Szereg Fouriera - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Szereg Fouriera - Notatki - Analiza matematyczna, Notatki'z Analiza matematyczna. Opole University

PDF (124.4 KB)
4 strony
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z obszaru analizy matematycznej: szereg Fouriera.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 4
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Szereg Fouriera Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg postaci

(1)   

 1

0 sincos 2 n

nn nxbnxa a

gdzie nn baa ,,0 są pewnymi stałymi. Szeregiem Fouriera odpowiadającym danej funkcji f całkowalnej w przedziale  , nazywamy taki szereg trygonometryczny, którego współczynniki zwane współczynnikami Eulera-Fouriera obliczono wg wzorów:

(2)

nxdxxfb

nxdxxfa

dxxfa

n

n

sin)(1

cos)(1

)(10

dla ...3,2,1n Szereg Fouriera odpowiadający danej funkcji f może być zbieżny (i to niekoniecznie do )(xf ) lub rozbieżny. Poniżej podamy dwa przykłady rozwinięcia pewnej funkcji w szereg Fouriera w oparciu o następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcja f jest przedziałami klasy C1 i ma okres 2, to szereg Fouriera odpowiadający tej funkcji jest zawsze zbieżny. Suma )(xS tego szeregu określona jest przy tym następująco: 10 ),()( xfxS  gdy x jest punktem ciągłości funkcji f,

20 , 2

)0()0()(  xfxfxS gdy x jest punktem nieciągłości funkcji f takim, że

granice lewostronne )0( xf i prawostronne )0( xf są skończone i różne. Uwaga. Wszystkie rysunki oraz rachunki związane z obliczaniem całek oznaczonych wykonamy za pomocą kalkulatora graficznego ClassPad 300 Plus. Przykład 1. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję xxf )( . Zauważmy, że xxf )( jest klasy C1, natomiast funkcja nie jest okresowa. Aby więc były spełnione oba założenia twierdzenia, należy przedłużyć naszą funkcję w sposób okresowy. Można to zrobić na przykład tak:

Liczymy kolejno wg (2):

nxdxxb

nxdxxa

xdxa

n

n

sin1

cos1

1 0

Zauważmy, że dla dowolnego naturalnego n zachodzą tożsamości:

nn n

)1(cos 0sin 

Wobec tego n

b nn 2)1( 1 . Wstawiając obliczone współczynniki do (1), otrzymujemy:

 

 

   

   

1

1

1

1 sin)1(2sin2)1(cos0 2 0)(

n

n

n

n

n nxnx

n nxxS

Na mocy naszego twierdzenia dla   ,x mamy xxS )( , zaś dla x mamy   )0(f oraz   )0(f , więc 0

2 )0()0( 

 xfxf .

Podobnie rozumujemy dla x . Ostatecznie  

  

 

 

 

xdla 0 , dla sin)1(2

1

1 xx n nx

n

n

W szczególności, dla  2 1 x mamy

2 12

sin )1(2

1

1  

n

n

n

n

czyli

(3)  

 

 

   

1

1

12 1)1(4...

11 1

9 1

7 1

5 1

3 114

n

n

n

Wzór (3) może nam posłużyć do obliczenia przybliżonej wartości liczby . Mianowicie, wzór (3) można zapisać w postaci

 

 

n

k

k

k1 1

12 1)1(4

Przykład 2. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję 2)( xxf  . Przedłużając w sposób 2-okresowy naszą funkcję, otrzymujemy funkcję spełniającą założenia twierdzenia.

Liczymy kolejno wg (2):

nxdxxb

nxdxxa

dxxa

n

n

sin1

cos1

1

2

2

2 0

Zatem, zgodnie z (1), dostajemy dla każdego  ,x

2 2

1

2 cos)1(4 3 1)( x

n nxxS

n

n   

Kładąc 0x otrzymujemy po prostych przekształceniach ciekawy wynik:

2 2

1

1

12 11)1( 

nn n

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome