Analiza wyników pomiarów  - Notatki - Metrologia - Część 2, Notatki'z Metrologia. Warsaw University of Technology
metallic_eyes
metallic_eyes15 March 2013

Analiza wyników pomiarów - Notatki - Metrologia - Część 2, Notatki'z Metrologia. Warsaw University of Technology

PDF (833.6 KB)
5 strona
521Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu metrologii: analiza wyników pomiarów.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
(AWP_PM_wykład 2_D)

ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW (AWP)

Jednostka prowadząca: Instytut Metrologii i Inżynierii Biomedycznej

Autor programu: dr inż. Jerzy Arendarski

Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru

i metody ich wyznaczania

Definicje

WYNIK POMIARU – wartość przypisana

wielkości mierzonej, uzyskana drogą pomiaru.

Całkowite wyrażenie wyniku pomiaru zawiera

dane dotyczące niepewności pomiaru.

Definicje

WYNIK SUROWY – wynik pomiaru przed

korekcją błędu systematycznego.

WYNIK POPRAWIONY – wynik pomiaru po

korekcji błędu systematycznego.

Definicje

POPRAWKA – wartość dodana algebraicznie do

surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania

błędu systematycznego.

WSPÓŁCZYNNIK POPRAWKOWY – współczynnik

liczbowy, przez który należy pomnożyć surowy wynik

pomiaru, aby skompensować błąd systematyczny.

Niepewność pomiaru to parametr, związany z wynikiem pomiaru,

charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać

wielkości mierzonej.

Niepewność pomiaru to wynik postępowania mającego na celu oszacowanie przedziału, wewnątrz którego znajduje się wartość prawdziwa wielkości mierzonej, zwykle z daną wiarygodnością.

docsity.com

Błąd pomiaru to różnica między wynikiem pomiaru wielkością prawdziwą wielkości mierzonej

Wzory definicyjne błędu pomiaru,

błędu systematycznego pomiaru

i błędu przypadkowego pomiaru wielkości X:

ps xXX −=∆

XxX ps ∆+∆=∆

pss xXx −=∆

ssp XXX −=∆

pssps xXXxXX −=−+−=∆

Wielkość o wartości umownie prawdziwej xup, mierzona przez tego samego laboranta, w porównywalnych warunkach pomiarowych, w różnych terminach, w ramach badania kompetencji. Niepewność pomiaru wyznaczona zgodnie z odpowiednią instrukcją, w obu przypadkach była taka sama i wynosiła U.

xup

x

x

x1

x1-U

x2-U

x1 x1+U

U U

x2+Ux2

U U

Oba wyniki są wiarygodne, ponieważ wartość „prawdziwa” leży w wyznaczonych przedziałach [x1 - U, x1 + U] i [x2 - U, x2 + U], ale wartości błędów pomiaru ∆x1 i ∆x2 są różne co do wartości jak i co i co do znaku.

Porównanie dwóch wyników pomiarów

Z powyższego przykładu wynika,

że niepewność pomiaru określa przewidywane

(przy wysokim poziomie ufności)

granice zmienności błędów pomiarów,

których nie wyeliminowano z wyniku pomiaru.

Porównanie dwóch wyników pomiarów

Podstawową formą eliminacji błędów systematycznych z wyniku pomiaru jest wprowadzanie poprawek, zatem w najbardziej ogólnej postaci wynik obejmuje trzy składowe:

gdzie: - wynik surowy; - sumaryczna poprawka, kompensująca wyznaczalne błędy systematyczne; - niepewności pomiaru.

)()( YUPYY S ±+= Σ

SY

ΣP

)(YU

Dla pomiaru bezpośredniego:

gdzie:

Xs – wskazanie przyrządu lub średnia z serii wskazań,

Pi – poprawki (wskazań, temperaturowa,....).

)()( XUPXX iS ±+= ∑

docsity.com

Dla pomiaru pośredniego, wielkość mierzona Y

zależy od wielu wielkości wejściowych i wpływających:

wtedy, biorąc pod uwagę ogólną formułę:

i wzór na wynik poprawiony:

można w pierwszej kolejności wyznaczyć wynik surowy, obliczając:

a następnie poprawkę sumaryczną:

),,...,,( 21 mXXXfY =

)()( YUPYY S ±+= Σ

)( Σ+= PYY Spop

),,...,,( 21 smsss XXXfY =

i

m

i

P X

Y P ∑ ∂

∂=Σ 1

Inny sposób – wyznaczenie wyników poprawionych wszystkich wielkości wejściowych:

a następnie wyznaczenie:

∑+= ispop PXX 111

∑+= ispop PXX 222

∑+= ispop PXX 333

∑+= mismpopm PXX

),,...,,,( 321 popmpoppoppoppop XXXXfY =

Argumenty funkcji

są zmiennymi losowymi, więc wielkość wynikowa również jest

zmienną losową.

Wartość oczekiwana tej zmiennej, oblicza się podstawiając, do

jawnej postaci funkcji, argumenty równe wartościom oczekiwanym:

),,...,,,( 321 popmpoppoppoppop XXXXfY =

),...,,,( 321 xmxxxy f µµµµµ =

Przybliżoną wartość wariancji tej zmiennej,

korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora,

wyznacza się ze wzoru:

gdzie:

u(Xi) – niepewności standardowe wielkości składowych

(cząstkowych),

u(Xi,Xj) – kowariancje.

∑∑∑ −

= ==  

 

∂ ∂

 

  

∂ ∂+

  

∂ ∂=

1

1 11

2

2

2 ),(2)()( m

i

m

j ji

ji

m

i i

i c XXuX

f

X

f Xu

X

f Yu

Kowariancja cov(Xi, Xj) = u(Xi, Xj) jest momentem centralnych drugiego

rzędu, w rozkładzie dwuwymiarowym zmiennej (Xi , Xj), wyznaczanym

według formuły:

u(Xi,Xj) = E(Xi - µi) (Xj - µj)

dla i,j = 1, 2, …, m; i ≠ j.

Jeżeli zmienne Xi i Xj są stochastycznie niezależne, to cov(Xi, Xj) = 0,

zatem gdy poszczególne argumenty w równaniu pomiaru są niezależne,

to składniki z kowariancjami będą zerowe, a wzór przyjmie postać:

∑ =

 

  

∂ ∂=

m

i i

i c XuX

f Yu

1

2

2

2 )()(

Niepewność standardową złożoną uc(Y),

jeżeli uprawnione jest założenie o niezależności składowych,

oblicza się ze wzoru:

∑ =

 

  

∂ ∂=

m

i i

i c XuX

f Yu

1

2

2

)()(

docsity.com

Przykład 1.

Pomiar długości zestawu dwóch elementów:

Równanie pomiaru:

Y = A + B

Apop = 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;

Bpop = 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;

A B

Y

Ypop = Apop + Bpop = 45,000 mm

U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm

Y = (45,000 ± 0,007) mm

)()()( 2 2

2 2

Bu B

Y Au

A

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

mmmmmmBuAuYuc 00353,0)0025,0()0025,0()()()( 2222 =+=+=

Przykład 2.

Pomiar wymiaru mieszanego:

Równanie pomiaru:

Y = B A

Apop = 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;

Bpop = 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;

A

B

Y

Ypop = Bpop + Apop = 12,230 mm

U(Y) = 2 uc(Y) =0,007 mm

Y = (12,230 ± 0,007) mm

)()()( 2 2

2 2

Au A

Y Bu

B

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

mmmmmmAuBuYuc 00353,0)0025,0()0025,0()()()( 2222 =+=+=

Przykład 3.

Pomiar pola przekroju płaskownika:

Równanie pomiaru: Y = A * B

Apop = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;

Bpop = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;

A

B

Ypop = Apop * Bpop = 1000 mm 2;

U(Y) = 2 uc(Y) =1,4 mm 2

Y = (1000,0 ± 1,4) mm2

)()()( 2 2

2 2

Bu B

Y Au

A

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

B A

Y = ∂ ∂

A B

Y = ∂ ∂

70,0025,000,2001,000,50)()()( 22222222 =⋅+⋅=⋅+⋅= BuAAuBYuc

;

docsity.com

Przykład 4.

Pomiar przełożenia dźwigni dwuramiennej:

Równanie pomiaru:

Apop = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;

Bpop = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;

B

A Y =

A B

U(Y) = 2 uc(Y) =0,10

Y = 10,00 ± 0,10

10== pop

pop pop B

A Y

)()()( 2 2

2 2

Bu B

Y Au

A

Y Yuc ⋅

  

∂ ∂+⋅

  

∂ ∂=

1mm1,0 1 −==

∂ ∂

BA

Y 1 2 1

−−=−= ∂ ∂

mm B

A

B

Y

05099,005,011,01,0)()( 1

)( 222224

2 2

2 =⋅+⋅=⋅+⋅= BuB A

Au B

Yuc

;

Dziękuję za uwagę

i zapraszam na dalszą część wykładu

Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru i metody ich wyznaczania

UWAGA!

Ponieważ błąd systematyczny nie

może być znany dokładnie,

kompensacja nie może być zupełna.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome