Ciągłość vs topologia podprzestrzeni - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Ciągłość vs topologia podprzestrzeni - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (103.7 KB)
1 strona
620Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: ciągłość vs topologia podprzestrzeni.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista 6 (ci¡gªo±¢ vs topologia podprzestrzeni)

Zad 1. Udowodni¢, »e superpozycja funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ciagª¡; ponadto, je»eli (X, τX), (Y, τY ), (Z, τZ) s¡ przestrzeniami topologicznymi, funkcja f : X → Y jest ci¡gªa w punkcie x ∈ X, a funkcja g : Y → Z jest ci¡gªa w punkcie f(x) ∈ Y , to funkcja f ◦ g : X → Z jest ci¡gªa w punkcie x.

Zad 2. Niech (X, τX), (Y, τY ) b¦d¡ przestrzeniami topologicznymi. Wykaza¢, »e ci¡gªo±¢ odwzo- rowania f : X → Y jest równowa»na ka»demu z nast¦puj¡cych warunków

a) f−1(U) jest zbiorem otwartym dla ka»dego U ∈ B, gdzie B jest baz¡ topologii τY ,

b) f(A) ⊂ f(A) dla ka»dego A ⊂ X,

c) f−1(B) ⊂ f−1(B) dla ka»dego B ⊂ Y ,

d) f−1(Int (B)) ⊂ Int (f−1(B)) dla ka»dego B ⊂ Y .

Zad 3. Korzystaj¡c z topologicznej denicji ciagªo±ci, sprawdzi¢ ciagªo±¢ nast¦puj¡cych funkcji na prostej euklidesowej R:

a) f(x) = 2x− 1 b) f(x) = bxc , 1 c) f(x) = x2, d) f(x) = x− bxc .2

Zad 4. Rozwa»my podprzestrze« A prostej euklidesowej X = R.

a) Niech A = [0, 1]. Które ze zbiorów A1 = [0, 1], A2 = [0, 1 2 ), A3 = (

1 3 , 1], A4 = (0, 1) s¡

domkni¦te, a które otwarte w A?

b) Niech A = N. Wypisa¢ topologi¦ na A.

c) Niech A = { 1 n

: n ∈ N ∪ {0}}. Wyznaczy¢ wszystkie otwarto-domkni¦te zbiory jednoele- mentowe.

Zad 5. Rozwa»my podprzestrze« A przestrzeni topologicznej X. Pokaza¢, »e

a) topologia podprzestrzeni τA jest najubo»sz¡ topologi¡ na A tak¡, »e to»samo±ciowe za- nurzenie i : A→ X (tzn. i(x) = x dla ka»dego x ∈ A) jest ci¡gªe.

b) topologia podprzestrzeni τA jest najbogatsz¡ topologi¡ na A tak¡, »e ci¡gªo±¢ odwzorowania f : Y → X, gdzie f(Y ) ⊂ A, poci¡ga ci¡gªo±¢ odwzorowania f : Y → A.

c) topologia podprzestrzeni τA jest najubo»sz¡ topologi¡ na A tak¡, »e ci¡gªo±¢ odwzorowania f : Y → A, poci¡ga ci¡gªo±¢ odwzorowania f : Y → X.

d) topologia podprzestrzeni τA jest najubo»sz¡ topologi¡ na A tak¡, »e ci¡gªo±¢ odwzorowania f : X → Y , poci¡ga ci¡gªo±¢ odwzorowania f : A→ Y .

Zad 6. Niech X i Y b¦da przestrzeniami topologicznymi oraz niech {Gt}t∈T b¦dzie otwartym pokryciem przestrzeni X. Udowodni¢, »e je»eli f : X → Y jest funkcj¡ tak¡, »e f : Gt → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym dla ka»dego t ∈ Gt, to f : X → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym.

Zad 7. Niech X i Y b¦da przestrzeniami topologicznymi oraz niech {Ft}t∈T b¦dzie domkni¦tym pokryciem przestrzeni X. Udowodni¢, »e je»eli f : X → Y jest funkcj¡ tak¡, »e f : Ft → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym dla ka»dego t ∈ Ft, to f : X → Y jest odwzorowaniem ci¡gªym.

1bxc = max{k ∈ Z : k ≤ x} jest tak zwan¡ cz¦±ci¡ caªkowit¡ liczby x; inne nazwy: cecha, entier, podªoga 2x− bxc jest cz¦±ci¡ uªamkow¡ (mantys¡) liczby x

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome