Zwartość i spójność - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Zwartość i spójność - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (141.4 KB)
1 strona
493Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: zwartość i spójność.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 5 (zwarto±¢ i spójno±¢)

Zad 1. Pokaza¢, »e podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej X jest zbiorem domkni¦tym.

Zad 2. Pokaza¢, »e domkni¦ty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym.

Zad 3. Niech K ⊂ Y ⊂ X. Pokaza¢, »e zbiór K jest zwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w Y .

Zad 4. Dowie±¢, »e przestrze« metryczna (X, d) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy speªnia warunek Riesza, to jest gdy: dla dowolnej rodziny {Ft}t∈T zbiorów domkni¦tych⋂

t∈T Ft = ∅ =⇒ ∃{t1,...,tn}⊂T Ft1 ∩ ... ∩ Ftn = ∅.

Zad 5. Pokaza¢, »e przestrze« X z metryk¡ dyskretn¡ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X jest sko«czony.

Zad 6. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce zbiory nie s¡ zwarte:

a) A = {(x, y) ∈ R2 : −12 ≤ y − x ≤ 1 2}, B = [0, 1]× (0, 1] na pªaszczy¹nie euklidesowej R

2,

b) A = [1, 2]× {1}, B = {(x, y) ∈ R2 : y = x} na pªaszczy¹nie z metryk¡ studnia,

c) A = [1, 2]× {1}, B = R× {0} na pªaszczy¹nie z metryk¡ rzeka.

Zad 7. Pokaza¢, »e dla przestrzeni topologicznej X nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

a) przestrze« X nie jest sum¡ dwu rozª¡cznych, niepustych zbiorów otwartych,

b) jedynymi podzbiorami domkni¦to-otwartymi w X s¡ ∅ oraz X,

c) je±li X = X1 ∪X2 i zbiory X1, X2 s¡ rozgraniczone, to znaczy

X1 ∩X2 = ∅ ∧ X1 ∩X2 = ∅,

to jeden z nich jest pusty,

d) ka»de przeksztaªcenie ci¡gªe f : X → D przestrzeni X w przestrze« dyskretn¡ D posiadaj¡c¡ conajm- niej dwa elementy, jest staªe.

Zad 8. Które z podanych przestrzeni s¡ spójne:

a) przestrze« dyskretna,

b) przestrze« antydyskretna,

c) przestrze« (N, τ), gdzie τ = {A ⊂ N : zbiór N \A jest sko«czony lub A = ∅}.

Zad 9. Pokaza¢, »e podzbiór A prostej euklidesowej R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb a, b ∈ A takich, »e a < b ka»da liczba c ∈ (a, b) nale»y do zbioru A.

Zad 10. Które ze zbiorów w zadaniu 6 s¡ spójne.

Zad 11. Wykaza¢, »e przy odwzorowaniu ci¡gªym obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym, a zbioru

zwartego zbiorem zwartym.

Zad 12. Pokaza¢, »e ka»dy zbiór na pªaszczy¹nie zwarty w metryce studnia lub rzeka jest zwarty w metryce

euklidesowej, ale nie na odwrót.

Zad 13. Dowie±¢, »e w przestrzeni euklidesowej kula otwarta nie jest homeomorczna z kul¡ domkni¦t¡.

Zad 14. Czy nast¦puj¡ce podprzestrzenie pªaszczyzny euklidesowej R2

A = {(x, y) ∈ R2 : x = (1− e−t) cos t, y = (1− e−t) sin t, t ∈ [0,∞), lub x2 + y2 = 1},

B = {(x, y) ∈ R2 : x = (1 + et) cos t, y = (1 + et) sin t, t ∈ [0,∞), lub x2 + y2 = 1}

s¡ homeomorczne?

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome