Zagadnienie Cauchy'ego - Notatki - Równania różniczkowe zwyczajne, Notatki'z Równania różniczkowe zwyczajne. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 March 2013

Zagadnienie Cauchy'ego - Notatki - Równania różniczkowe zwyczajne, Notatki'z Równania różniczkowe zwyczajne. University of Bialystok

PDF (83.3 KB)
1 strona
890Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z dziedziny równań różniczkowych zwyczajnych: zagadnienie Cauchy'ego.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument

Równania ró»niczkowe

Pomoc dydaktyczna 2

Denicja 1. Zagadnieniem Cauchy'ego, lub zagdanieniem pocz¡tkowym dla równania

dy

dx = f(x, y), (1)

nazywamy nast¦puj¡ce zadanie: w±ród wszystkich rozwi¡za« równania (1) znale¹¢ takie rozwi¡zanie y = y(x) w którym funkcja y(x) przybiera zadan¡ warto±¢ liczbow¡ y0 przy zadanej warto±ci liczbowej x0 zmiennej niezale»nej x:

y(x0) = y0

gdzie x0 i y0 s¡ z góry zadanymi liczbami tak, »e rozwi¡zanie speªnia warunek

y = y0 dla x = x0. (2)

Liczby x0, y0 nosz¡ nazw¦ danych pocz¡tkowych, a warunek (2) - warunku pocz¡tkowego rozwi¡zania y = y(x).

Warunek wystarczaj¡cy istnienia rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego.

Twierdzenie 1 (Twierdzenie Peano). Je»eli punkt (x0, y0) le»y w obszarze oznaczono±ci i ci¡gªo±ci prawej strony równania (1) Zagadnienie Cauchy'ego dla tego równania z danymi pocz¡tkowymi x0, y0 posiada rozwi¡zanie.

Warunek wystarczaj¡cy istnienia i jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia

Cauchy'ego.

Twierdzenie 2 (Twierdzenie Picarda). Zaªó»my, »e funkcja f(x, y) wyst¦puj¡ca z prawej strony równania (1) jest ci¡gªa w pewnym otoczeniu Ω punktu (x0, y0) oraz, »e na tym otoczeniu f(x, y) ma ograniczon¡ pochodn¡ cz¡stkow¡ wzgl¦dem argumentu y, tj.∣∣∣∣∂f(x, y)∂y

∣∣∣∣ ≤ K, (x, y) ∈ Ω. (3) Wtedy równanie (1) posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie y = y(x) speªniaj¡ce warunek pocz¡tkowy (2).

Uwaga. Je±li pochodna cz¡stkowa ∂f(x,y) ∂y

jest ci¡gªa w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0),

to istnieje otoczenie Ω punktu (x0, y0) takie, »e warunek (3) jest speªniony.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome