Pochodne cząstkowe funkcji - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Pochodne cząstkowe funkcji - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University

PDF (71.9 KB)
6 strona
594Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z zakresu algebry: pochodne cząstkowe funkcji.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 6
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
4.2. Pochodne cząstkowe

4.2. Pochodne cząstkowe funkcji.

Przyrost zmiennej i przyrost wartości funkcji

Niech będzie dana funkcja n – zmiennych z = f (x1, x2, .... xn). Niech takŜe

P0( x01 , x02, … ,x0n) będzie ustalonym, konkretnie wybranym punktem dziedziny D tej

funkcji.

RozwaŜamy inny punkt P1 tej dziedziny i taki, który tylko jedną współrzędną róŜni się

od punktu P0 albo dwiema, a nawet równocześnie wszystkimi współrzędnymi. Mówimy

wówczas, Ŝe nastąpiła zmiana odpowiednich zmiennych.

Jeśli zmieniamy tylko jedną zmienną (współrzędną punktu), np. x0k o ∆x01, to ∆x01

nazywamy przyrostem zmiennej xk . Obliczając róŜnicę wartości funkcji f(P1) – f(P0)

otrzymamy przyrost funkcji ze względu na zmienną xk ; nazywamy go przyrostem

częściowym funkcji.

Jeśli rozwaŜymy punkt P dziedziny, w którym zmieniają się wszystkie zmienne

(współrzędne) równocześnie, to róŜnicę wartości funkcji f(P) – f(P0) nazywamy przyrostem

zupełnym funkcji.

Zinterpretujmy te określenia w przypadku funkcji dwóch zmiennych.

ZałóŜmy, Ŝe z = f(x, y) jest daną funkcją o dziedzinie Df.

Niech P0(x0, y0) będzie danym punktem.

Zmieniamy tylko x0 o ∆x, czyli przechodzimy

od P0( x0 , y0) do P1(x0 + ∆x, y0).

Odpowiadająca tej zmianie częściowa

zmiana wartości funkcji wyraŜa się wzorem:

∆fx = f(x0 + ∆x, y0) − f(x0, y0).

W przypadku zmiany y0 o ∆y mamy przejście ze stanu (x0, y0) do stanu (x0, y0 +∆y).

Odpowiadająca temu częściowa zmiana wartości funkcji wynosi:

∆fy = f(x0, y0 +∆y) − f(x0, y0).

W przypadku zmiany obu współrzędnych mamy przejście ze stanu (x0, y0) do stanu

(x0 + ∆x, y0 +∆y) i odpowiadający temu przyrost zupełny funkcji:

∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0, y()).

x0+∆x x0

x

y

P0 P1

Przykład

Funkcję f określono wzorem f(x,y) = -3x + 5y + 7. Jej dziedziną jest zbiór R2.

RozwaŜamy punkty P0(1, -3), P1(0,7; -3); P2(1; -2,5); P3 (0,7; -2,5);

Przyrosty zmiennych: ∆x = 0,7 – 1 = - 0,3 ; ∆y = -2,5 – (-3) = 0,5.

Wartości funkcji:

f(P0) = f(1, -3) = -3 -15 + 7 = - 11; f(P1) = f(0,7; -3) = -3⋅ 0,7 - 15 + 7 = - 10,1;

f(P2) = f(1, -2,5) = -3 -5(-2,5) + 7 = - 8,5; f(P3) = f(0,7; -2,5) = - 7,6.

Przyrosty funkcji:

∆fx = f(P1) − f(P0) = 0,9 ; ∆fy = f(P2) − f(P0) = 2,5 ; ∆f = f(P3) − f(P0) = 3,4.

Pochodne cząstkowe

Analogicznie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej interesuje nas stosunek przyrostu

częściowego wartości funkcji do przyrostu zmiennej, a więc ilorazy x

f x ∆ ∆

, y

f y ∆ ∆

określające

średnią prędkość zmiany funkcji w kierunku osi Ox oraz Oy, odpowiadającą zmianie

zmiennych odpowiednio o ∆x albo ∆y.

Ogólnie

RozwaŜamy ilorazy 1

1

x

f x ∆ ∆

, 2

2

x

f x ∆ ∆

, …, n

x

x

f n

∆ ∆

określające średnią prędkość zmiany funkcji

z = f (x1, x2, .... xn) odpowiadające zmianie kolejnych zmiennych o ∆x1, ∆x2, …, ∆xn w

stosunku do punktu P0( x01 , x02, … ,x0n)..

Skończone granice ilorazów 1

1

x

f x ∆ ∆

, 2

2

x

f x ∆ ∆

, …, n

x

x

f n

∆ ∆

, gdy przyrosty zmiennych ∆x1, ∆x2, …,

∆xn zmierzają do 0 nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji z = f (x1, x2, .... xn) w

punkcie P0( x01 , x02, … ,x0n)

Symbolicznie (w przypadku zmiennej x1):

' 1x

f (P0) = 1

0 )(

x

Pf

∂ ∂

= lim 01→∆x 1

1

x

f x ∆ ∆

.

Podobnie w przypadku kolejnych zmiennych.

Zinterpretujmy tę definicję w przypadku funkcji dwóch zmiennych.

Definicja

Niech z = f(x, y) jest daną funkcją o dziedzinie Df oraz P0(x0, y0) wraz ze swoim

otoczeniem naleŜy do tej dziedziny. Nadajmy zmiennej y wartość stałą y0. Wówczas z = f(x,

y0) jest funkcją jednej zmiennej x. Oznaczmy ją z = g(x).

O ile funkcja g ma pochodną g’(x) w punkcie x0, to nazywamy ją pochodną cząstkową

rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem xwpunkcie (x0, y0) i

oznaczamy ją symbolem 'xf (x0, y0) lub 00 , yyxx

x

f

==  

  

∂ ∂

lub x

yxf

∂ ∂ ),( 00 .

Jest ona granicą ilorazu róŜnicowego:

'xf (x0, y0) = x yxf

∂ ∂ ),( 00 = lim

0→∆x x

f x ∆ ∆

.

Podobnie definiujemy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji dwóch

zmiennych z = f(x, y) względem ywpunkcie (x0, y0) i oznaczamy ją symbolem

'yf (x0, y0) lub 00 , yyxx

y

f

==  

  

∂ ∂

lub y

yxf

∂ ∂ ),( 00 .

Definicja

Pochodna cząstkowa rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem x

w punkcie P(x, y) jest funkcją zmiennych x, y; oznaczamy ją krótko 'xf lub  

  

∂ ∂

x

f lub

x

yxf

∂ ∂ ),(

. Mówimy krótko: pochodna funkcji f po iksie.

Pochodna cząstkowa rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem y

w punkcie (x, y) jest funkcją zmiennych x, y; oznaczamy 'yf lub  

  

∂ ∂

y

f lub

y

yxf

∂ ∂ ),(

.

Mówimy krótko: pochodna funkcji f po igreku.

Przykład

Niech f(x, y) = 3x2 – 4xy3 + 5. Wyznacz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji

względem x, względem y w punkcie P(-2,3).

Zgodnie z definicją tworzymy funkcje:

f(x, 7) = 3x2 – 4x ⋅ 33 + 5 = 3x2 –108 x + 5.

f(-2, y) = 3(-2)2 – 4 (-2)y3 + 5 = 8y3 + 17.

Wtedy

' xf (-2,3) = (3x

2 –108 x + 5)’x = -2 = (6x –108 )x = -2 = - 120.

' yf (-2,3) = (8y

3 + 17)’y =3 = (24y 2)y = 3 = 216.

Ostatecznie

' xf (-2,3) =- 120,

' yf (-2,3) =216.

Przykład

Gdy f(x, y) = 3x2 – 4xy3 + 5. Wtedy 'xf (x,y) = 6x –4y 3, 'yf (x,y) = –12x y

2.

Gdy f(x, y) = yx2 – 4 x y −4 + x, wtedy

'xf (x,y) = 2xy – 2y −4 x−0,5 + 1; 'yf (x,y) = x

2 +16 x y −5.

Obliczanie pochodnych cząstkowych 'xf , ' yf funkcji f nazywamy Ŝniczkowaniem

funkcji f po x , po y. Funkcję f mającą pochodne 'xf , ' yf nazywamy Ŝniczkowalną.

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych

Niech f będzie funkcją określoną w zbiorze D. Wykresem funkcji f jest zbiór punktów

P = (x, y, z) przestrzeni (powierzchnia), których współrzędne spełniają związek z = f(x, y),

gdzie (x, y)∈D,

Płaszczyzna o równaniu y = y0 przecina tę

powierzchnię wzdłuŜ krzywej k o

równaniu z = f(x, y0) i wobec tego

pochodna cząstkowa 'xf (x0, y0) jest

tangensem kąta nachylenia stycznej s do

krzywej k względem osi x w punkcie P0

(x0, y0, z0) tej powierzchni.

Analogicznie, płaszczyzna x = x0 przecina powierzchnię wzdłuŜ krzywej k' o równaniu

z = f(x0,y) i pochodna 'yf (x0, y0) równa się tangensowi kąta nachylenia stycznej do k'

względem osi y w punkcie P0 (x0, y0, z0).

Funkcja f moŜe mieć w punkcie P0pochodne cząstkowe i nie być ciągła w tym

punkcie.

Zadania

1. Oblicz przyrost funkcji f ze względu na x, na y oraz przyrost zupełny, gdy punkt P(-4, 2)

przesunięto do punktu Q(3, 0), zaś funkcję f definiujemy wzorem:

a) f(x,y) = x – y, b) f(x,y) = x2y – 2xy2 + 3, c) z = x2 – y2 , d) z = |x| - |x – y|.

2. Oblicz przyrost funkcji f ze względu na x, na y oraz przyrost zupełny, gdy nastąpił

przyrost zmiennej x o ∆x = ½ , przyrost zmiennej y o ∆y = - ½ , poczynając od punktu

P(-4, 2), zaś funkcję f definiujemy wzorem:

a) f(x,y) = 2x – y, b) f(x,y) = x2y2 – 2xy + 5, c) z = x2 – (y+1)2 .

3. Oblicz przyrost funkcji f ze względu na x, na y oraz przyrost zupełny, gdy nastąpił przyrost

zmiennej x o ∆x = 0,1 , przyrost zmiennej y o ∆y = - 1 , poczynając od punktu

P(x, y), zaś funkcję f definiujemy wzorem:

a) f(x,y) = 2x – 3y +2, b) f(x,y) = x2y2 – 2x(y + 5), c) z = 3x2 – (y+1)2 .

4. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

a) z = 2x – 3y +2, b) f(x,y) = x2y2 – 2x(y + 5), c) z = 3x2 – (y+1)2 ,

d) z = yx + - 2y3 , e) f(x,y) = ln (y2 – 3xy2 - 5), f) z = ln xy.

5. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:

a) z = x

y

y

x − , b) z = 3

2 2 + −

x

yx , c) z = sin (x +xy3), d) z = xyyecos , e) z =

x

yx

sin5

2+ .

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome