Operacje w przestrzeni z pewną miarą - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Operacje w przestrzeni z pewną miarą - Ćwiczenia - Teoria miary i całki, Notatki'z Teoria miary i całki. University of Bialystok

PDF (96.7 KB)
1 strona
516Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii miary i całki: operacje w przestrzeni z pewną miarą .
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Ogólna teoria caªki

Lista 4

Zad 1. Niech µF b¦dzie miar¡ dan¡ przez dystrybuant¦ F . Obliczy¢ caªk¦ ∫

X f(x) dµF (x),

gdzie

a) F (x) =

 0, x ∈ (−∞, 1

3 ],

x2 x ∈ (1 3 , 1

2 ],

1 x ∈ (1 2 ,+∞)

f(x) =

{ x, x /∈ C, x lnx x ∈ C,

X = R,

b) F (x) =

 0, x ∈ (−∞, 1

3 ],

1 3 x x ∈ (1

2 , 2

3 ],

1 x ∈ (2 3 ,+∞)

f(x) =

{ 1, x /∈ C, x x ∈ C,

X = R,

c) F jest dystrybuant¡ Cantora, f(x) = x, X = [−5, 7],

d) F (x) =

 x3, x ∈ [0, 1

4 ],

x+ 1 x ∈ (1 4 , 2],

5 x ∈ (2, 3] f(x) =

 3n, x ∈ [ 1

5n+1 , 1

5n ) \ C,

arctgx x ∈ C, x lnx x ∈ (1, 3]

X = [0, 3].

Zad 2. Niech (N, 2N, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ licz¡c¡. Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu funkcyjnego {fn}n∈N oraz zbie»no±¢ ci¡gu caªek

∫ N fn dµ, gdy

a) fn(k) =

{ 1 n , 1 ≤ k ≤ n,

0 k > n, b) fn(k) =

{ 1 k , 1 ≤ k ≤ n,

0 k > n, .

Zad 3. Niech (X,Σ, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ sko«czon¡. Pokaza¢, »e je±li ci¡g funkcji {fn}n∈N caªkowalnych zbiega jednostajnie do funkcji f , to limn→∞

∫ X fn dµ =

∫ X f dµ.

Zad 4. Obliczy¢ lim infn→∞ ∫

R fn(x) dx oraz ∫

R lim infn→∞ fn(x) dx, gdy

a) fn =

{ I[0, 1

2 ], n jest nieparzyste,

I[ 1 2 ,0] n jest parzyste,

b) fn = 1

n I[−n,n], b) fn = nI[n,n+ 1

n ].

Zad 5. Obliczy¢ granice z nast¦puj¡cych wyra»e«

a)

∫ R e−|x| sinn x dx, b)

∫ 1 0

n √ x lnx dx,

c)

∫ ∞ 0

(1 + x)n

1 + (1 + x)n e−x dx, d)

∫ {x:|x|≤1− 1

n }

x2n

2n dx,

e) Σ∞k=1 exp

{ −k

( 2 + cos

k

n

)} , f) Σ∞k=1

1

k2

( 1− min(k, n)

n

) .

Zad 6. Šatwo odgadn¡¢ granice caªek:∫ n 0

( 1− x

n

)n e

x 2 dx,

∫ n 0

( 1 +

x

n

)n e−2x dx.

Sprawdzi¢, czy zostaªy one odgadni¦te poprawnie.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome