Operacje na zbiorach w przestrzeni - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Operacje na zbiorach w przestrzeni - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (99.6 KB)
1 strona
387Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: operacje na zbiorach w przestrzeni.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia

Lista dodatkowa 2

Niech (X, τ) b¦dzie przestrzeni¡ topologiczn¡ i niech A ⊂ X. Wn¦trze intA, domkni¦cie A, brzeg bdA oraz pochodn¡ Ad zbioru A deniujemy nast¦puj¡cymi warunkami:

x ∈ intA ⇐⇒ ∃x∈U∈τ U ⊂ A,

x ∈ A ⇐⇒ ∀x∈U∈τ U ∩ A 6= ∅,

x ∈ bdA ⇐⇒ ∀x∈U∈τ U ∩ A 6= ∅ ∧ U \ A 6= ∅,

x ∈ Ad ⇐⇒ ∀x∈U∈τ (U \ {x}) ∩ A 6= ∅.

Element x zbioru Ad nazywamy punktem skupienia zbioru A. Zbiór A nazywamy g¦stym, gdy A = X. Zbiór A nazywamy brzegowym, gdy intA = ∅.

Zad 1. Wyznaczy¢ wn¦trze, domkni¦cie, brzeg oraz pochodn¡ danego podzbioru prostej euklidesowej R:

A = (0, 3], B = (−∞, 5], C = (1, 2) \Q,

D =

{ x = (−1)n

( 1 +

1

n

) : n ∈ N

} ∪ {x : |x| > 2},

E = { x = 2

1 n : n ∈ N

} ∪ {x : |x− 4| < 1},

F =

{ (−1)n

n : n ∈ N

} ∪ ( [1, 2] ∩Q

) .

Czy który± z podanych zbiorów jest brzegowy lub g¦sty?

Zad 2. Na pªaszczy¹nie euklidesowej R2 wyznaczy¢ wn¦trze, domkni¦cie, brzeg oraz po- chodn¡ zbioru

A = [0, 1]× [0, 1), B = {(

1

n , (−1)n

) : n ∈ N

} ,

C = {(x, y) : x, y ∈ Q}, D = {(x, y) : y = sin 1 x , x > 0},

E =

{ (x, y) : y =

1

n x, n ∈ N

} , F =

{ (x, y) : y2 + x2 =

( 1− 1

n

)2 , n ∈ N

} ,

G = {(x, y) : y = qx, q ∈ Q} , H = {(x, y) : x ∈ [1, 2) ∩Q, y ∈ (1, 2) \Q} .

Czy który± z powy»szych zbiorów jest g¦sty lub brzegowy?

Zad 3. Wyznaczy¢ wn¦trze, domkni¦cie, brzeg oraz pochodn¡ podzbioru

A = ( Glowa \ (Oczy ∪ Usta)

) ∪ {(2, 4), (4, 4)}

pªaszczyzny euklidesowej (R2, d) (d jest metryk¡ euklidesow¡), gdzie

Glowa = {(x, y) : d ( (x, y), (3, 3)

) ≤ 3}, Usta =

{( 2, 2 +

k

4

) : k = 0, ..., 8

} ,

Oczy =

{ (x, y) : d

( (x, y), (2, 4)

) ≤ 1

2 lub d

( (x, y), (4, 4)

) ≤ 1

2

} .

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome