Model statystyczny - Notatki - Statystyka opisowa, Notatki'z Statystyka opisowa. Poznan University of Economics
atom_86
atom_8611 March 2013

Model statystyczny - Notatki - Statystyka opisowa, Notatki'z Statystyka opisowa. Poznan University of Economics

PDF (196.3 KB)
2 strony
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu statystyki opisowej: model statystyczny; definicja i przykład.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Model statystyczny.

Punktem wyjścia w naszych rozważaniach będzie zawsze pewien element losowy X (zmienna losowa, skończony lub nieskończony ciąg zmiennych

losowych) odpowiadający wynikowi eksperymentu czy obserwacji, który

będziemy nazywali próbą. Zbiór wartości X elementu losowego X

nazywamy przestrzenią próby. W dalszym ciągu będziemy zakładali, że X jest pewnym skończonym lub nieskończonym zbiorem przeliczalnym, albo

pewnym obszarem w przestrzeni R n . Niech P =   :P będzie rodziną

rozkładów prawdopodobieństwa na przestrzeni prób X , indeksowaną

pewnym parametrem . Dokładniej, P jest rodziną rozkładów

prawdopodobieństwa na odpowiednim -ciele zdarzeń losowych. Jednakże

przy naszym założeniu o przestrzeni prób X, będzie to -ciało wszystkich

podzbiorów albo -ciało podzbiorów borelowskich, dlatego też nie

będziemy tego specjalnie podkreślali. Zauważmy, że dopóki nic nie

zakładamy o zbiorze indeksów , to parametryzacja rodziny rozkładów P

odbywa się bez straty ogólności, ponieważ jako parametr  rozkładu PP

można przyjąć sam rozkład P. Zawsze będziemy zakładali, że rozkłady są identyfikowalne, tzn. dla  1 2 mamy P P 1 2 .

Definicja. Parę    :,X P nazywamy przestrzenią statystyczną, a

każde odwzorowanie g k: X R k-wymiarową statystyką.

Jeżeli X =  nXXX ,,, 21  , gdzie nXXX ,,, 21  jest ciągiem niezależnych

zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa P na

X, to próbę tę nazywamy prostą próbą losową o liczności n, a

odpowiadająca jej przestrzeń statystyczna jest przestrzenią produktową

  nP  :,X .

Przykład. Skonstruujmy przestrzeń statystyczną dla eksperymentu, w którym dokonujemy n niezależnych rzutów monetą. Wynik pojedynczego

rzutu jest zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym. Złóżmy, że

prawdopodobieństwo orła w pojedynczym rzucie jest równe (0,1).

Zdefiniujmy zmienną losową opisującą wynik i-tego rzutu, 1  in:

   

rzucie tym- w orzeµ1

rzucie tym-reszka w 0

i

i X i

Wówczas X = {0,1}, a    011  XPXP   . Przestrzeń statystyczna

jest przestrzenią produktową   nP  :,X .

Możliwy jest także inny sposób zdefiniowania przestrzeni statystycznej,

całkowicie równoważny wyżej opisanemu, gdzie przestrzeń prób X jest zbiorem wszystkich zero-jedynkowych ciągów n-wyrazowych ),,,( 21 nxxx  ,

a prawdopodobieństwo

     

  

n

i i

xn

n

i i

x

nxxxXP 1 1

21 1),,,(   .

docsity.com

Przykład. Dokonujemy n niezależnych pomiarów pewnej wielkości .

Każdy pomiar jest obarczony błędem losowym , który jest zmienną

losową o rozkładzie normalnym N(0,). Skonstruować przestrzeń

statystyczną. Jest oczywistym, że wynik i-tego pomiaru Xi i   ma rozkład normalny

N(,). Zatem mamy do czynienia z przestrzenią statystyczną :

 

n

x xf

 

 



  



  

   

  

  

  

   0 , :

2

1 exp

2

1 , 1

2

,

1  

  RR ,

lub inaczej

     

 



  



  

   

  

  

  

   

0 , : 2

1 exp2,,,, 1

1

2

21,

n  

  RR

n

i

i n

n

x xxxf  .

W dalszym ciągu będziemy zakładali, że mamy do czynienia z prostą

próbą losową o liczności n, tzn. z ciągiem niezależnych zmiennych losowych X X Xn1 2, , ,K o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa

P ,  i dystrybuancie F.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome