Gradient funkcji. Różniczka zupełna - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University
Aleksy
Aleksy22 March 2013

Gradient funkcji. Różniczka zupełna - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Opole University

PDF (50.9 KB)
5 strona
675Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z zakresu algebry: gradient funkcji, różniczka zupełna.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 5
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
4.3. Gradnient funkcji. Różniczka zupełna

4.3. Gradient funkcji. RóŜniczka zupełna

Definicja

Wektor n , którego składowymi są pochodne cząstkowe funkcji z = f (x1, x2, .... xn) w

punkcie P( 1x , 2x , .... nx ) nazywamy gradientem funkcji w tym punkcie i oznaczmy:

n = grad f (x1, x2, .... xn) = [ ' 1x

f , ' 2x

f , …, ' nx

f ] = [  

  

∂ ∂

1x

f , 

  

∂ ∂

2x

f , …, 

  

∂ ∂

nx

f ].

Gradient w danym punkcie jest prostopadły do warstwicy i wskazuje kierunek

maksymalnego wzrostu funkcji.

Przykład

RozwaŜamy funkcję f(x, y) = 9

2y + 4

1 (x – 5)2.

Mamy 'xf = ½ x –10, ' yf = 9

2y .

JeŜeli P(20,9) , to n = grad f(20, 9) = [0, 2].

Wykresem funkcji f(x, y) = 9

2y + 4

1 (x – 5)2 w układzie współrzędnych Oxyz

jest powierzchnia o równaniu

z = 4

1 (x – 5)2 + 9

2y .

Jest to paraboloida eliptyczna.

Plan warstwicowytej powierzchni jest rodziną krzywych o równaniu 4

1 (x – 5)2+ 9

2y = h

(dla konkretnie danych h rzeczywistych). Jest to zatem rodzina elips.

Dla h =1 otrzymamy elipsę o półosiach

równych 2 i 3 i wierzchołkach A(3, 0), A’

(7,0), B(5,-3), B’(5,3).

Aby wyznaczyć warstwicę funkcji z = 4

1 (x – 5)2 + 9

2y przechodzącą przez P

Obliczamy: h = 4

1 (20 – 5)2 + 9

92 = 4

261 .

Jest nią elipsa o równaniu 4

1 (x – 5)2 + 9

2y = 4

261 . Otrzymamy ją rzutując prostopadle na

płaszczyznę Oxy przekrój paraboloidy z = 4

1 (x – 5)2 +

9

2y płaszczyzną o równaniu

z = 4

261 . Ta płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oxy i przechodzi przez punkt

P’(20,9, 4

261 ).

Gradient, jako wektor n = grad f(20, 9) = [0, 2] jest prostopadły do warstwicy w

punkcie P(20, 9) (czyli prostopadły do stycznej przechodzącej przez punkt P(20, 9) tej

warstwicy) i wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu funkcji f .

Rysunek przedstawia gradient rozwaŜanej funkcji oraz styczną do tej warstwicy.

Przykład

RozwaŜmy funkcję f(x, y, z) = 9x2 + 4y2 + z2 – 24 oraz powierzchnię o równaniu

9x2 + 4y2 + z2 – 25 = 0. Powierzchnią tą jest elipsoida.

a) Wyznacz współrzędne wektora prostopadłego do tej elipsoidy w punkcie P(1, 2, 0) tej

x

20

[0,2]

0

y

9

elipsoidy.

b) Napisz równanie płaszczyzny stycznej do tej elipsoidy przechodzącej przez punkt

P(1, 2, 0).

a) Wektor prostopadły do tej elipsoidy jest gradientem funkcji f.

Zatem wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji f:

fx = 18x, fy = 8y, fz = 2z.

Stąd gradient n = grad f (x, y, z) = [18x, 8y, 2z] .

Punkt P(1, 2, 0) jest punktem tej elipsoidy (jego współrzędne spełniają równanie

elipsoidy).

Gradient n = grad f (1, 2, 0) = [18, 16, 0] jest wektorem prostopadłym do tej elipsoidy

w punkcie P.

b)

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni o równaniu f(x, y, z) = 0 w jej

punkcie P0 (x0, y0,z0) ma postać

fx(P0) (x – x0) + fy(P0) (y – y0) + fz(P0) (z – z0) = 0.

Podstawiając wyznaczone w a) wielkości otrzymujemy:

18(x– 1) + 16(y – 2) + 0(z – 0) = 0.

Równanie płaszczyzny stycznej do elipsoidy 9x2 + 4y2 + z2 – 25 = 0 przechodzącej przez

punkt P(1, 2, 0) jest następujące: 18x + 16y – 50 = 0.

Ŝniczka zupełna

ZałóŜmy, Ŝe funkcja z = f(x1, x2, …, xn) n – zmiennych jest róŜniczkowalna, czyli ma

pochodne cząstkowe rzędu pierwszego ' 1x

f , ' 2x

f , … , ' nx

f w punkcie P0 swojej dziedziny.

Definicja

Ŝniczką zupełną (symbol df ) funkcji f w punkcie P0 dla przyrostów dx1, dx2, … , dxn

zmiennych x1, x2, …, xn nazywamy wyraŜenie df = ' 1x

f dx1 + ' 2x

f dx2 + … + ' nx

f dxn .

W przypadku funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) mamy

df = 'xf dx + ' yf dy.

Niech ∆f oznacza przyrost funkcji z = f(x, y) między punktami (x0 + dx , y0 + dy )

i (x0, y0 ), czyli ∆f = f(x0 + dx , y0 + dy ) − f(x0, y0 ). Mamy:

Twierdzenie

JeŜeli funkcja z = f(x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu P0 (x0, y0 ) ciągłe pochodne

cząstkowe oraz punkt P1(x0 + dx , y0 + dy ) naleŜy do tego otoczenia, to dla małych

przyrostów dx, dy. zmiennych x, y róŜnica ∆f – df jest liczbą dowolnie małą.

Fakt ten jest podstawą do zastąpienia przyrostu funkcji ∆f jej róŜniczką zupełną df jako

przybliŜeniem, jeŜeli tylko przyrosty zmiennych są małe. W szczególności moŜemy

oszacować błąd przy obliczaniu wartości f(x, y) funkcji dla wartości argumentów x i y

uzyskanych w wyniku pomiarów lub obliczeń.

Niech, np. x0 i y0oznaczają przybliŜenia pewnych wielkości x i y oraz δx, δy

odpowiednie błędy pomiarów, δf maksymalny błąd bezwzględny przybliŜenia f(x0, y0)

wartości f(x, y) i niech funkcja z = f(x, y) spełnia załoŜenia udowodnionego wyŜej

twierdzenia. Wówczas, dla małych przyrostów dx = x - x0 , dy = y – y0 mamy równość

przybliŜoną

∆f ≈ 'xf (x0, y0 ) dx + 'yf (x0, y0 )dy

oraz δf ≈ | 'xf | δx +| 'yf |δy , gdy błędy pomiarów δx δy są małe.

Przykład

Zmierzono prostokątny plac z dokładnością do 0,1 m i otrzymano wyniki 60m i 50 m.

Oszacuj maksymalny błąd, jaki popełniamy twierdząc, Ŝe pole powierzchni tego prostokąta

wynosi 30 arów.

Rozwiązanie

Niech f(x, y) = xy będzie funkcją określoną w zbiorze D = {(x,y): x > 0 i y > 0}.

Funkcja f spełnia załoŜenia cytowanego wyŜej twierdzenia.

Wtedy 'xf (x, y) = y, ' yf (x, y) = x

oraz d f = y dx + x dy.

Skoro δf ≈ | 'xf | δx +| 'yf |δy, więc δf ≈ y δx + x δy.

Dzieląc obustronnie ostatnią równość przez f(x, y) = xy otrzymamy

),( yxf

fδ ≈

x

xδ +

y

yδ .

Mamy x = 60, y = 50, δx = δy = 0,1.

Zatem ),( yxf

fδ ≈

60

1,0 +

50

1,0 =

3000

11 ≈ 0,004 =0,4%.

Maksymalny błąd względny obliczenia pola nie przekracza 0,4% . Zadania

1. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni o równaniu f(x,y,z) = 0

i przechodzącej punkt P tej powierzchni, gdy:

a) f(x, y, z) = –5x2 + 2y – 3xz + 4, P(0, –2, 5),

b) f(x, y, z) = 7x2 + 2y-3 – xz2 + 4z –9, P(1, -1, 2).

2. Zmierzono niektóre wymiary obiektu P z dokładnością do 0,01 m. Oszacuj maksymalny

błąd, jaki popełniamy twierdząc, Ŝe miara tego obiektu wynosi a, gdy

a) P jest prostopadłościanem o wymiarach 15cm, 12cm, 8cm, zaś a = 1440 cm3.

b) P jest kulą o średnicy równej 1m, zaś a = 4,17 m3.

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome