Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Część 2, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8425 March 2013

Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Część 2, Notatki'z Analiza matematyczna. Warsaw School of Economics

PDF (395.9 KB)
12 strona
501Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach przedstawiane zostają zagadnienia z analizy matematycznej: całki funkcji elementarnych. Część 2.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 13/32

Kilka przykładów do pokazania, co mam na myśli:

2 y=5 x6

obustronnie różniczkując (licząc pochodne):

2 y ' dy=5 x6 ' dx

2 dy=30 x5 dx

Albo taki przykład:

t 2=sin x

więc znów obustronnie różniczkując:

2t dt=cos x dx

To, co zaznaczyłem tymi elipsami – to po prostu pochodne tego, co tam na górze siedzi, dla niepoznaki dopisaliśmy te dt i dx (bo tak mi się podoba).

Pytanie brzmi – po cholerę to wszystko? Kurwa, pacan jedzie z jebanymi całkami, za szybko, a tu jeszcze pierdoli mi o jakimś obustronnym różniczkowaniu?

Po odstresowaniu się powyższymi epitetami, popatrzmy na kilka prostszych przykładów, potem jeden z dłuższym tłumaczeniem, a potem zobaczymy, jak ładnie idzie mi przepisywanie z tajnych zeszytów.

* ∫sin 2x dx

Byłoby strasznie miło, gdyby pod sinusem siedziała pojedyncza zmienna, bez żadnych udziwnień... A tak w ramach eksperymentów – podstawimy sobie za 2x jakąś pojedynczą literkę:

t=2 x

Co „prawie” da nam takie coś:

∫sin t dx

Jest jednak pewien problem. Jak napisałem (i jak sam to intuicyjnie rozumiem, chociaż tak naprawdę jest to zupełnie co innego) to dx to taki „wskaźnik”, wichajster, który pokazuje nam „która zmienna jest tą do rżnięcia”. Zauważmy, że gdy użyjemy takiego podstawienia, to mamy zupełnie inną zmienną w sinusie, a zupełnie inną mamy (ponieważ mamy dx ) całkować.

Jest na to rozwiązanie, mianowicie, przy podstawianiu wykonujemy również drugą czynność: obustronnie różniczkujemy.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 14/32

Jeżeli wykombinowaliśmy se takie podstawienie:

t=2 x

to obustronnie różniczkując:

t ' dt=2 x' dx czyli:

dt=2dx *

I tu właściwie koniec zabawy – mamy czym zastąpić to nieszczęsne dx, co więcej, automagicznie powstanie nam dt, czyli teraz ten „wskaźnik”, pokazujący nam, którą zmienną całkujemy, pokaże

na dobrą zmienną – tą, która będzie występować przy całce.

∫sin t dx

By w pełni zastąpić dx tym magicznym dt, to brakuje nam dwójki. Dopiszmy se – ale wiemy, że nie możemy zmienić wartości wyrażenia, więc będzie takie cudo:

∫ 12 2 sin t dx

Jedna-druga - wypierdalać:

∫ 12 2sin t dx= 1 2∫ 2sin t dx

I zauważmy, że:

1 2∫ 2sin t dx

To, co zaznaczyłem takim „mostkiem”, znamy – zaznaczyłem to gwiazdką kilka linijek wyżej: dt=2dx

Więc bez zbędnego pieprzenia podstawmy to: 1 2∫ 2sin t dx=

1 2∫ sin t dt

Tutaj już wyliczenie całki z sinusa będzie łatwe – doskonale wiemy, że będzie to minus cosinus: 1 2∫sin t dt=

1 2 −cos tC

W ostatnim kroku – jak dostaliśmy przykład z iksami, to ładnie byłoby podać odpowiedź z iksami, innymi słowy mówiąc: ponownie „odpodstawić” t :

1 2 −cos t C=1

2 −cos2xC

Względy estetyczne – ten minus – to już wasza działka.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 15/32

**

e 1 2 x dx

Znów – wygodnie by było, gdyby w wykładniku „siedziała” jakaś pojedyncza literka. Więc użyjemy takiego podstawienia:

t=1 2

x

Obustronnie różniczkując, wyjdzie takie zwierzątko:

dt=1 2

dx

Widzimy, że aby pozbyć się dx, to potrzebna jest nam ½ w całce. Dopiszemy ją sobie, ale niczym emo – popełnimy samobójstwo tak, żeby broń Boże nie wyszło:

e 1 2 x dx=∫ 2∗12 e

1 2 x dx

Dwójka pójdzie przed całkę i od razu podstawimy (w miejsce ½ x pójdzie literka t, a w miejsce ½ dx pójdzie dt, zgodnie z tym, co wypisaliśmy sobie w podstawianiu):

∫ 2∗12 e 1 2 x dx=2∫ et dt

A wyliczenie całki nie powinno być już problemem:

2∫e t dt=2 e tC

I „odpodstawiając”, dochodzimy do końcowego wyniku:

2 e tC=2∗e 1 2 xC

*** Pamiętacie wzór na pochodną logarytmiczną z poprzedniego rozdziału? Przypomnę dwa

wzorki:

[ ln f x] '= f ' xf x ; ∫

f ' xf x

dx=ln | f x |C

Sprawdzimy eksperymentalnie, czy mamy rację, licząc taką całkę:

∫ 3 x 25

x35 x dx

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 16/32

Dla przejrzystości zapisu – dx walniemy w licznik tak, jakby to była jakaś normalna zmienna:

∫ 3 x 25dx

x35 x

Użyjemy takie podstawienia:

t=x35 x

Przez co, obustronnie różniczkując:

dt=3 x25dx

Jak widzimy, przy pomocy samej literki t pozbędziemy się szkaradnego mianownika, a po obustronnym zróżniczkowaniu – również licznik pójdzie w cholerę:

∫ 3 x 25dx

x35 x =∫ 1t dt

I teraz wyliczenie całki (po prostu, zerżnięcie wzorku z tablic):

∫ 1t dt=ln | t |C

„Odpodstawiając” (ponownie przywracając x w rozwiązaniu):

ln | t |C=ln | x35 x |C

Wsio, kolejny przykład rozwiązany, a jednocześnie, doświadczalnie pokazaliśmy sobie, że wzory na pochodną logarytmiczną działają.

Poniżej zaczynają się już przykłady, przy których jeszcze szybciej zaczniemy liczyć.

Poniższy przykład będzie wyjaśniony dosyć dokładnie, bo miał być pierwszym w tym rozdziale. Po wnikliwych crash-testach na sobie uznałem jednak, że jest za ciężki, by go od razu podawać. Mam nadzieję, że wybaczycie dodatkowe komentarze w tym zadaniu, ale wolę 10 razy napisać to samo, niż napisać raz, a potem liczyć, że poszukamy tego w gugle.

Przykład a) [jak np. Aleksandrów]

∫3x21x3 dx

Ło Jezu przenajświętszy, co tutaj się porobiło? Jakiś pierwiastek, i do tego jeszcze wszędzie iksy się porozpieprzały.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 17/32

Zauważmy, że całkowanie przez części byłoby dosyć niewygodne – nie potrafimy policzyć tak „na czysto” całki z pierwiastka, a pochodna byłaby bardzo nieprzyjemna.

Ale zauważmy, że byłoby miło, gdyby pod pierwiastkiem występował czysty iks. Wtedy dosyć łatwo obliczymy całkę, dla przypomnienia:

∫ x dx=∫ x 1 2 dx= x

3 2

3 2

=2 x 3 2

3 C

Hmmm... a gdyby to, co jest pod pierwiastkiem, zastąpić jakąś pojedynczą literką? Chuj nas na razie obchodzi, czy dobrze, czy źle, ale przykład trzeba sobie ułatwić, może coś drgnie.

Zastosujemy takie podstawienie:

u=1 x3

Po prostu ułatwimy sobie życie pod pierwiastkem. Wstawmy to, co wykombinowaliśmy powyżej.

∫3 x21x3 dx =takie trochę udawane ∫3 x 2udx

Hmm... mamy jednak pewien mały problem, który podkreśliłem. Możecie uznać, że to, co zrobiłem, jest trochę bez sensu... ba, wszystko tutaj jest bez sensu. Przede wszystkim – siedzi nam w całce x2 . To jednak i tak mniejsze zło, bo mieszając z tym wzorkiem u góry, dałoby się je zastąpić. Największym utrapieniem jest to dx .

Zauważmy, że tutaj:

∫3 x2u dx

Mamy zupełnie inną literkę pod pierwiastkiem, a zupełnie inna literka jest w dx . Obrazowo – załóżmy, że literka u to pomarańcza, a dx – piekarnik elektryczny – no ni chuja nie da się wycisnąć soku, albo już bardziej matematycznie – mając dwie zupełnie różne zmienne pod całką.

Właściwie, to można, ale na pewno nie w tym czasie, nie w tym miejscu i nie w takiej pojedynczej całce.

Okej, jakoś musimy ten galimatias uporządkować. Szukamy czegoś, co pozwoliłoby się pozbyć tego dx.

Przepiszmy raz jeszcze podstawienie, którego użyliśmy:

u=1 x3

i zróżniczkujmy obydwie strony (praktycznie, kluczowy moment w całkowaniu przed podstawienie, bo od razu wiemy, czy wyjdzie nam coś interesującego):

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 18/32

u' du=1 x3 ' dx

Czyli:

du=3 x2 dx

Wracając do całki...

∫3 x2u dx

Strzałkami narysowałem, co powinno się wydarzyć – nie dość, że za jednym razem pozbywamy się tego pieprzonego iksa, to jeszcze dx nam zwieje:

∫3 x2u dx=∫u du

I mamy sukces, proszę państwa. Nareszcie mamy pasującą literkę w du (załóżmy, że tutaj już się pojawiła prawdziwa wyciskarka do soków), a scałkowanie tego zawodnika, to tylko proste rachunki (spójrzcie na początek poprzedniej strony):

∫u du=∫ u 1 2 du=2u

3 2

3 C

Ale to nie wszystko, bo jak nam przykład dali z iksami, to i dobrze byłoby odpowiedzieć w iksach (wiedząc, że u=1 x3 ):

2u 3 2

3 C=21x

3 3 2

3 C

I wsio, przykład rozwalony.

Tylko techniczna uwaga. Powinno się podstawiać jakąś zmienną równocześnie ze zmianą różniczki (czyli jednocześnie podstawiamy coś za x i jednocześnie zmieniamy dx).

Przykład b) [jak np. Biskupice]

Rozwalimy sobie takiego zawodnika:

∫ 5−3 x 10 dx

Zdecydowanie lepiej by to wyglądało, gdyby pod potęgą była jakaś pojedyncza zmienna. Zrobimy więc tak:

t=5−3 x *

Ale musimy się pozbyć dx i niejako „pokazywać”, że bierzemy pod uwagę zmienną t (potrzebujemy dt), więc obustronnie zróżniczkujmy:

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 19/32

dt=−3 dx **

By w jakikolwiek działać, potrzebujemy jak zwykle coś sobie w całce dopisać:

∫−13 ∗−3∗5−3 x 10 dx

To co zaznaczyłem taką „nerką”, zamieniamy na dt (zgodnie z tym, co przed sekundą wyliczyliśmy – podwójna gwiazdka), to co jest w nawiasie – zamieniamy na t (zgodnie z podstawieniem, którego użyliśmy – gwiazdka):

∫−13 ∗t 10 dt

Pozwólcie, że tę całkę wyliczę od razu w jednym rządku:

∫−13 ∗t 10 dt=−1

3 ∫ t 10 dt=−1

3 ∗ t

11

11 =−t

11

33

Ponownie przywracając iksa i dodając stałą całkowania C, wynik wygląda następująco:

∫ 5−3 x 10 dx=−5−3x 11

33 C

Przykład c) [jak np. Choroń]

Od razu powalczymy z ambicjami i tablicami:

dx1−4 x2

Hmm... jak tak popatrzeć w tablice, to jesteśmy całkiem niedaleko takiego wzorku:

dx1−x2 =arcsin x

Więc, jak widzimy, wypadałoby się pozbyć tej 4 w mianowniku... co więcej, nawet chyba się to uda!

Dla przypomnienia, pewna życiowa prawda (pomijając w tym momencie moduł):

a x2=a x2

Dziwny wzorek? Ale okazuje się, że to wcale nie gówno prawda:

a x2=a2∗x2=a x2

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 20/32

Więc wróćmy do przykładu i „wrzućmy” w potęgę tą czwórkę:

dx1−4 x2 =∫ dx1−2x 2

Hmm... ładnie wyglądałaby zwykła, pojedyncza literka (wtedy od razu wyskoczy nam ładna całka na arcus sinus, co przed chwilą podawałem), więc użyjemy takiego podstawienia:

t=2 x *

Różniczkując:

dt=2dx **

Majstrując przy całce, by od razu wszystko ładnie podstawić:

dx1−2x2 =∫

1 2 ∗2dx

1−2x2

I pół (litra) wypieprzmy przed całkę:

∫ 1 2 ∗2dx

1−2x2 =

1 2∫

2 dx 1−2x 2

I podstawmy to (oznaczone, tradycyjnie, gwiazdkami), co sobie wyliczyliśmy:

1 2∫

2dx 1−2x2

=1 2∫

dt 1−t2

Zrzynając z tablic:

1 2∫

dt 1−t 2

=1 2

arcsin t

I na koniec „odpodstawiając”, mamy konkretny wynik:

dx1−4 x2 =1

2 arcsin 2 xC

Przykład d) [jak np. Dąbrowa Zielona]

Teraz zrobimy przykład, stosując takie rzeczy, które pewno matematykom... średnio się spodobają.

dx2 x

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 21/32

Hmm... pozbędziemy się pierwiastka (może wtedy coś z logarytmem wyjdzie) w taki sposób:

t= x *

Obustronnie różniczkując (i tu zaczną się cuda):

dt= 1 2 x

dx

Obustronnie mnożąc przez 2 x :

2 x dt=dx

Ale wiemy też, że t= x , więc nasze dx będziemy mogli zastąpić takim dziwolągiem:

2 t dt=dx **

Więc nasza całka:

dx2 x

po dokonaniu powyższych podstawień (zaznaczone gwiazdkami) zamieni się w coś takiego:

∫ 2 t dt2t

Jest to przykład prostej całki z funkcji wymiernej (tj. takiej, w której jeden wielomian dzielimy przez drugi). Rozwiążemy ją w sposób następujący: najpierw podzielimy licznik przez mianownik (technika dzielenia wielomianów jest wyjaśniona w dowolnym podręczniku matematyki ze szkoły średniej):

2 t 2 t

=2 −4 t2

Wracając do całki, wykorzystamy to, że sumę możemy rozbić na dwie osobne zagadki:

∫ 2 t dt2t =∫ [2 −4 t2

] dt=∫ 2 dt∫ −4t2 dt

Pierwszą całkę od razu wyliczymy, na końcu wracając do iksa:

∫ 2 dt=2 t=2 x

Przy drugiej zauważamy, że u góry niewiele brakuje, by znalazła się pochodna dołu: (t + 2)' = 1

a mamy (– 4)

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 22/32

Ale i mamy ułatwienie, gdyż wystarczy, że (– 4) wyrzucimy przed wężyka, a problem się sam zredukuje:

∫ −4t2 dt=−4∫ dt

t2

A niedawno eksperymentalnie pokazaliśmy sobie, że jeżeli licznik jest pochodną mianownika, to z całki wylezie nam logarytm naturalny:

−4∫ dtt2=−4 ln | t2 |

Wracając do iksa:

−4 ln | t2 |=−4 ln | x2 |

Wyliczyliśmy sobie te dwie całki, więc nic prostszego, jak tylko wstawić:

∫ 2dt∫ −4t2 dt=2 x−4 ln | x2 |C

I koniec zadania, wynik:

dx2 x=2 x−4 ln | x2|C

Muszę od razu was przeprosić – pokazałem przykład całkowania funkcji wymiernej, czyli właśnie dzielenie wielomianu przez jakiś inny. Niestety, czasowo raczej nie wyrobię się przed kolokwiami czy egzaminami z rozwiązywania podobnych przykładów, jak powyżej (a choćby w książce rodem z Politechniki Wrocławskiej na to przeznaczony jest aż całe jedno zadanie, z milionem podpunktów).

W skrócie – jeżeli mamy całkę jakiejś funkcji wymiernej:

jakiś tam wielomianinny , jeszcze głupszy dx

to w wyniku ma prawo znaleźć się tylko:

– jakiś inny wielomian, na przykład x2 – 5 x ; – lub logarytm naturalny z iksem w pierwszej potędze, na przykład ln | 5 x | ; – lub logarytm naturalny z równaniem kwadratowym (z iksem do potęgi drugiej), ale

wtedy delta tego, co siedzi w środku, musi być ujemna; – lub arcus tangens z iksem w co najwyżej pierwszej potędze, np. arctg(35x).

Oczywiście, bardzo często zdarza się, że wynik jest kombinacją – ostatecznie otrzymujemy, na przykład, logarytm plus arcus plus iksy w dziwnych potęgach. Ale wyliczanie takich całek wymaga m.in. rozkładu wielomianu na ułamki proste, z czym do dzisiaj się mylę, a nie chcę wam

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 23/32

(jeszcze więcej) mącić. Więc mój komentarz proszę traktować z przymrużeniem oka, jako ciekawostkę i odnośnik

do innych podręczników z analizy (polecam choćby dodatkowo Analiza matematyczna w zadaniach, cz. 1 pióra tandemu Krysicki & Włodarski). Jeden prosty przykład z funkcjami wymiernymi jednak jeszcze się zdarzy.

Zamiast niepotrzebnie smucić się powyższym, głupkowatym komentarzem – jedźmy dalej.

Przykład e) [jak np.CisiE]

∫ ln xx dx

Jak zwykle, szukamy gdzieś w przykładzie jakiejś pochodnej, tak, aby później pieprznąć jakieś wymyślne podstawienie i w ostateczności rozwiązać zadanie.

Jeżeli zapiszemy sobie powyższą całkę w ten sposób:

∫ ln xx dx=∫ ln x∗ 1 x

dx

To od razu zauważymy, że można się pozbyć i logarytma, i iksa w mianowniku. W jaki sposób? Użyjemy takiego podstawienia:

t=ln x *

Różniczkując:

dt= 1 x

dx **

Widzimy, że można od razu podstawiać, żadnych rytuałów czy szamaństw nie musimy czynić.

∫ ln x∗1x dx=∫ t dt

I bez wstydu możemy wyliczyć tą całkę:

t dt= t 2

2 C=ln x

2

2 C

I wszystko. Przykład był o tyle prostszy od poprzednich (tak dla wytchnienia), że odpowiednie podstawienie od razu „skasuje” nam wszystkie śmieci, zmieni ten „wskaźnik” (dx) na już

odpowiednią zmienną (dt).

Przykład f) [jak np.jestem Frajer]

x 3

x1 dx

Tutaj trochę elastycznie podejdziemy do podstawienia, odrobinkę mieszając w nim.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 24/32

Pomijając to – znowu, nie pasuje nam odrobinkę mianownik (iks do trzeciej w liczniku, mianownik jakiś szatański), którego – jak zwykle – się pozbędziemy takim podstawieniem:

t=x1 *

Wyliczając iksa: x=t−1 **

I różniczkując: dx=dt ***

Podstawimy wszystkie te „trzy” gwiazdki tam, gdzie się to tylko da:

x 3

x1 dx=∫ t−1

3

t dt

Wydawać by się mogło, że „zaraz, kurwa, pieprznąłeś jakieś podstawienie, a tu jeszcze większy chuj, niż był, bo teraz jakieś skomplikowane działania do trzeciej, ale Ty pierdolisz”.

Owszem, zgodzę się z taką argumentacją, ale tak naprawdę, ułatwiłem sobie robotę.

Stosując wzór: ab3=a33a2b3ab2b3

mogę mianownik „rozwinąć”:

∫ t−1 3

t dt=∫ t

3−3 t 23t−1 t

dt

Teraz ten ułamek mogę „roztrzaskać” na cztery ułamki (ponieważ ab

c =a

c b

c ):

=∫ t 3

t  −3 t2

t 3 t

t  −1

t dt

„budując” z tego cztery osobne całki (już pozwolę sobie powyrzucać stałe przed nawiasy i poskracać):

=∫ t2 dt−3∫ t dt3∫ dt−∫ 1t dt

których wyliczenie sprowadza się do zaglądnięcia w tablice:

= t 3

3 −3 t

2

2 3 t−ln | t |C

na koniec, wracając do iksa (pierwsza gwiazdka):

= x−1 3

3 −3  x−1

2

2 3 x−1−ln | x−1 |C

I po robocie. Być może problem był w wymyśleniu podstawienia (grunt to pozbyć się dx i nie skomplikować za bardzo przykładu) i w obliczeniach, ale daliśmy se radę.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome