Wartość pieniadza w czasie - Notatki - Mikroekonomia - Część 1, Notatki'z Mikroekonomia. Warsaw School of Economics
Henryka
Henryka24 March 2013

Wartość pieniadza w czasie - Notatki - Mikroekonomia - Część 1, Notatki'z Mikroekonomia. Warsaw School of Economics

PDF (573.8 KB)
14 strona
727Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach wyeksponowane zostają zagadnienia z mikroekonomii: wartość pieniadza w czasie. Część 1.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 14
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
II rok semestr zimowy

1

Marek Garbicz

Wartość pieniądza w czasie

Ekonomista często staje przed problemem prowadzenia rachunku

ekonomicznego w sytuacji, gdy przychody i nakłady pochodzą z różnych okresów

czasu. W takim rachunku nie możemy po prostu sumować kosztów (czy przychodów)

z różnych momentów czasowych. Nie jest także poprawne proste porównywanie

poniesionych nakładów i osiągniętych korzyści. We wszystkich tych przypadkach

musimy bowiem brać pod uwagę, że pieniądz zmienia swą wartość w czasie.

Dlaczego wartość pieniądza ulega zmianie? 1 Zróbmy zatem pewien eksperyment

myślowy. Zapytajmy mianowicie samych siebie czy potraktowalibyśmy jako

równorzędne dwie oferty: (a) otrzymać dziś 100 zł, (b) otrzymać te same 100 zł za

rok. Nasza odpowiedź jest na ogół taka, że wolimy otrzymać określoną sumę

pieniędzy dziś.

To, że bardziej cenimy złoty dziś niż ten sam złoty w przyszłości wynika z trzech

przyczyn:

 kosztu utraconych możliwości,

 ryzyka,

 inflacji.

Koszt utraconych możliwości:

Lokując pieniądze w jakiekolwiek przedsięwzięcie tracimy możliwość

osiągania korzyści z tytułu alternatywnego wykorzystania naszych środków

pieniężnych. Jeżeli istnieje więcej niż jedna alternatywa (może ona polegać na

założeniu lokaty bankowej, zakupie papierów wartościowych, uruchomieniu

dochodowej działalności produkcyjnej lub handlowej, zakupie nieruchomości z którą

1 Interesujące studium tej sytuacji i jej konsekwencji czytelnik może znaleźć w: R. Pindyck, D. Rubinfeld:

Microeconomics, 6th edition, Pearson Education International, New Jersey 2005, rozdział 15. Sporo

przykładów jest także dostępnych w rozdziale Economics of Time pozycji J. Hirshleifer, A. Glazer: Price

Theory and Applications, Prentice - Hall International Editions New Jersey, wydanie 5 i późniejsze

docsity.com

2

wiążemy nadzieję na przyszły wzrost wartości, zakupie dzieł sztuki, rzadkich

znaczków czy wyrobów jubilerskich), wybieramy najkorzystniejszą.

Przyjmijmy, że ta najlepsza alternatywa oznacza lokatę bankową przynoszącą

nam r% przychodu od kapitału rocznie. W rezultacie po roku mielibyśmy K + r K =

(1+r)K pieniędzy zakładając, że inicjujemy naszą działalność gospodarczą z

kapitałem K zł. Właśnie dlatego wolimy dostać obiecaną sumę pieniędzy wcześniej,

bo możemy posiadany kapitał pieniężny wykorzystać jako źródło dochodu. Jeśli

kapitał otrzymamy później te dochody nie pojawią się. Te nieosiągnięte dochody

stanowią koszt alternatywny, koszt utraconych możliwości.

Po drugim roku kapitał, który lokujemy wyniesie:

Lokata: (1+r)*K plus oprocentowanie po roku r (1+r)K, co daje razem (1+r)K +

r(1+r)K = (1+r) 2

K zł po drugim roku. Po trzecim roku mamy do dyspozycji kapitał na

lokatę w wysokości (1+r) 2 K plus oprocentowanie r (1+r)

2 K, co łącznie przynosi:

(1+r) 2 K + r(1+r)

2 K = (1+r)

2 K (1+r) = (1+r)

3 K

Widać (formalnie można to pokazać metodą indukcji), że po t latach kapitał

powiększyłby się do K(1+r) t . Dzisiejsze K zł równoważne jest K(1+r)

t zł po t latach.

Odwróćmy teraz nasze rozumowanie: skoro 1 zł - dziś wart jest (1+r) t

- w roku

t, to jaka jest wartość 1 zł z roku t w złotych roku zerowego (czyli dziś).

Rok 0 Rok t

1 ≡ (1+r) t

1/(1+r) t

1

Wyrażenie 1/(1+r) t może być interpretowane jako dzisiejsza cena 1 złotego w

roku t – tym ze względu na koszt utraconych możliwości.

Przykład 1: Niech koszt alternatywny mierzony oprocentowaniem rocznych bonów

skarbowych wynosi 7,3% w skali rocznej 2 . Zakładamy, że oprocentowanie to jest

stałe w czasie. Ile warta jest dziś (rok 2007) dywidenda w wysokości 32 zł jaką

zapłaci spółka X w 2011 roku?

Rozwiązanie: Koszt alternatywny 7,3% = 0,073. Dywidenda zostanie wypłacona za

4 lata, czyli t = 4. Jeden złoty za cztery lata w dzisiejszych złotych wart jest

1/(1+0,073) 4 = 1/1,073

4 . Cała dywidenda warta jest 32 razy tyle, tj. 32/1,073

4 .

docsity.com

3

Operacja, jaką wykonaliśmy nazywa się dyskontowaniem. Dyskontowanie to

sprowadzanie wartości pieniężnych z różnych okresów do wartości pieniądza z

okresu bazowego (z reguły jest to moment dzisiejszy). By zdyskontować - wystarczy

pomnożyć ilość złotych z dowolnego okresu t przez współczynnik dyskontujący o

znanej nam już postaci 1/(1+r) t . Wielkość r nazywa się stopą dyskonta.

Współczynnik dyskontujący dla okresu bazowego ma wartość 1 (bo dla tego okresu

zachodzi t = 0). Współczynniki dyskontujące pokazują, że wraz z wydłużaniem się

okresu t, wartość pieniądza spada. Niech np. jak poprzednio r = 7,3%, wówczas

wartość współczynnika dyskontującego, tj. wartość 1 zł z przyszłych okresów w

złotych z 2007 roku będzie wynosiła odpowiednio dla różnych lat (w pierwszym

wierszu odległość w latach od dziś):

1 2 3 4 8 10 30 50 100

0,932 0,869 0,809 0,754 0,569 0,494 0,121 0,030 0,001

Oznacza to, że przyszłe, odległe zdarzenia mają znikomą wartość dla rachunku

ekonomicznego. W naszym przykładzie, dla stopy dyskonta 7,3%, zdarzenia za 30

lat i więcej mogą być w praktyce zaniedbywane jako nieistotne.

Ryzyko

Całe powyższe rozumowanie dotyczy sytuacji pewności. Co stanie się jeżeli

uwzględnimy stan ryzyka?

Niech f(s) oznacza funkcję gęstości prawdopodobieństwa, iż spodziewany

dochód w przyszłym roku uszczuplony zostanie o sK, gdzie 0  s  1 i tym samym

dochód wyniesie K - sK. Wtedy, możemy zdefiniować sobie miarę ryzyka w postaci

wartości oczekiwanej p = E(s) = sf(s)ds iż spodziewany dochód w przyszłym roku

ulegnie zmniejszeniu, średnio biorąc, p razy (0  p  1).

Przykład 2: Przyjmijmy, że posiadamy majątek o wielkości D. Istnieją jednak różne

zagrożenia poniesienia straty. Na przykład, prawdopodobieństwa potencjalnych strat

wyglądają następująco: 40% - brak strat, 20% - strata połowy majątku, 30% - strata

2 Uwaga: wielkość fikcyjna, nie odpowiada polskim realiom; przyjęta jedynie dla potrzeb zadania.

docsity.com

4

trzeciej części, 10% - utrata wszystkiego. Oczekiwane ryzyko strat p wynosi więc w

naszym przykładzie: p = 0,4*0+0,2*0,5+0,3*0,333+0,1*1 = 0,3.

Jeżeli porównujemy pewny dochód obecnie z przyszłym oczekiwanym

dochodem to, biorąc pod uwagę stopień ryzyka związany z przyszłymi dochodami i

miarę ryzyka p, przewidywany, przyszły dochód K równoważny jest bieżącemu - i

traktowanemu jako pewny - dochodowi w wysokości K(1 - p). Dla małych wartości p

(tj. kiedy p jest małym ułamkiem) wyrażenie 1 - p może być w przybliżeniu 3 zapisane

jako 1/(1+p). Zatem wyrażenie K(1 - p) jest w przybliżeniu równe K/(1+p). Ale wiemy,

że K(1 - p) jest wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego. K/(1+p) jest

więc też wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego.

W efekcie czynnik ryzyka skłania nas do wyceny przyszłego dochodu

według stopy dyskonta 1/(1+p). Ponieważ p jest miarą ryzyka tylko dla jednego

okresu, to stopa dyskonta dla t - tego roku wyniesie - o ile stopy ryzyka są

identyczne dla wszystkich lat 1/(1+p) t .

Inflacja

Najbardziej oczywistym powodem spadającej wartości pieniądza w czasie jest

inflacja, tj. zjawisko wzrostu cen. Jeżeli uwzględnimy roczne tempo wzrostu cen , to

po upływie roku wartość 1 złotego wyniesie, mierząc go wartością dzisiejszych

złotówek, 1/(1+). Po dwóch latach ta wartość złotego będzie 1/(1 + ) 2 . Ostatecznie

dyskontujemy (dla okresu 0) dochody przyszłych okresów stopą 1/(1+) t , gdzie t –

numer okresu.

Stopa dyskonta

Niech koszt utraconych możliwości wynosi w poszczególnych latach r1, r2,... ri . ;

niech stopa ryzyka wynosi p1, p2, ....pi,....; niech stopa inflacji wynosi 1, 2, .... i,....

Wówczas stopa dyskonta dla roku i wynosić będzie:

3 Wynika to z rozwinięcia wyrażenia 1/(1+p) w szereg Maclaurina. Tym samym przyszły dochód K traktujemy jako wartość K/(1+p) z okresu t = 0.

docsity.com

5

1

__________________________

i i i

[ (1+rk )*  (1+pk )*  (1+k )]

k=1 k=1 k=1

Jest często stosowaną praktyką założenie, że wszystkie ri = r, pi = p oraz i = .

Uzasadnieniem dla tej praktyki jest fakt, że zazwyczaj nie posiadamy dostatecznych

informacji by móc w sposób zobiektywizowany różnicować wartości tych parametrów

dla poszczególnych lat i wówczas na ogół przyjmujemy wartości aktualne. W tych

okolicznościach stopa dyskonta dla roku i upraszcza się do postaci:

1

_________________________

[(1+r)(1+p)(1+)] i

Stopa dyskonta może być interpretowana jako cena pieniądza w roku i-tym wyrażona

w jednostkach roku zerowego. Jeżeli wielkości r, p,  nie są duże możemy w

przybliżeniu zapisać (1+r)(1+p)(1+)  1 + r + p + . W praktyce posługujemy się

takim zapisem, gdzie wyrażenie R = r + p +  łącznie ujmuje trzy elementy rachunku:

koszt utraconych możliwości (w wymiarze realnym), ryzyko i inflację. Uwzględniając

tę notację współczynniki dyskontujące są wówczas wyrażeniami o postaci 1/(1+R) i .

Jak oszacować stopę dyskontadla potrzeb praktycznych?

Wykonując praktyczne obliczenia musimy znać wartość stopy dyskonta.

Wymaga to prognozy wielkości inflacji , oszacowania przyszłego ryzyka p oraz

kosztu alternatywnego r. Przy niskiej wartości inflacji (jak obecnie w Polsce)

prognoza przyszłej dynamiki cen może być oparta na aktualnych wskaźnikach zmian

cen. Nie popełnimy zapewne wielkiego błędu, gdy przyjmiemy do rachunków

prognozowaną inflację roczną na poziomie 2 – 3%. Ocena wielkości kosztu

alternatywnego jest z reguły oparta o realną (czyli po odjęciu inflacji) stopę zwrotu z

docsity.com

6

aktywów pozbawionych ryzyka. Takimi aktywami są skarbowe papiery dłużne, tj.

bony i obligacje skarbowe. Ponieważ papiery te emituje minister finansów, ryzyko ich

nie odkupienia jest praktycznie zerowe. Roczne stopy zwrotu z tych aktywów są

publikowane (np. w dzienniku „Rzeczpospolita”, czy też są dostępne w serwisach

internetowych). Na przykład średnia rentowność 5-letnich obligacji skarbowych (w

ujęciu rocznym) wynosi obecnie 4,99% (Rzeczpospolita z 21 lutego 2007). I ta

wielkość może być potraktowana jako przybliżona miara kosztu alternatywnego dla

polskiej gospodarki w 2007 roku i ewentualnie dla lat przyszłych. Z jednym jednak

kluczowym zastrzeżeniem. Zauważmy bowiem, że powyższa stopa zwrotu z obligacji

jest stopą nominalną, a nie realną. Rentowność ta zawiera już prognozowaną

inflację. Jeśli zatem wykorzystamy wielkość 4,99% dla szacowania stopy dyskonta,

to nie wolno nam dodawać jeszcze inflacji, bo wówczas inflacja zostałaby

uwzględniona dwukrotnie: raz poprzez zastosowanie nominalnej stopy zwrotu z

obligacji (zawierającej przyszłą dynamikę cen), i drugi raz przez dodanie

prognozowanej dynamiki cen. Z kolei jednak, gdy prowadzimy rachunki w cenach

stałych, musimy pamiętać, by posługując się rentownością papierów skarbowych

korygować dane źródłowe (zawierające wielkości nominalne) o prognozę inflacyjną.

Najbardziej arbitralną oceną jest szacunek ryzyka. Nie posiadamy tu

zobiektywizowanych miar. Dla polskiej gospodarki praktyczną wskazówką jest

odwołanie się do pomiaru ryzyka gospodarczego w krajach najwyżej rozwiniętych.

Ryzyko w Polsce nie może być niższe niż np. w USA czy w Europie Zachodniej. Dla

tych ostatnich krajów, o długiej tradycji gospodarki rynkowej, można statystycznie

wyliczyć ryzyko jako różnicę między średnią stopą zwrotu z akcji a stopą zwrotu z

papierów skarbowych. Akcje są papierami ryzykownymi, gdyż firmy mogą zawsze

zbankrutować. Rynek musi wynagradzać to ryzyko w postaci wyższych stóp zwrotu z

akcji niż z bezpiecznych obligacji. Jeśli dysponujemy dostatecznie długim szeregiem

czasowym (co najmniej kilkadziesiąt lat dla wyeliminowania skutków wahań

koniunktury; w Polsce okres funkcjonowania giełdy jest niestety raczej za krótki), to

wówczas możemy przeprowadzić odpowiednie rachunki. Dla krajów rozwiniętych

nadwyżka stopy zwrotu z akcji nad rentownością papierów skarbowych, czyli miara

ryzyka, wynosiła w latach 1970 – 1990 około 3,5% - 5,5% w skali rocznej. Wyznacza

to dolny pułap dla ryzyka szacowanego dla Polski. Po wejściu do Unii Europejskiej

docsity.com

7

średnie ryzyko dla polskiej gospodarki można zatem przyjąć na poziomie około 6%

(także w skali rocznej).

Powyższe rozważania sugerują, że przy rachunkach prowadzonych w cenach

bieżących stopa dyskonta R = r + P +  dla polskiej gospodarki może być ostatecznie

wyznaczana (dla warunków 2007 roku) na poziomie R = 4,99% + 6,00% ≈ 11,0%.

Rachunki w cenach stałych wymagałyby korekty R polegającej na odjęciu

prognozowanej inflacji rzędu 2% rocznie, co wyznacza stopę dyskonta R ≈ 9,0%.

Wycena papierów wartościowych

Zakładamy, że dany papier wartościowy wart jest tyle ile przyniesie on dochodu

w całym okresie jego życia. W przypadku akcji - teoretycznie - okres ten jest

nieskończenie wielki, natomiast dla obligacji obejmuje on okres do momentu wykupu.

Przeprowadzamy następujące rozumowanie: kurs bieżący papieru równy jest

sumie zdyskontowanych przychodów w całym okresie życia papieru. Przyszłe

przychody są zdyskontowane, bowiem jest to procedura pozwalająca sprowadzić

"przyszłe złotówki" do "dzisiejszych złotówek", wyrazić dochody przyszłych okresów

w dzisiejszej cenie pieniądza.

Ustalenie stopy dyskonta może być dość kłopotliwe. Po pierwsze, koszt

utraconych możliwości jest jednak wielkością subiektywną i różną dla każdego

podmiotu. Po drugie, ocena ryzyka jest także indywidualnie bardzo zróżnicowana,

zaś ocena przyszłej inflacji niepewna. W efekcie każdy podmiot może przyjmować

różne stopy dyskonta zależne od jego oceny ryzyka, przewidywanego tempa wzrostu

cen i kosztu utraconych możliwości. Powoduje to, że nawet wówczas gdy przyszłe

przychody oceniane są identycznie przez dwa różne podmioty, wartość danego

aktywu może być różnie oszacowana ze względu na różnice w przyjętej stopie

dyskontowej.

W jaki sposób określamy przyszłe przychody? Dochody z akcji to np. coroczne

dywidendy, zaś z obligacji to coroczne oprocentowanie plus, w ostatnim roku,

nominalna wartość obligacji (wykup obligacji). Zauważmy przy tym, że prognoza

docsity.com

8

wielkości wypłacanych w przyszłości dywidend wymaga dwóch zabiegów:

umiejętności przewidywania przyszłych zysków spółki i prawidłowej oceny przyszłej

polityki spółki co do podziału zysku. Są to wielkości jedynie przewidywane, a zatem

niepewne. Będą zapewne duże różnice w subiektywnej ocenie inwestorów co do

przyszłych dokonań spółek. W mniejszym stopniu dotyczy to obligacji, bo tu

nominalne oprocentowanie jest ustalone z góry.

Niech zatem obecny rynkowy kurs akcji np. firmy MAX wynosi K. Jeżeli nasza

ocena wartości tego aktywu oszacowana według powyższej metodologii wynosi L <

K, to jako właściciel sprzedajemy papier bo zarabiamy K - L. Wszyscy dla których L

< K kreują tym samym podaż akcji MAX. Są zapewne i tacy, dla których L > K i ci

zechcą akcje MAX kupować bowiem zyskują L - K. Ostatecznie suma

indywidualnych strumieni podaży i popytu wyznaczy rynkowy kurs akcji MAX.

Akcje

Niech roczne realne dochody z akcji MAX (dywidendy) są stałe i wynoszą d.

Operując wielkością realnych przychodów możemy pominąć czynnik inflacyjny .

Czynnik dyskontujący jest stały R = r + p. Wartość akcji szacujemy zatem jako sumę:

 

 d/(1+R)i = d* 1/(1+R)i = d/R

i=1 i=1

Ponieważ d jest stałe, to możemy ten czynnik wyciągnąć przed nawias.

Nieskończona suma  1/(1+R) i jest sumą wyrazów postępu geometrycznego o

ilorazie 1/(1+R) i pierwszym wyrazie równym 1/(1+R). Suma takiego postępu jest

dana wzorem: Suma = a1 q1

1 , gdzie q – iloraz postępu q < 1 oraz a1 pierwszy

wyraz. Suma = R1

1

R

R1 =

R

1 .

Jeżeli dochody d są wielkościami nominalnymi konieczne jest dodanie do

współczynnika R składnika inflacyjnego .

Przykład 3: Niech firma Y płaci rocznie 2,5 zł dywidendy w przeliczeniu na akcję.

Przyjmijmy oszacowaną wyżej stopę dyskonta na poziomie R = 11%. Aktualny kurs

docsity.com

9

akcji wynosi 26,30 zł. Ile warta jest ta akcja? Czy opłacalny jest zakup akcji? Czy

może warto akcje sprzedać?

Rozwiązanie: R = 0,11, zaś d = 2,5 zł. Wartość akcji = d/R = 2,5/0,11 = 22,73 zł.

Jeśli jesteś posiadaczem takiej akcji to sprzedaż jest opłacalna, bo dostajesz więcej

niż jest ona warta (26,30 > 22,73).

Obligacje

Niech obligacja o wartości nominalnej B i oprocentowaniu rocznym  żyje T lat.

Zdyskontowana suma przychodów wyznaczająca wartość obligacji może być

szacowana następująco:

T

B* *  1/(1+R) i + B/(1+R)

T

i=1

Zakładamy, że wyliczamy wartość obligacji w momencie emisji. Zdyskontowana

suma jest skończona bowiem właściciel obligacji czerpie stałe, coroczne przychody

w wysokości B* przez T lat. Ponadto w roku T następuje wykup obligacji po cenie

nominalnej B. Ponieważ B jest nominalną wartością obligacji (cena zakupu w

momencie t=0), to współczynnik dyskontujący musi zawierać  (R = r + p + ).

Przykład 4: Niech obligacja ma wartość nominalną B = 200 zł w momencie emisji, tj.

na rynku pierwotnym. Oprocentowanie obligacji , wypłacane raz do roku, wynosi

4% w stosunku do ceny nominalnej, tj. 8 zł rocznie na 1 obligację. Czas życia

obligacji (tzw. okres zapadalności) T = 5 lat. Stopę dyskonta wyliczamy na poziomie

R = 10,5%. Ile warta jest ta obligacja?

Rozwiązanie: R = 0,105, zaś B = 200,  = 0,04, T = 5.

B = 200*0,04 = 8. Wartość obligacji = 105,1

8 +

105,1 2

8 +

105,1

8 3 +

105,1

8 4

+ 105,1

208 5 =

151,34 zł. Ostatni wyraz sumy poza odsetkami zawiera wykup obligacji po cenie

nominalnej w piątym roku.

docsity.com

10

Wartość bieżąca netto (NPV)

Przyjmijmy, że przez g lat realizujemy inwestycję która przynosić będzie po jej

ukończeniu roczne, stałe zyski w wysokości d. Niech łączny okres budowy i

eksploatacji obiektu wynosi T lat. W roku T inwestycja jest całkowicie

zamortyzowana i wartość środków trwałych = 0. Zakładamy, że Ki oznacza nakłady

inwestycyjne w roku i. Kiedy uznamy opłacalność inwestycji? Sensowne jest

przyjęcie kryterium, iż warunkiem opłacalności jest by przychody z inwestycji w całym

okresie jej eksploatacji przewyższały nakłady. Nie możemy jednak zastosować

prostej formuły:

g

 Ki < (T - g)*d

i=1

jako kryterium bowiem musimy uwzględnić zmiany wartości pieniądza w czasie. Stąd

musimy dyskontować zarówno nakłady jak i zyski dla jakiegoś ustalonego momentu.

Niech momentem tym będzie początek budowy obiektu (t = 0). Wówczas nasze

kryterium przyjmie postać:

g T

 Ki /(1+R) i <  d/(1+R)i

1 g+1

Po lewej stronie nierówności mamy zdyskontowane na rok zerowy nakłady

inwestycyjne. Suma nakładów ma g składników, bo tyle lat trwa budowa. Po prawej

stronie występują zdyskontowane zyski, które pojawiają się dopiero w roku g+1, tj.

po zakończeniu inwestycji i są realizowane do roku T. Jeżeli warunek ten będzie

spełniony, wówczas możemy uznać inwestycję za opłacalną. Powyższy warunek

można zapisać także nieco inaczej:

T g

 d/(1+R)i -  Ki /(1+R) i > 0

g+1 1

Wyrażenie po lewej stronie nazywamy wartością bieżącą netto (net present value,

NPV). Zarówno przychody jak i nakłady dyskontowane są na ten sam moment i

docsity.com

11

dodawane do siebie, z tym iż nakłady traktowane są jako wielkości ujemne. Dodatnia

wartość NPV świadczy, że nakłady z nadwyżką pokryte są przez przychody. W tym

przypadku, gdy NPV > 0 uznajemy inwestycję za opłacalną. Gdy zachodzi natomiast

NPV < 0 inwestycja nie jest atrakcyjna.

Przykład 5: Cykl inwestycyjny trwa 2 lata, a rozkład nakładów inwestycyjnych w

czasie jest następujący: rok 1 – 31,0 mln zł, rok 2 – 2,6 mln zł. Po zakończeniu

okresu budowy rozpoczynamy eksploatację obiektu, która trwa 3 lata przynosząc

zyski po 14,0 mln zł rocznie. Czy inwestycja jest opłacalna, jeśli przyjęta stopa

dyskonta wynosi 11%?

Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,11. Wyliczamy wartość bieżącą netto jako:

NPV(R = 0,11) = 14/1,11 3 +14/1,11

4 +14/1,11

5 - 31/1,11 – 2,6/1,11

2 = - 2,27 < 0

Nakłady inwestycyjne (ze znakiem minus) dyskontujemy dla pierwszego i drugiego

roku, zaś zyski (ze znakiem plus) dyskontujemy dla okresu od trzeciego do piątego.

NPV = - 2,27 i jest ujemne co oznacza, że nie opłaca się inwestować.

Przykład 6: Czy coś zmieni się w poprzednim zadaniu jeśli nakłady inwestycyjne

będą rozłożone inaczej, tj. w roku 1 – 2,6 mln zł, w roku 2 – 31 mln zł?

Rozwiązanie: Teraz wyliczamy wartość bieżącą netto jako:

NPV(R = 0,11) = 14/1,11 3 +14/1,11

4 +14/1,11

5 - 2,6/1,11 – 31/1,11

2 = 0,26 > 0

NPV = 0,26 i jest dodatnie co oznacza, że tym razem inwestycja byłaby opłacalna.

Zauważmy porównując wynik z przykładu 5 i 6, że łącznie nakłady inwestycyjne były

w obu przykładach takie same tj. 33,6 mln zł. Ale ich rozkład w czasie był odmienny.

Procedura dyskontowania oznacza, że im bardziej odległy w przyszłości moment,

tym mniejsza jest wartość złotego wyrażona w dzisiejszych złotych. Zatem - z punktu

widzenia opłacalności projektu inwestycyjnego - im później ponosimy nakłady i im

wcześniej pojawiają się efekty tym lepiej. Wyliczenie wartości bieżącej netto

pozwala uchwycić ten ważny aspekt czasowy rozkładu przychodów i nakładów.

Przykład 7: Wylicz wartość bieżącą netto następującego przedsięwzięcia. Kupujesz

dziś po cenie 95 zł obligację o nominale 100 zł. Wiesz, że podlega ona wykupowi za

docsity.com

12

2 lata przynosząc po 5% odsetek rocznie. Zakładamy brak ryzyka i inflacji, zaś stopa

procentowa od lokat wynosi 6% rocznie. Czy transakcja jest opłacalna?

Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,06 (równa stopie procentowej od lokat, bo nie

ma ryzyka i inflacji), wartość nominalna obligacji B = 100, roczne oprocentowanie

obligacji  = 0,05, okres do wykupu T = 2.

NPV(R = 0,06) = 100*0,05/(1+0,06) + (100*0,05 + 100)/(1 + 0,06) 2 – 95 = 3,17 > 0

Wyliczamy wartość NPV dla stopy dyskonta 6% jako zdyskontowaną sumę

przychodów (w tym przypadku odsetki i wartość wykupionej przez emitenta obligacji)

pomniejszoną o zdyskontowaną sumę nakładów (w tym przypadku jest to koszt

zakupu papieru wartościowego). Pierwszy składnik sumy to wartość odsetek w roku

nr 1 w złotych roku bazowego (zerowego), drugi składnik – odsetki plus wartość

nominalna wykupionej obligacji zdyskontowana dla dwóch lat. Od tej sumy

odejmujemy 95 zł jako nakład na zakup obligacji. Ponieważ zakup ten nastąpił w

roku zero współczynnik dyskonta jest tu równy 1. Wartość bieżąca netto NPV wynosi

3,17 zł i jest dodatnia co oznacza, że transakcja jest opłacalna.

Przykład 8: Co zmieni w poprzednim przykładzie wzrost stopy dyskonta do 10%?

Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,1, wartość nominalna obligacji B = 100, roczne

oprocentowanie obligacji  = 0,05, okres do wykupu T = 2.

NPV(R = 0,1) = 100*0,05/(1+0,1) + (100*0,05 + 100)/(1 + 0,1) 2 – 95 = -3,68 < 0

Widać, że wzrost stopy dyskonta spowodował, że inwestycja przestała być opłacalna

(NPV < 0)

Przykład 8 pokazuje bardziej ogólną prawidłowość. Wartość bieżąca netto jest

malejącą funkcją stopy dyskontowej. Pokazuje to rysunek poniżej.

docsity.com

13

Dla dostatecznie dużej stopy dyskontowej NPV będzie zawsze ujemne, a

przedsięwzięcie inwestycyjne nieopłacalne.

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)

Wartość R taka, że dla danych Ki i di wartość bieżąca netto równa się zero

nazywana jest wewnętrzną stopą zwrotu (internal rate of return, IRR). Oznacza to, że

wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa, dla której zachodzi NPV (IRR) = 0.

Wewnętrzna stopa zwrotu mówi nam, na jaką średnioroczną stopę przychodu od

inwestycji możemy liczyć. By dokonać wyboru musimy porównać wyliczoną IRR z

minimalną stopą, którą uznamy za graniczną. Jeżeli IRR będzie wyższa niż przyjęta

stopa minimalna uważamy decyzję inwestycyjną za opłacalną.

Przykład 9: Czy kupiłbyś za 180 zł obligację o wartości nominalnej 200 zł i terminie

wykupu za 3 lata, jeśli wiesz, że jej oprocentowanie wynosi 2.5% rocznie.

Rozwiązanie: Wyliczmy wewnętrzną stopę zwrotu IRR. Nakład K0 = 180, zaś

dochody di = 200*0,025 dla i = 1,2 oraz d3 = 200*0,025 + 200. W okresie trzecim

NPV

R

docsity.com

14

inkasujemy odsetki, ale następuje także wykup obligacji. Musimy rozwiązać

równanie:

-180 + 200*0,025/(1+R) + 200*0,025/(1+R) 2 + (200*0,025 + 200)/(1+R)

3 = 0

Oczywiście możemy to zrobić szukając miejsc zerowych wielomianu metodą prób i

błędów, ale na ogół korzystamy z funkcji IRR w arkuszu kalkulacyjnym Excel. W

Excelu znajdujemy, że stopa dyskonta R, dla której równanie jest spełnione wynosi

6,26%.

Czy jest to wystarczająca stopa zwrotu? Minimalna stopa zwrotu, jaką możemy

zaakceptować jest równa sumie kosztu alternatywnego powiększonego o inflację i

ryzyko. Wiemy, że dla polskiej gospodarki miarą kosztu utraconych możliwości

(nominalnie) jest rentowność papierów skarbowych. Wynosi ona dla obligacji

skarbowych 5-letnich 4,99%, zaś dla obligacji dwuletnich 4,72% (Rzeczpospolita z

21 lutego 2007). Uśredniając, mamy koszt alternatywny na poziomie 4,86%.

Ponieważ średnie ryzyko wynosi około 6%, ostatecznie otrzymujemy minimalną

pożądaną stopę dyskonta na poziomie 10,86%. Ponieważ stopa IRR = 6,26% jest

mniejsza niż wartość minimalna, transakcję zakupu traktujemy jako nieatrakcyjną.

Przykład 10: Wahamy się między zakupem energochłonnej (A) a energooszczędnej

lodówki (B). Poza zużyciem energii oba sprzęty mają identyczne walory. Lodówka A

kosztuje o 2000 zł taniej, lecz jest w eksploatacji droższa o 500 zł rocznie. Lodówki

zużywają się po 6 latach. Co wybierzemy?

Rozwiązanie: Płacąc jednorazowo drożej o 2000 zł osiągamy przez 6 lat coroczne

korzyści w postaci oszczędności na kosztach energii. Nakład K = 2000, roczne

korzyści di = 500. Wyliczmy wewnętrzną stopę zwrotu IRR, czyli taką stopę R, która

spełnia równanie: -2000 + Σ 500/(1+ R)i = 0 (sumowanie po i od 1  6).

IRR = 13%. Porównując ją z minimalną żądaną stopą zwrotu w wysokości 10,86%

konkludujemy, że opłaca się nam kupić lodówkę droższą, ale tańszą w eksploatacji.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome