Przykłady operatorów - Ćwiczenia - Teoria przestrzeni Hilberta, Notatki'z Teoria przestrzeni Hilberta. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Przykłady operatorów - Ćwiczenia - Teoria przestrzeni Hilberta, Notatki'z Teoria przestrzeni Hilberta. University of Bialystok

PDF (86.6 KB)
1 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii przestrzeni Hilberta: przykłady operatorów.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Teoria przestrzeni Hilberta

Lista 3 (przykªady operatorów)

Zad 1. Pokaza¢, »e je±li A : H1 → H2 jest operatorem liniowym i dim(H1) <∞, to A jest ograniczony.

Zad 2. Niech {e1, e2, ...} b¦dzie baz¡ ortonormaln¡ przestrzni Hilberta H i niech {λn}∞n=1 b¦dzie ci¡giem liczb zespolonych. Pokaza¢, »e operator dany wzorem

Ax = ∞∑

k=1

λn〈x, en〉en

jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy ci¡g {λn}∞n=1 jest ograniczony. Wyznaczy¢ oper- ator sprz¦»ony do A.

Zad 3. Pokaza¢, »e macierz niesko«czona [aij] ∞ i,j=1 taka, »e

∞∑ i=1

∞∑ j=1

|aij|2 <∞ (1)

deniuje operator ograniczony A : `2 → `2 standarodwym wzorem, tzn.

A(x1, x2, ....) = (y1, y2, ...),

gdzie  a11 a12 . . .a21 a22 . . . ...

... . . .

  x1x2

...

 =  y1y2

...

 . Pokaza¢, »e ka»dy operator A ∈ L(`2) jest zadany w powy»szy sposób, dla pewnej macierzy, niekoniecznie speªniaj¡cej (1). Jak wygl¡da macierz odpowiadaj¡ca operatorowi sprz¦»onemu?

Zad 4. Niech H = L2[a, b] i niech a ∈ C[a, b]. Pokaza¢, »e operator A : H → H

(Af)(t) = a(t)f(t)

jest ograniczony. Wyznaczy¢ jego norm¦ oraz operator do niego sprz¦»ony.

Zad 5. Niech K ∈ L2([a, b] × [a, b]). Udowodni¢, »e operator T : L2[a, b] → L2[a, b] zdeniowany wzorem

(Tx)(s) =

∫ b a

K(s, t)x(t)dt

jest operatorem ograniczonym. Wyznaczy¢ operator do niego sprz¦»ony,

Denicja. Operator liniowy A : H1 → H2, którego obraz Im (A) = {Ax : x ∈ H1} jest wymiaru sko«czonego nazywamy operatorem sko«czonego rz¦du, a wymiar Im (A) nazy- wamy rz¦dem A.

Zad 6. Pokaza¢, »e K jest operatorem sko«czonego rz¦du wtedy i tylko wtedy, gdy K jest postaci

Kx = n∑

i=1

〈x, vi〉ϕi.

Wyci¡gn¡¢ st¡d wniosek, »e operator sko«czonego rz¦du jest ograniczony i jego sprz¦»enie te» jest operatorem sko«czonego rz¦du.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome