥ (n+ 1)

( ∞∑ k=1

β(ek)

k + n+ 1

)

iv) Przy oznaczeniach z iii) policzy¢ |(f |gn+1)| dla f = ∑∞

k=1 β(ek) k

i wysnu¢ st¡d wniosek, »e (w ka»dej przestrzeni Hilberta) zbiór T jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest sªabo ograniczony

Zad 2. Niech A ∈ B(H). Pokaza¢, »e nastepuj¡ce warunki s¡ równowa»ne

i) A jest odwracalny,

ii) A∗ jest odwracalny,

iii) obraz ImA operatora A jest g¦sty w H oraz A jest operatorem ograniczonym z doªu. (Wskazówka: zauwa»y¢, »e kerA∗ = (ImA)⊥)

Zad 3 (Twierdzenie o operatorze odwrotnym). Niech A ∈ B(H).

i) Niech kerA = {0}. Pokaza¢, »e A jest ograniczony z doªu wtedy i tylko wtedy, gdy ograni- czony jest zbiór

T = {h ∈ H : ‖Ah‖ = 1}.

ii) Niech ImA∗ = H. Pokaza¢, »e zbiór T = {h ∈ H : ‖Ah‖ = 1} jest sªabo ograniczony i st¡d oraz zasady jednostajnej ograniczono±ci wysnu¢ wniosek, »e operator A jest ograniczony z doªu.

iii) Pokaza¢, »e operator A jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie A : H → H jest odwracalne.

docsity.com

Zad 4 (Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym).

i) Pokaza¢, »e je»eli P ∈ B(H) jest rzutem ortogonalnym na podprzestrze« K ⊂ H, to odwo- zorowanie P : H → K jest odwzorowaniem otwartym.

ii) Udowodni¢, »e operator A ∈ B(H) b¦d¡cy odwzorowaniem surjektywnym jest odwzorowa- niem otwartym.

Zad 5. Pokaza¢, »e macierz niesko«czona [aij] ∞ i,j=1 taka, »e

∞∑ i=1

∞∑ j=1

|aij|2 <∞ (1)

deniuje operator ograniczony a : `2 → `2 standarodwym wzorem, tzn. a(x1, x2, ....) = (y1, y2, ...), gdzie  a11 a12 . . .a21 a22 . . .

... ...

. . .

  x1x2

...

 =  y1y2

...

 . Pokaza¢, »e ka»dy operator a ∈ B(`2) jest zadany w powy»szy sposób, dla pewnej macierzy, niekoniecznie speªniaj¡cej (1). Jak wygl¡da macierz odpowiadaj¡ca operatorowi sprz¦»onemu?

Zad 6. Pokaza¢, »e widmo operatora a : CN → CN pokrywa si¦ ze zbiorem warto±ci wªasnych macierzy odpowiadaj¡cej a.

Zad 7. Niech K ∈ L2([a, b] × [a, b]). Udowodni¢, »e operator a : L2[a, b] → L2[a, b] zdeniowany wzorem

(ax)(s) =

∫ b a

K(s, t)x(t)dt

jest operatorem ograniczonym. Wyznaczy¢ operator do niego sprz¦»ony.

Zad 8. Niech H = L2[a, b] i niech a(t) b¦dzie funkcj¡ zespolon¡ ci¡gª¡ na odcinku [a, b]. Pokaza¢, »e operator A : H → H mno»enia przez funkcj¦ a(t), tj. operator dany wzorem

(Af)(t) = a(t)f(t), f ∈ H,

jest ograniczony.

a) Wyznaczy¢ norm¦ oraz operator do sprz¦»ony do A.

b) Pokaza¢, »e A jest operatorem normalnym. Kiedy A jest operatorem samosprz¦»onym, kiedy unitarnym, a kiedy operatorem rzutowym?

c) Kiedy operator A jest odwracalny? Wyznaczy¢ widmo SpA operatora A.

Zad 9. Niech H = `2 i niech a = (a(1), a(2), ...) b¦dzie ograniczonym ci¡giem o wyrazach zespo- lonych. Pokaza¢, »e operator A : H → H mno»enia przez ci¡g a, tj. operator dany wzorem

(Ax)(n) = a(n)x(n), x ∈ H, n = 1, 2, ...

jest ograniczony.

a) Wyznaczy¢ norm¦ oraz operator do sprz¦»ony do A.

b) Pokaza¢, »e A jest operatorem normalnym. Kiedy A jest operatorem samosprz¦»onym, kiedy unitarnym, a kiedy operatorem rzutowym?

c) Kiedy operator A jest odwracalny? Wyznaczy¢ widmo SpA operatora A.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome