Przestrzenie metryczne - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok
wiedzmin
wiedzmin18 March 2013

Przestrzenie metryczne - Ćwiczenia - Topologia, Notatki'z Topologia. University of Bialystok

PDF (164.6 KB)
1 strona
570Liczba odwiedzin
Opis
Notatki omawiające stwierdzenia z zakresu topologii: przestrzenie metryczne.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Topologia Lista 0 (przestrzenie metryczne z „życia wzięte”)

Zad 1. Niech X będzie powierzchnią Ziemi. Niech d(x, y) oznacza odległość „w locie ptaka” między dwoma punktami x, y ∈ X, natomiast de(x, y) oznacza odległość rozumianą jako dłu- gość odcinka łączącego dwa punkty x, y ∈ X. Uzasadnić, że zarówno d jak i de są metrykami w zbiorze X. Jakie największe wartości te metryki mogą przyjmować?

Zad 2. NiechX oznacza zbiór miast wojewódzkich w Polsce. Niech d1(x, y) oznacza kolejową, a d2(x, y) drogową odległość między miastami x, y. Czy funkcje d1, d2 są metrykami?

Zad 3. Rozważmy inwestycję o cyklu projektowania wynoszącym N lat. Niech X będzie zbiorem potencjalnych wypłat w kolejnych latach. Jako miarę odchylenia zysków uzyskanych x = (x1, ..., xN) od zysków planowanych y = (y1, ..., yn) przyjmujemy

d(x, y) = N∑

n=1

|x′n − y′n|,

gdzie x′n i y′n są zdyskonwanymi na dzień dzisiejszy kwotami xn, yn.

a) Wykazać, że d jest metryką w X.

b) Firma planuje w trzech kolejnych latach osiągnąć następujące zyski: 0 PLN, 1 mln PLN oraz 2 mln PLN. Przy czym dopuszcza się, że wskaźnik odchylenia będzie mniejszy niż 1 mln, a stopa procentowa będzie stała i wynosić będzie 10%. Wyznaczyć wszystkie dopuszczalne wektory wypłat.

Zad 4. Zadaniem analityka pewnego banku jest codzienne porównywanie notowań spółek na warszawskiej giełdzie. Jako miarę odchylenia dwu notowań x(t), y(t) zmieniających się w czasie t ∈ [9, 171

2 ] (czyli w czasie otwarcia giełdy) przyjmujemy wskaźnik

d(x, y) = sup t∈[9,17 1

2 ]

|x(t)− y(t)|.

Sprawdzić, czy zbiórX wszystkich notowań w danym dniu wraz z funkcją d stanowi przestrzeń metryczną. Jeśli tak, to jak można w tej przestrzeni zinterpretować pojęcie kuli?

Zad 5. Niech X będzię siecią szlaków turystycznych w Tatrach. Niech d(x, y) oznacza czas niezbędny do przejścia z punktu x do punktu y. Czy d jest metryką w X?

Zad 6. Niech X oznacza śródlądowy (rzeczny) system transportu wodnego. Czy koszt trans- portu d(x, y) jednostki towaru z punktu x do punktu y jest metryką w zbiorze X?

Zad 7. Niech X oznacza zbiór przystanków lini autobusowej nr 8 w Białymstoku. Niech d(x, y) oznacza cenę przejazdu z przystanku x do przystanku y. Sprawdzić, czy d jest metryką w X, jeśli tak, to wyznaczyć dla niej postać kul otwartych.

Zad 8. Pokazać, że dowolny zbiór X wraz z funkcją określoną wzorem

dd(x, y) =

{ 0, gdy x = y, 1, gdy x 6= y,

jest przestrzenią metryczną. Metrykę dd nazywa się metryka dyskretną lub zero-jedynkową. Wyznaczyć postać kul otwartych, kul domkniętych oraz sfer w przestrzeni (X, dd).

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome