Iloczyny - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Iloczyny - Notatki - Algebra, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (231.8 KB)
6 strona
489Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: iloczyny.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 6
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

Definicja

Superpozycją (złoŜeniem) odwzorowanie f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie

odwzorowanie g°f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)] Definicja

Odwzorowanie f:X→Y nazywamy odwracalnym, jeŜeli istnieje taka funkcja g:Y→X,

Ze spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id x X→X:id(x)=x).

Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f 1−

∀x∈X f 1− [f(x)]=x i ∀y∈Y f 1− [f(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją.

Definicja

JeŜeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę – półgrupą unitarną.

Definicja

Półgrupę unitarną komutatywną, w której kaŜdy element ma element symetryczny, tzn.

∀A ∃a’∈A a#a’=a’#a=e nazywamy grupą abelową. Definicja

Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:

1.para (A,#)- jest grupą abelową

2.para (A,°)- jest półgrupą

3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A

(a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem. Definicja ciała

Pierścień całkowity, w którym kaŜdy element niezerowy ma element symetryczny

(względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami

albo skalarami.

Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej)

Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V

odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:

1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb

2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa

3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa)

4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a

odwzorowanie S, mnoŜeniem skalarów przez wektory.

Definicja

Kombinacją liniową n wektorów a1 ,a 2 ,...,a n z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o

współczynnikach nααα ,...,, 21 nazywamy element przestrzeni V postaci

∑ =

=+++ n

ik

kknn aaaa αααα ...2211 .

Definicja

Wektory a1 ,a 2 ,...,a n ∈V(K) są liniowo zaleŜne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się

przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.

docsity.com

Dowód:

Wektory a1 ,a 2 ,...,a n są liniowo zaleŜne ⇒ 0...2211 =+++ nnaaa ααα ale istnieje α k ≠0 ⇒

kk aα = nnkkkk aaaa αααα −−−−−− ++−− ...... 111111 ⇒ n k

n k

k

k a

k

k k aaa

k aa

α

α

α

α

α

α

α

α −−−−−

− = +

+ −

− ...... 1 1

1 1

1 1

⇐wynika, Ŝe jeden z wektorów da się przedstawić jako kombinacja pozostałych.⇐

nnmmmmam aaaaa ββββ +++++= ++−− ...... 11111

⇒ 0...)1(... 111111 =+++−+++ ++−− nnmmmm aaaa ββββ . Kombinacja jest nietrywialna poniewaŜ

β n =-1≠0, czyli wektory są liniowo zaleŜne.

Definicja

Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e i

liniowo niezaleŜne, przy czym kaŜdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji

liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i

oznaczamy symbolem dimV. ∀∋a=∑ ∈Ii

iieα - rozkład wektora w bazie {e i }

Liczby zespolone

Twierdzenie 1

JeŜeli liczby zespolone z i z’ są róŜne od zera, a ϕ1 i ϕ 2 są dowolnymi argumentami

tych liczb, to suma ϕ1 +ϕ 2 jest argumentem iloczynu zz’ zaś róŜnica ϕ1 -ϕ 2 jest

argumentem ilorazu 'z

z

Twierdzenie 2 (wzory Moivre’a)

JeŜeli liczba zespolona z jest róŜna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to

liczba rzeczywista nϕ , gdzie n∈N , jest argumentem liczby z n .

(cosϕ+isinϕ) n =cosnϕ+isinnϕ

z n =|z| n ( cosnϕ+isinnϕ) Twierdzenie

JeŜeli z≠0 i z=|z|(cosϕ+isinϕ), to n z jest zbiorem n-elementowej postaci:

n z = ) 2

sin 2

(cos|| n

k i

n

k zn

πϕπϕ + +

+ ; k=0,1,2,...,n-1

Twierdzenie Bezouta

JeŜeli z 0 jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez

dwumian z- z 0 i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z 0 )|p(z).

Twierdzenie d’Alamberta

KaŜdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomiany w liczbie zespolonej

Twierdzenie

JeŜeli liczba zespolona z 0 jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach

rzeczywistych, to równieŜ pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba spręŜona 0z .

Funkcje wymierne

Twierdzenie

KaŜdą funkcję wymierną właściwą q

p moŜna przedstawić w postaci sumy pewnej

liczby ułamków prostych, przy czym:

docsity.com

1.KaŜdemu czynnikowi postaci (x- x 0 ) k w rozkładzie mianownika q na czynniki

odpowiadają w tej sumie składniki : 0

1

1 0

1

0

... )()( xxxxxx k

k

k

k

− ++

− +

− − + ααα ; gdzie α1 ...α k ∈R

2.KaŜdemu czynnikowi postaci (x 2 +bx+c) k w rozkładzie mianownika q na czynniki

odpowiadają w tej sumie składniki: cbxx

x

cbxx

x

k

kk

++

+ ++

++

+ 2

11

2 ...

)(

γβγβ gdzie

,11 ,...,;,..., kk γγββ b,c∈R oraz b 2 -4c<0

Macierze i wyznaczniki

Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest

iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K :

{1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a ij ∈K

Definicja

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nm× nazywamy wartość odwzorowania

det: KW nm

→ ×

zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki :

1.jednorodność ni Ka ∈∀ ∀λ∈K det(a1 ,...,λa i ,...,a n )=λ(a1 ,...,a i ,...a n )

2.addytywność :, nii Kba ∈∀ det ),...,,...,( 1 nii abaa + =det ),...,,...,( 1 ni aaa +det ),...,,...,( 1 ni aba

3. n ji Kaa

ji

∈ ≠

∀ , det ),...,,...,...,( 1 nji aaaa =-det ),...,,...,,...,( 1 nij aaaa

4.detE=det   

  

100 010 001

=1 E- macierz jednostkowa

Własności:

1.detA=detAT wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla

wierszy.

2.det(0 nm× )=0 z własności 1.

3.PomnoŜyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnoŜyć 1 kolumnę macierzy przez tę

liczbę.

4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.

5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o

dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det ),...,,...,,...,( 1 nki aaaa =-det ),...,,...,( ,...,1 nik aaaa detA=0

6.Macierz o kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0

det ),...,0,...,( 1 naa =det )),...,(,...,( 1 nii aaaa −+ = det ),...,( 1 naa +(-1)det ),...,( 1 naa =0

7.JeŜeli w macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to

wyznacznik macierzy równa się zero det ),...,,,,...,( 1 1

11 ni

k

kki aaaaa + ≠

− ∑α =

=det ),...,,...,( 111 naaa α +det ),...,,...,( 221 naaa α +...+det ),...,,...,( 1 nnn aaa α =0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy

kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zaleŜne. 10.(twierdzenie Cauchy’ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi

wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB)

jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

docsity.com

Definicja minora

Minorem M ij elementu a ij macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą

otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Definicja

Dopełnieniem algebraicznym A ij elementu a ij macierzy A nazywamy liczbę określoną

wzorem A ij :=(-1) ji+ M ij

Definicja

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyznacznik jest róŜny

od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobliwą.

Definicja

JeŜeli macierze A,B∈W nn×

oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do

macierzy A i oznaczamy ją symbolem A 1− .

Twierdzenie

Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.

Dowód: ⇒istnieje A 1− ⇒AA 1− =A 1− A=E⇒(twierdzenie Cauchy’ego) det

(AA 1− )=detE=1 (detA)(detA 1− )=1⇒detA≠0⇒A jest nieosobliwa

⇐ A jest nieosobliwa ⇒ detA≠0⇒moŜna zdefiniować B= Adet

1 A D

AB=A= Adet

1 A D =

Adet

1 AA D . Wniosek 3 z tw Laplace’a mówi, Ŝe

Adet

1 AA D =

Adet

1 (detA)*E=E BA=

Adet

1 A D A=

Adet

1 (detA)*E=E

Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Definicja

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie

f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania – nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

(1. i 2.)⇔ ∀λ1 ,λ 2 ∈K ∀a,b∈U f(λ1 a+λ 2 b)=λ1 f(a)+λ 2 f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa

przestrzeni V.

Twierdzenie Cramera.

JeŜeli macierz podstawowa A układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą

nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań dane

wzorami: ),...,det(

,...,,,,...,det(

det

det

1

111

n

niii i

aa

aabaa

A

A x +−== ;i=1,...,n lub x=A )1(− b

Dowód:detA i =det(a1 ,...,a 1−i ,b,a 1+i ,...,a n )=det(a1 ,...,a 1−i ,x1 a1 +x 2 a 2 +...+x n a n ,a 1+i ,...,a

n )= x1 det(a1 ,a 2 ,...,a 1−i ,a1 ,a 1+i ,...,a n )+x 2 det(a1 ,a 2 ,...,a 1−i ,a 2 ,a 1+i ,...,a n )+..+

x n det(a1 ,a 2 ,...,a 1−i ,a n ,a 1+i ,...,a n )+ x i det(a1 ,a 2 ,...,a 1−i ,a i ,a 1+i ,...,a n )

detA i =x i detA⇒ x i = A

Ai

det

det bo detA≠0

Wniosek:

Jednorodny układ Cramerowski ma tylko rozwiązanie zerowe.

docsity.com

Definicja rzędu macierzy.

Rzędem niezerowej macierzyA=( a1 ,a 2 ,...,a n ) nazywamy ilość liniowo niezaleŜnych

wierszy bądź kolumn tych macierzy.

Uwaga 1: Rzędem macierzy A nazywamy największy stopień jej minora róŜnego od 0.

Uwaga 2: DimL=( a1 ,a 2 ,...,a n )=r(A)

Własności rzędu macierzy:

1.r(A)=0⇔ A=0

2.r(A)=r(AT )

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈W nm×

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji,

które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się

jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonalnych usuniemy

jedną.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A b )

Dowód:

Układ ( nγγγ ,...,, 21 ) jest rozwiązaniem ⇔ nnaaa γγγ +++ ...2211 ⇔ b∈( a1 ,a 2 ,...,a n )

⇔L(a1 ,a 2 ,...,a n )=L(a1 ,a 2 ,...,a n ,b)⇔dim(a1 ...a n )=dim(a1 ...a n ,b) ⇔r(A)=r(A b )

Podsumowanie:

1.r(A)=r(A b )=n-ilość niewiadomych-jedno rozwiązanie

2. r(A)=r(A b )=k<n-nieskończenie wiele rozwiązań zaleŜnych od n-k parametrów.

3. r(A)≠r(A b )-układ sprzeczny-brak rozwiązań

Przestrzeń metryczna i unormowana

Definicja:

Odwzorowanie d:A 2 →R , gdzie A≠0 spełniające warunki :

1.∀a,b∈A d(a,b)=0⇔ a=b

2.∀a,b∈A d(a,b)=d(b,a) – symetria

3.∀a,b∈A d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna – nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze elementów (a,b)nazywamy odległością

elementów a i b.

∀a,b∈A d(a,b)≥0

d(a,b)= 2

1 [ d(a,b)+d(b,a)]≥

2

1 d(a,a)=0

Definicja

Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:

∀a,b∈A d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią. Definicja

Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:

∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A d(f(a),f(b))≤λd(a,b) nazywamy przekształceniem zwęŜającym lub kontrakcją.

Przestrzeń unormowana

Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R. Funkcjonał (odwzorowanie) ||•||:V→R spełniająca warunki:

1.∀v∈V ||v||=0 ⇔ v=0

2.∀λ∈R ∀v∈V ||λv||=|λ|*||v||

docsity.com

3.∀v1 ,v 2 ∈V ||v1 +v 2 ||≤||v1 ||+||v 2 || nazywamy normą w przestrzeni V, a przestrzeń

liniową z określoną normą nazywamy przestrzenią unormowaną.

Definicja iloczynu skalarnego

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, odwzorowanie g: V 2 →R spełniające warunki:

1.∀x,y,z∈V g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z) g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)

2.∀x,y,z∈V ∀λ∈R g(λx,y)=g(x,λy)=λg(x,y) - odwzorowanie jest liniowe

3.∀(x,y)∈V g(x,y)=g(y,x)

4.∀x≠0 g(x,x)>0 nazywamy mnoŜeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość

tego odwzorowania na wektorach ( yx, ) nazywamy iloczynem skalarnym tych

wektorów x°y=| x | | y | cosϕ. Przestrzeń liniowa, w której wprowadzono iloczyn

skalarny nosi nazwę przestrzeni unitarnej.

Własności iloczynu skalarnego:

1.∀x,y∈V |x+y|≤|x|+|y| - nierówność Minkowskiego

2.∀x,y∈V |x*y|≤|x|*|y| - nierówność Coshy-Buniakowskiego. Dowód:

λ∈R (λx+y)(λx+y)=λ 2 x 2 +2λxy+y 2 ≥0 dla kaŜdego x

∆≤0 ∆=(2x°y) 2 -4x 2 y 2 =4((x°y) 2 - x 2 y 2 )≤0

(x°y) 2 ≤ x 2 y 2 |x°y|≤|x| |y|

3. abba oo = 4. baba oo )()( αα = , α∈R 5. cbcacba ooo +=+ )(

Definicja iloczynu wektorowego

MnoŜeniem wektorowym w R 3 nazywamy odwzorowanie f:R 3 ×R 3 →R 3 spełniające warunki:

1.∀a,b∈R 3 a×b=-b×a

2.∀a,b,c∈R 3 a×(b+c)=a×b+a×c (a+b)×c=a×c+b×c

3.∀λR∈ ∀a,b∈R 3 (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

4. kji ikj jik

Własności:

1.Jeśli wektory a,b są kolinearne to 0=×ba ∃λ∈R b=λa )()( aaaa ×=× λλ ale z war.1. 0=×⇒×−=× aaaaaa

2. Wektory a i b są ortogonalne do wektorów a×b 0)( =×baao

Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a,b,c nazywamy liczbę

określoną wzorem: abc=a°(b×c). Własności:

1. bacacbcba ooo )()()( ×=×=×

2.Trzy niezerowe wektory a,b,c są współpłaszczyznowe (komplementarne) jeśli abc=0

3. Jeśli a,b,c∈R 3 a,b,c=det(a,b,c) 4.det(a,b,c) jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c

Definicja powierzchni stopnia II

Zbiór punktów (x,y,z)∈R 3 , których współrzędne spełniają zaleŜność :

0222 321 2

332313 2

2212 2 =+++++++++ czbybxbzayzaxzayaxyaxan gdzie:

0|||||||||||| 332313221211 ≠+++++ aaaaaa nazywamy powierzchnią stopnia II lub

kwadrykiem.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome