Analiza Wyników Pomiarów  - Notatki - Metrologia - Część 4, Notatki'z Metrologia. Warsaw University of Technology
metallic_eyes
metallic_eyes15 March 2013

Analiza Wyników Pomiarów - Notatki - Metrologia - Część 4, Notatki'z Metrologia. Warsaw University of Technology

PDF (412.1 KB)
4 strony
624Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu metrologii: analiza wyników pomiarów
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
(AWP_PM_wykład 4_D)

ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW (AWP)

Jednostka prowadząca: Instytut Metrologii i Inżynierii Biomedycznej

Autor programu: dr inż. Jerzy Arendarski

Wyznaczanie niepewności rozszerzonej pomiaru

Niepewność podawana w końcowym wyniku pomiaru

nosi nazwę niepewności rozszerzonej.

Tę zaś, Przewodnik ISO definiuje w następujący

sposób:

„Niepewność rozszerzona to wielkość określająca

przedział wokół wyniku pomiaru, od którego

oczekuje się, że obejmuje dużą część rozkładu

wartości, które w uzasadniony sposób można

przypisać wartości mierzonej.”

Definicja niepewności pomiaru Niepewność rozszerzona pomiaru:

U(Y) = k*uc(Y)

„Ile wynosi k, dla poziomu ufności 1-α = 0,95?”

W modelu teoretycznym przyjęto rozkład normalny i wtedy:

U(Y) = 2uc(Y)

W dotychczas omawianych przykładach przyjmowano k = 2.

Przypadki szczególnych modeli rzeczywistych będą przedstawiane w dalszej części wykładu.

X1

X2

X4

X3

X5

X6

X8

X7

( ) ( ) ( )ji j

m

i

m

ij i i

m

i i c xxux

f

x

f xu

x

f yu ,2

1

1 1

2

2

1  

 

  

  

 +

  

 ≅ ∑∑∑

= +== ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

( )mXXXfY ,...,, 21=

Składowe mają rozkłady normalne

U(Y) = 2uc(Y)

Jeżeli wszystkie wielkości wejściowe mają

rozkłady normalne, to rozkład wielkości wynikowej

jest też normalny”

X1

X2

X4

X3

X5

X6

X8

X7

( )mXXXfY ,...,, 21= Wiele składowych o różnych rozkładach

( ) ( ) ( )ji j

m

i

m

ij i i

m

i i c xxux

f

x

f xu

x

f yu ,2

1

1 1

2

2

1  

 

  

  

 +

  

 ≅ ∑∑∑

= +== ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

Jeżeli składowych jest wiele (praktycznie n ≥ 4) i nie ma

wśród nich dużego zróżnicowania rozrzutów, to zgodnie z

centralnym twierdzeniem granicznym, niezależnie od

rodzajów rozkładów składowych, rozkład zmiennej

wypadkowej dąży do rozkładu normalnego.

U(Y) = 2uc(Y)

docsity.com

Jeżeli wielkości wejściowe są dwie i dominującą, pod względem rozrzutu, jest

składowa o rozkładzie prostokątnym, to współczynnik rozszerzenia wyznacza się dla

tego dominującego rozkładu:

k = 1,65

a b R=2a

x

( ) ab

xf

= 1

σ σ σ73,1 σ73,1

µ

12

2 2 R

σ = 32

R σ =

3

a u =)(X

)(65,165,1395,095,0)( XuaX ==⋅== 33

aa U

;

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu prostokątnego

k = 1,90

24 R22

6

a== 62

R σ

)(90,190,178,0)( XuaX =≈= 6

a U

σ σ µ

a b

R=2a

x

σ2 σ2 σ45,2 σ45,2

Współczynnik rozszerzenia dla rozkładu Simpsona

Jeżeli wielkości wejściowe są dwie i dominującą, pod względem rozrzutu, jest

składowa o rozkładzie trójkątnym, to współczynnik rozszerzenia wyznacza się dla

tego dominującego rozkładu:

Współczynnik rozszerzenia a budżet niepewności

Budżet niepewności - wariant 1.

Symbol Wielkości

Estymata wielkości

Szerokość połówkowa

Współcz. rozrzutu

Niepewn. standard.

Współcz. wpływu

Składowe niepewn. złożonej

1 2 3 4 5 6 7 Xi xi 0,5Ri k* u(Xi) ci ui(Y) X1 x1 0,5R1 k1* uB(X1) c1 u1(Y) X2 x2 - - uA(X2) c2 u2(Y) X3 x3 0,5R3 k3* uB(X3) c3 u3(Y) ... ... ... ... ... ... ... Xm xm - - uA(Xm) cm um(Y) Y y uc(Y)

Symbol wielkości

Estymata wielkości

Niepewność standardowa

Rozkład prawdopodo- bieństwa

Współczynnik

wpływu

Składowe niepewności stand. złożonej

1 2 3 4 5 6

Xi xipop u(Xi) ci ui(Y)

X1 x1 u (X1) normalny c1 u1(Y)

X2 x2 u (X2) trapezowy c2 u2(Y)

X3 x3 u (X3) trójkątny c3 u3(Y)

... ... ... prostokątny ... ...

Xm xm u (Xm) prostokątny cm um(Y)

Y y uc(Y)

Budżet niepewności - wariant 2.

Współczynnik rozszerzenia a budżet niepewności

Symbol wielkości

Estymata wielkości

Niepewność standardowa

Rozkład prawdopodo- bieństwa

Współczynnik

wpływu

Składowe niepewności stand. złożonej

1 2 3 4 5 6

Xi xipop u(Xi) ci ui(Y)

X1 x1 u (X1) t-Studenta c1 u1(Y)

X2 x2 u (X2) t-Studenta c2 u2(Y)

X3 x3 u (X3) t-Studenta c3 u3(Y)

Y y uc(Y)

Budżet niepewności - wariant 3.

k = ?

Współczynnik rozszerzenia a budżet niepewności

( ) ( )

∑ =

m

1 j

4 j

4 c

eff

ν

Yu

Yu ν

( )[ ] ( )[ ]

∑ =

m

1 j

4 jj

44 c

eff

ν

/XXu

/YYu ν

( ) ( )j2 2

j

2 j XuX

Y Yu

 

 

∂ ∂=

Efektywna liczba stopni swobody

docsity.com

Wyznaczanie współczynnika k na podstawie νeff

Przykład 1 Przeprowadzono eksperyment, w którym metodą typu A wyznaczono niepewności standardowe pomiaru wielkości wejściowych X, Y, Z.

Celem wyznaczenia objętośći, dłogość, szerokość i wysokość kostki prostopadłościennej mierzono trzema zestawami mikrometrów: nx = 5, ny = 6, nz = 6.

Otrzymane wyniki zamieszczono w budżecie niepewności.

Równanie pomiaru:

Równanie niepewność standardowej złożonej:

ZYXV ∗∗=

)()()()( 222222222 ZuYXYuZXXuZYVu ∗∗+∗∗+∗∗=

Symbol wielkości

Estymata wielkości

Niepewność standardowa

Rozkład prawdopodo- bieństwa

Współczynnik

wpływu

Składowe niepewności stand. złożonej

1 2 3 4 5 6

Xi xipop u(Xi) ci ui(Y)

X1 9,9755 0,0022 t-Studenta 1499,5 3,2989

X2 29,9885 0,0031 t-Studenta 498,8 1,5463

X3 50,0015 0,0045 t-Studenta 299,2 1,3464

Y 14957,96 3,884

Budżet niepewności - przykład

k = ?

U(Y)= ku(Y)

Wyznaczanie współczynnika k na podstawie νeff

25,7

5 3464,1

5 5463,1

4 2989,3

884,3 444

4

= ++

=effν

Przyjmujemy νeff = 7

Z tablicy rozkładu t-Studenta odczytuje się t0,95;7 = 2,36 = k

Zatem

Końcowy wynik pomiaru objętości:

Wyznaczanie współczynnika k na podstawie νeff

333 9mmmm3,884mm2,36U(V) ≈=∗= 166,9

333 9mmmm3,884mm2,36U(V) ≈=∗= 166,9

Przykład 2

Przyjmijmy, że Y = f(X1, X2, X3) = b X1 X2 X3

i że estymaty x1, x2 i x3 wartości wielkości wejściowych

X1, X2 i X3 o rozkładach normalnych są średnimi

arytmetycznymi odpowiednio z n1 = 10, n2 = 5 i n3 = 15

niezależnych obserwacji, a względne niepewności

standardowe wynoszą:

u(X1) / X1 = 0,25%, u(X2) / X2 = 0,57% i u(X3) / X3 = 0,82%.

Obliczyć niepewność złożoną rozszerzoną Uc(Y)0,95.

Wyznaczanie współczynnika k na podstawie νeff c

Niepewność standardową względną wyznacza się korzystając ze wzoru:

( ) ( ) ( ) ( ) %03,1=

  

 +

  

 +

  

 =

2

3

3

2

2

2

2

1

1c

X Xu

X Xu

X Xu

Y Yu

0,19

115

82,0

15

57,0

110

25,0

03,1 444

4

=

− +

− +

=effν

Z tablicy rozkładu t-Studenta odczytuje się t0,95;19 = 2,09

Efektywna liczba stopni swobody

Kiedy składowe mają rozkłady t-Studenta, może być: k >2

dlatego warto pamiętać o formułach wyznaczania

efektywnej liczby stopni swobody!!!

Wyznaczanie współczynnika k na podstawie νeff

docsity.com

Dziękuję za uwagę

i zapraszam na dalszą część wykładu

Wyznaczanie niepewności rozszerzonej pomiaru

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome