Matematyka - Notatki - Algebra - Część 2, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Matematyka - Notatki - Algebra - Część 2, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (2.8 MB)
90 strona
836Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: matematyka.Część 2.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 90
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.2 Dodawanie wektorów

Niech będą dane dwa wektory u,v. Jeżeli w dowolnie obranym punkcieA zaczepimy wektor AB = u, a następnie w punkcie B zaczepimy wektor BC = v, to wektor AC nazywamy sumą wektorów u,v zaczepioną w punkcie A i piszemy

AC = u+ v (246)

u

v

u+v

v

u

B C

A D

u

v

w

u + v + w

Rysunek 15: Dodawanie wektorów. Suma trzech wektorów.

W mechanice dodawane wektory u,v nazywamy składowymi lub składnikami, wynik dodawania u+v−wektorem wypadkowym, figurę utworzoną z odcinkówAB,BC− łańcu- chem wektorów, punkt A− początkiem łańcucha, punkt C− końcem łańcucha, a wektor AC− wektorem zamykającym.

Twierdzenie 6.3 Suma dowolnych wektorów u,v zaczepiona w pewnym punkcie i suma tych samych wektorów zaczepiona w dowolnym innym punkcie są wektorami równymi. Mówimy więc, że suma wektorów nie zależy od jej punktu zaczepienia.

Twierdzenie 6.4 Dla dowolnych wektorów u,v zachodzi równósć

u+ v = v + u (247)

Dodawanie wektorów jest przemienne.

Twierdzenie 6.5 Dla dowolnych trzech wektorów u,v,w zachodzi równósć

(u+ v) +w = u+ (v+w) (248)

Dodawanie wektorów jest łączne.

Twierdzenie 6.6 Suma wektorów równoległych jest wektorem równoległym do tych wektorów

u

v

u+v

u

v

u+v

Rysunek 16: Suma wektorów równoległych.

91

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

6.2.1 Moduł sumy wektorów

Przedstawimy twierdzenia:

Twierdzenie 6.7 Jeżeli dwa wektory są zgodnie równoległe (rys. 16), to moduł ich sumy równa się sumie modułów tych wektorów

|u+ v| = |u|+ |v| (249)

Twierdzenie 6.8 Jeżeli dwa wektory są przeciwnie równoległe (rys. 16), to moduł ich sumy równa się modułowi różnicy moduw tych wektorów

|u+ v| = ||u|− |v|| (250)

Twierdzenie 6.9 Jeżeli dwa wektory są niezerowe i nierównoległe (patrz rys. 15), to moduł ich sumy jest mniejszy od sumy modułów tych wektorów, a większy od modułu różnicy modułów tych wektorów

||u|− |v|| < |u+ v| < |u|+ |v| (251) Wzór (251) nosi nazwę reguły (lub prawa) trójkąta.

Twierdzenie 6.10 Moduł sumy dowolnych dwóch wektorów jest nie większy od sumy modułów tych wektorów i nie mniejszy od modułu różnicy modułów tych wektorów

||u|− |v|| ≤ |u+ v| ≤ |u|+ |v| (252)

Jest to uogólnione prawo trójkąta.

6.2.2 Wektory przeciwne

Dwa wektory niezerowe nazywamy wzajemnie przeciwnymi, gdy mają równe moduły i są przeciwnie równoległe (patrz rys. 17). Wektorem przeciwnym do wektora zerowego jest wektor zerowy.

A

B

D

C

Rysunek 17: Wektory przeciwne.

u

v

u - v

Rysunek 18: Różnica wektorów.

6.3 Odejmowanie wektorów

Odejmowanie definiujemy jako działanie odwrotne do dodawania. Różnicą dwóch wektorów, z których pierwszy nazywamy odjemną, a drugi odjemnikiem, nazywamy wektor, który dodany do odjemnika daje w wyniku odjemną:

u− v = w oznacza, że v +w = u (253)

92

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

Twierdzenie 6.11 Jeżeli odjemna i odjemnik mają wspólny punkt zaczepienia, to różnicą jest wektor poprowadzony od końca odjemnika do końca odjemnej (rys. 17).

Twierdzenie 6.12 Różnica dwóch wektorów jest sumą odjemnej i wektora przeciwnego do odjemnika (rys. 19). Różnica wektorów równoległych jest wektorem równoległym do tych wektorów. Dla modułu różnicy dowolnych dwóch wektorów zachodzi nierównósć

||u|− |w|| ≤ |u− v| ≤ |u|+ |v| (254)

(uogólnione prawo trójkąta).

Mnożenie wektora przez liczbę Iloczynem wektora u i liczby k nazywamy wektor, który:

• jest równoległy do wektora u,

• ma długóśc równą |k|u,

• ma zwrot wektora u, jeżeli k > 0, u 6= 0, względnie zwrot wektora−u, jeżeli k < 0, u 6= 0.

Wektor ten oznaczamy13

ku lub uk (255)

u

v

u - v

- v

u

Rysunek 19: Różnica wektorów.

u

v

ϕ

Rysunek 20: Kąt między wektorami.

6.4 Wersory

Definicja 6.5 Wektor o module równym 1 nazywamy wersorem.

Wersorem osi nazywamy wersor zgodnie równoległy z tą osią. Wersor osi x (odciętej) oznaczamy x0. Osią wersora lub osią wersora niezerowego nazywamy ós zgodnie równole- głą do wektora. Wersorem wektora niezerowego u nazywamy wektor u/u, który oznaczamy u0. Zatem

u0 = u

u (256)

13Bardzo często występują pojęcia: kolinearnóśc i komplanarnóśc. Wektory nazywamy kolinearnymi, jésli po zaczepieniu ich we wspólnym początku leżą na jednej prostej. Dla dowolnego wektora u i dowolnej liczby k wektor ku jest kolinearny z wektorem u. Wektory nazywamy komplanarnymi, jésli po zaczepieniu we wspólnym początku leżą w jednej płaszczýznie. Dla dowolnych wektorów u i v i dowolnych liczb t i s wektor tu+ sv jest komplanarny z wektorami u i v.

93

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

6.5 Iloczyn skalarny wektorów

Definicja 6.6 Iloczynem skalarnym dwóch wektorów u,v nazywamy liczbę, którą oznacza- my symbolem u·v i która w przypadku, gdy oba wektory u,v są niezerowe, jest równa iloczynowi modułów tych wektorów pomnożonemu przez kosinus kąta między nimi (rys. 19)

u · v = uv cos{u,v} (257)

i która jest zerem w przypadku, gdy co najmniej jeden z tych wektorów jest zerowy lub wektory u i v są prostopadłe.

6.5.1 Własnósci iloczynu skalarnego

Z definicji iloczynu skalarnego wynikają poniższe twierdzenia.

Twierdzenie 6.13 Iloczyn skalarny dwóch wektorów u,v jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopadłe

u · v = 0⇐⇒ u ⊥ v (258)

Iloczyn skalarny dowolnego wektora u z tym samym wektorem jest równy kwadratowi modułu tego wektora

u · u = u2 (259)

Twierdzenie 6.14 Dla dowolnych wektorów u,v,a,b i dowolnej liczby k zachodzą równósci

u · v = v · u przemiennósć mnożenia skalarnego

(ku) · v = k (u · v) = u · (kv) łącznósć mnożenia skalarnego i mnożenia wektora przez li- czbę

u · (a+ b) = u · a+ u · b rozdzielnósć mnożenia skalarnego względem dodawania we- ktorów

(260)

Wniosek 6.2 Praca. Jeżeli pod działaniem niezmiennej siły F punkt materialny przesuwa się o wektor s, to iloczyn skalarny siły F i przesunięcia s

L = F · s (261)

nazywamy pracą siły F wzdłuż przesunięcia s.

Przestawienie cykliczne. Przestawieniem cyklicznym (kołowym) ciągu n− wyrazowego nazywamy przekształcenie, w którym pierwszy wyraz staje się drugim, drugi - trzecim, itd., ostatni - pierwszym. Stosując przestawienie cykliczne do trójki wektorów otrzymujemy kolejno

(u,v,w)→ (w,u,v)→ (v,w,u)→ (u,v,w) (262)

94

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.6 Orientacja przestrzeni

z

)(+P )(−L

z

y

yx

x

Rysunek 21: Orientacja przestrzeni.

Przestrzenny prostoliniowy układ współrzędnych nazywamy prawoskrętnym, jeżeli trzema palcami prawej ręki możemy pokazác osie tego układu:

• ós x - wyprostowanym kciukiem;

• ós y - wyprostowanym palcem wskazującym;

• ós z - palcem środkowym zgiętym prostopadle do płaszczyzny dłoni.

Mówimy wówczas, że przestrzeń została zoriento- wana.

Jeżeli w przestrzeni zorientowanej trójka wektorów jest zgodnie skrętna z obranym układem współrzędnych, to mówimy, że ma orientację dodatnią. W fizyce przyjęto, że prawoskrętne trójki mają orientację dodatnią.

6.7 Iloczyn wektorowy

Definicja 6.7 Iloczynem wektorowym pary wektorów (u,v) w przestrzeni zorientowanej nazywamy wektor, który oznaczamy symbolem

[u,v] lub u× v

i który w przypadku, gdy u k v jest wektorem zerowym, natomiast, jeżeli u / v, to wektor u×v ma:

• moduł równy uv sin{u,v},

• kierunek prostopadły do u i prostopadły do v,

• zwrot taki, aby trójka wektorów (u,v,u× v) miała orientację dodatnią.

6.7.1 Własnósci iloczynu wektorowego

Są one opisane w poniższych twierdzeniach:

Twierdzenie 6.15 Iloczyn wektorowy pary wektorów u,v jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są równoległe

u× v = 0⇐⇒ u k v (263)

Iloczyn wektorowy dowolnego wektora u i tego samego wektora jest wektorem zerowym

u× u = 0 (264)

Iloczyn wektorowy pary wektorów nierównoległych ma moduł równy polu równoległoboku zbudo- wanego na tych wektorach (po przeniesieniu ich do wspólnego początku).

95

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 6.16 Dla dowolnych wektorów u,v,w i dowolnej liczby k zachodzą następujące równósci u× v = −v× u antyprzemiennósć mnożenia wektorowego

(ku)× v = k (u× v) = u× (kv) łącznósć mnożenia z mnożeniem przez liczbę

(u+ v)×w = u×w+ v×w rozdzielnósć mnożenia względem dodawania

(265)

Przykład 6.1 Niech (i, j,k) będzie ortogonalną trójką wersorów o orientacji dodatniej. Wyz- naczyć iloczyny skalarne i wektorowe wersorów.

Rozwiązanie 6.1 Mamy

i · i = 1 i× j = k j× i = −k i× i = 0 i · j = 0 j× k = i k× j = −i j× j = 0 i · k = 0 k× i = j i× k = −j k× k = 0 j · k = 0 j · j = 1 k · k = 1

(266)

oraz (i+ j)× j = k (i− j)× (i+ j) = 2k (267)

6.8 Iloczyn mieszany

Definicja 6.8 Iloczynem mieszanym trójki wektorów u,v,w nazywamy liczbę

(u× v) ·w (268) którą otrzymujemy mnożąc iloczyn wektorowy u × v skalarnie przez w. Iloczyn mieszany oznaczamy też symbolem

[u,v,w] (269)

Twierdzenie 6.17 Iloczyn mieszany [u,v,w] trójki wektorów równa się objętósci równoległo- ścianu zbudowanego na tych wektorach (po zaczepieniu ich we wspólnym początku) wziętej ze znakiem +, jeżeli orientacja trójki jest dodatnia:

[u,v,w] = V

Twierdzenie 6.18 Iloczyn mieszany [u,v,w] jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u,v,w leżą w jednej płaszczýznie.

[u,v,w] = 0⇐⇒ u,v,w leżą w jednej płaszczýznie

[u,u,w] = 0 ponieważ (u× u) = 0 (270)

Twierdzenie 6.19 Iloczyn mieszany [u,v,w] nie zmienia wartósci, jeżeli zachowując kolej- nósć wektorów przestawiamy mnożenie wektorowe z mnożeniem skalarnym

[u,v,w] = (u× v)w = u (v×w) (271) lub jeżeli zmienimy kolejnósć wektorów, przestawiając je cyklicznie

[u,v,w] = [w,u,v] = [v,w,u] (272)

Iloczyn mieszany zmienia wartósć na przeciwną, jeżeli w nim przestawimy ze sobą którekolwiek dwa wektory

[u,v,w] = − [v,u,w] = − [w,v,u] = − [u,w,v] (273)

96

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.9 Podwójny iloczyn wektorowy

Definicja 6.9 Podwójnym iloczynem wektorowym nazywamy każde z wyrażeń

a× (b× c) (a× b)× c

Są to dwa wektory, na ogół różne. Mianowicie:

a× (b× c) = b (a · c)− c (a · b) (274)

(a× b)× c = b (a · c)− a (b · c) (275)

6.10 Działania na wektorach w prostokątnym układzie współrzędnych

Prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy układ trzech wzajemnie prostopadłych osi, mających wspólny początek i wspólną jednostkę długósci.

0z

P

0x

0y

0

Rysunek 22: Położenie punktu P w przestrzeni 0xyz.

Oznaczamy go 0xyz. Przestrzeń, w której wprowadzono układ 0xyz nazywamy przestrzenią 0xyz. Każdemu punktowi przestrzeni odpowiada wzajemnie jednoznacznie uporządkowana trójka liczb będących współrzędnymi tego punktu. Zapi- sujemy to następująco

P = (x, y, z)

Niech u będzie dowolnym wektorem przestrzeni 0xyz. Jego rzuty na osie układu oznaczamy

rzutx u rzuty u rzutz u (276)

Są to wektory składowe wektora u, który jest ich sumą

u = rzutx u+ rzuty u+ rzutz u (277)

Miary tych rzutów są liczbami, które nazywamy współrzędnymi wektora u na osiach układu. Oznaczamy je

ux uy uz

Wprowadzając wersory osi układu

i j k

otrzymujemy związki

rzutx u = uxi rzuty u = uyj rzutz u = uzk (278)

Uwzględniając (277) dochodzimy do relacji

u = uxi+ uyj+ uzk (279)

Każdemu wektorowi przestrzeni odpowiada uporządkowana trójka liczb będących jego współrzędnymi w danym układzie

u = [ux, uy, uz] (280)

97

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 6.20 Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współrzędne tych wektorów są równe.

L = P⇐⇒

⎧⎨⎩ Lx = PxLy = Py Lz = Pz

⎫⎬⎭ (281) 6.10.1 Analityczne wyrażenie działań na wektorach w przestrzeni

Twierdzenie 6.21 Niech będą dane w przestrzeni 0xyz dowolne wektory

u = [ux, uy, uz] , v = [vx, vy, vz] , w = [wx, wy, wz] (282)

oraz liczby rzeczywiste a, b, c. Działania na tych wektorach wyrażają się za pomocą współrzędnych

u+ v = [ux + vx, uy + vy, uz + vz] (283)

u− v = [ux − vx, uy − vy, uz − vz] (284) cu = [cux, cuy, cuz] (285)

au+ bv = [aux + bvx, auy + bvy, auz + bvz] (286)

u · v = uxvx + uyvy + uzvz dowód na ćwiczeniach (287)

Iloczyn wektorowy zapisujemy w postaci wyznacznikowej

u× v =

¯̄̄̄ ¯̄ i j kux uy uz vx vy vz

¯̄̄̄ ¯̄ = ∙¯̄̄̄ uy uzvy vz

¯̄̄̄ ,

¯̄̄̄ uz ux vz vx

¯̄̄̄ ,

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄¸ =

= [uyvz − uzvy, vxuz − uxvz, uxvy − uyvx] (dowód na ćwiczeniach)

(288)

Iloczyn mieszany

[u,v,w] =

¯̄̄̄ ¯̄ ux uy uzvx vy vz wx wy wz

¯̄̄̄ ¯̄ (289)

(dowód na ćwiczeniach)

6.10.2 Moduł wektora

Mówi o nim twierdzenie:

Twierdzenie 6.22 Moduł wektora jest równy pierwiastkowi sumy kwadratów współrzędnych wektora. Jeżeli u = [ux, uy, uz], to

u = q u2x + u

2 y + u

2 z (290)

98

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.11 Warunek prostopadłósci i warunek równoległósci 2 wektorów

Twierdzenie 6.23 Niech będą dane dwa wektory

u = [ux, uy, uz] , v = [vx, vy, vz] (291)

Wektory te są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest zerem

uxvx + uyvy + uzvz = 0 (292)

Wektory te są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym

uyvz − uzvy = 0 uzvx − uxvz = 0 uxvy − uyvx = 0 (293)

Kąt między tymi wektorami wyznaczamy z zależnósci

cos {u,v} = 1 uv (uxvx + uyvy + uzvz) (294)

jeżeli u 6= 0, v 6= 0.

6.12 Przykłady

Przykład 6.2 Wykazać słusznósć zależnósci u · v = uxvx + uyvy + uzvz.

Rozwiązanie 6.2 Wykonujemy mnożenie

u · v = (iux + juy + kuz) (ivx + jvy + kvz) =

= iiuxvx + ijuyvx + ikuzvx + ijuxvy + jjuyvy+

+kjuzvy + ikuxvz + jkuyvz + kkuzvz

Ponieważ i · i = j · j = k ·k = 1, a pozostałe iloczyny mieszane i · j = i ·k = j ·k = j · i = k · i = k · j = 0, zatem pozostają wyrażenia uxvx, uyvy, uzvz. Stąd u · v = uxvx + uyvy + uzvz.

Przykład 6.3 Wyprowadzíc wzór na iloczyn wektorowy u× v.

Rozwiązanie 6.3 Mnożymy wektorowo dwie sumy (ważna jest kolejnósć wektorów - nie ma przemiennósci mnożenia wektorów)

u× v = (iux + juy + kuz)× (ivx + jvy + kvz) =

= (i× i)uxvx + (j× i)uyvx + (k× i)uzvx + (i× j)uxvy + (j× j)uyvy+

+(k× j)uzvy + (i× k)uxvz + (j× k)uyvz + (k× k)uzvz Pamiętamy (patrz (288)) zasadę mnożenia wektorowego wersorów. Otrzymamy zatem:

u× v = 0− kuyvx + juzvx + kuxvy + 0− iuzvy − juxvz + iuyvz + 0 =

= i (uyvz − uzvy) + j (uzvx − uxvz) + k (uxvy − uyvx) =

= i

¯̄̄̄ uy uz vy vz

¯̄̄̄ − j ¯̄̄̄ ux uz vx vz

¯̄̄̄ + k

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ i j kux uy uz vx vy vz

¯̄̄̄ ¯̄

99

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Przykład 6.4 Wyprowadzíc wzór wyznacznikowy na iloczyn mieszany.

Rozwiązanie 6.4 Ponieważ [u,v,w] = (u×v)·w, to korzystając z wyprowadzeń z poprzedniego zadania otrzymujemy

(u× v)w = µ i

¯̄̄̄ uy uz vy vz

¯̄̄̄ − j ¯̄̄̄ ux uz vx vz

¯̄̄̄ + k

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄¶ (iwx + jwy + kwz) =

= wx

¯̄̄̄ uy uz vy vz

¯̄̄̄ − wy

¯̄̄̄ ux uz vx vz

¯̄̄̄ + wz

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ ux uy uzvx vy vz wx wy wz

¯̄̄̄ ¯̄

Przykład 6.5 Wyprowadzíc wzór na podwójny iloczyn wektorowy.

Rozwiązanie 6.5 Mamy wykazać tożsamósć

a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b)

Zapiszemy iloczyn a× d (gdzie: d = b× c) w postaci wyznacznikowej

L = a× d =

¯̄̄̄ ¯̄ i j kax ay az bycz − bzcy bzcx − bxcz bxcy − bycx

¯̄̄̄ ¯̄ =

= i [ay (bxcy − bycx)− az (bzcx − bxcz)]−

−j [ax (bxcy − bycx)− az (bycz − bzcy)] +

+k [ax (bzcx − bxcz)− ay (bycz − bzcy)]

Przeanalizujemy każdą ze składowych oddzielnie. W tym celu wyprowadzimy składowe wektora prawej strony. Kolejno otrzymujemy:

R = i [bx (axcx + aycy + azcz)− cx (axbx + ayby + azbz)]+

+j [by (axcx + aycy + azcz)− cy (axbx + ayby + azbz)]+

+k [bz (axcx + aycy + azcz)− cz (axbx + ayby + azbz)]

Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu eliminuje się iloczyny (aαbαcα − aαbαcα) dla α = x, y, z. A więc

R = i [ay (bxcy − bycx)− az (bzcx − bxcz)]−

−j [ax (bxcy − bycx)− az (bycz − bzcy)] +

+k [ax (bzcx − bxcz)− ay (bycz − bzcy)] Widzimy, że L = R, co należało wykazać.

Przykład 6.6 Obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b, jeżeli: a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1].

100

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

Rozwiązanie 6.6 Korzystamy z wyniku przedstawionego w Przykładzie 6.2 i otrzymujemy

a · b = [1, 2, 3] · [3, 2, 1] = 10

Przykład 6.7 Obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b, jeżeli: a = [u, v, w] , b = [x, y, z].

Rozwiązanie 6.7 Po prostych przekształceniach otrzymujemy

a · b = [u, v, w] · [x, y, z] = ux+ vy + wz

Przykład 6.8 Obliczyć iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b, jeżeli: a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1].

Rozwiązanie 6.8 Biorąc pod uwagę Przykład 6.3, otrzymujemy

[1, 2, 3]× [3, 2, 1] = [−4, 8,−4]

Przykład 6.9 Obliczyć podwójny iloczyn wektorowy wektorów a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1] , c = [1, 0, 1].

Rozwiązanie 6.9 Bazując na Przykładzie 6.5 obliczamy

[1, 2, 3]× [3, 2, 1]× [1, 0, 1] = [8, 0,−8]

Przykład 6.10 Obliczyć iloczyny mieszane wektorów: a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1] , c = [1, 0, 1].

Rozwiązanie 6.10 Jak pamiętamy (patrz (268)), iloczyn mieszany to: (a× b) · c. Jednak mogą to być również iloczyny, np. (a× c) · b lub (b× c) · a. Obliczymy je

([1, 2, 3]× [3, 2, 1]) · [1, 0, 1] = −8 ([1, 2, 3]× [1, 0, 1]) · [3, 2, 1] = 8 ([3, 2, 1]× [1, 0, 1]) · [3, 2, 1] = 0

Należy pamiętać, że wyjątkową rolę pełnią w tych obliczeniach nawiasy. Bowiem iloczyny [1, 0, 1] × [1, 2, 3] · [3, 2, 1] = −8 oraz [1, 0, 1] · [1, 2, 3] × [3, 2, 1] = 4 [3, 2, 1] są całkowicie różne. Pierwszy jest iloczynem skalarnym, czyli liczbą, drugi jest iloczynem wektorowym, czyli wektorem.

Przykład 6.11 Wykazać, że dla dowolnych trzech wektorów u,v,w wektor p = (u× v)×w = v (u ·w)− u (v ·w) jest albo zerowy albo prostopadły do wektora w.

Rozwiązanie 6.11 Pomnożymy wyrażenie p = (u× v) ×w = v (u ·w) − u (v ·w) prawo- stronnie przez w. Otrzymamy p ·w = (u× v)×w ·w = (v ·w)(u ·w)− (u ·w)(v ·w) = 0. A więc p ·w = 0. Oznacza to, że w = 0 lub p ⊥ w.

Przykład 6.12 Równoległobok zbudowany na wektorach u,v ma pole równe 10. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach 3u+ v, u− 2v.

101

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Rozwiązanie 6.12 Korzystamy z wzoru na pole równoległoboku

P = |p× q| = |(3u+ v)× (u− 2v)| = |3u× u+ v× u− 6u× v− 2v× v| =

= |0 + v× u− 6u× v− 0| = |v× u+ 6v× u| = 7 |v× u| = 70

Przykład 6.13 Dane są dwa wzajemnie prostopadłe wersory p,q. Obliczyć:

a) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach u = 3p − q, v = 5p + 2q oraz obie wysokósci tego równoległoboku;

b) pole trójkąta zbudowanego na wektorach u = 3p, v = p − 2q oraz wszystkie jego wysokósci.

Rozwiązanie 6.13 a)

P = |u× v| = |(3p− q)× (5p+ 2q)| = |15p× p− 5q× p+ 6p× q− 2q× q| =

= |0− 5q× p+ 6p× q+ 0| = |5p× q+ 6p× q| = 11 |p× q| = 11

P = uv sinϕ = u · h1 = v · h2 = 11 |u| =

√ 32 + 12 =

√ 10

|v| = √ 52 + 22 =

√ 29

h1 = 11/ √ 10, h2 = 11/

√ 29

b)

P4 = 1

2 |u× v| = 1

2 |3p× (p− 2q)| = 3

Obliczamy wysokósci. Skorzystamy z wzoru na pole równoległoboku utworzonego przez wektory u,v: P = uv sinϕ = uh1 = uh2 = 6 Stąd h1 = 6|u| =

6 3 = 2, h2 = 6|v| =

6√ 5 . Trzeci bok trójkąta

to różnica wektorów u i v, czyli 3p− (p− 2q) = 2p+ 2q. Jego moduł jest równy 2 √ 2. Stąd

P4 = 1 2 2 √ 2 · h3 = 3. Czyli h3 = 3/

√ 2.

Przykład 6.14 Objętósć równoległóscianu zbudowanego na wektorach u,v i w wynosi 24. Obliczyć objętósć równoległóscianu zbudowanego na wektorach u+ 2v, v−w, u+ v− 2w.

Rozwiązanie 6.14 Objętósć równoległóscianu zbudowanego na wektotach a, b i c jest równa modułowi iloczynu mieszanego

V = |[a,b, c]| = |(a× b) c|

Jeżeli a = u+ 2v, b = v−w, c = u+ v− 2w, to

(a× b) c = [(u+ 2v)× (v−w)] (u+ v− 2w) =

= (u× v− u×w+ 2v× v− 2v×w) (u+ v− 2w) =

= (u× v− u×w− 2v×w) (u+ v− 2w) =

= (u× v)u− (u×w)u− 2 (v×w)u+ (u× v)v− (u×w)v−

−2 (v×w)v− 2 (u× v)w + 2 (u×w)w + 4 (v×w)w

102

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

Ponieważ

(u× v) · u = (u×w)u = (u× v)v = (v×w)v = (u×w)w = 0

to (a× b) · c = −2 (v×w) · u− (u×w) · v− 2 (u× v) ·w

Ale (v×w) · u = [u,v,w] i (u×w) · v = − [u,v,w]

Zatem (a× b) · c = −3 [u,v,w] i |(a× b) · c| = 3 · 24 = 72

Przykład 6.15 Dane są trzy wzajemnie prostopadłe wersory p,q, r. Obliczyć objętósć równoległóscia- nu zbudowanego na wektorach u = p+ q, v = p− 2q, w = p+ q+ r.

Rozwiązanie 6.15 Korzystamy z wzoru na objętósć równoległóscianu

V = |[u,v,w]| = |(u× v) ·w|

[(p+ q)× (p− 2q)] · (p+ q+ r) =

= (p× p+ q× p− 2p× q− 2q× q) · (p+ q+ r) =

3 (q× p) · (p+ q+ r) = 3 (q× p) · p+ 3 (q× p) · q+ 3 (q× p) · r =

= 3 (q× p) · r = −3 (p× q) · r

A więc V = |−3 (p× q) · r| = 3

103

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

7 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni R3

7.1 Równanie prostej

Wyznaczanie prostej na płaszczýznie 0xy sprowadza się do wskazania punktu, przez który prosta ma przechodzíc i kierunku prostej. Kierunek prostej wyznacza się za pomocą:

• wektora, do którego prosta ma býc równoległa lub

• wektora, do którego prosta ma býc prostopadła lub

• współczynnika kierunkowego prostej.

Twierdzenie 7.1 Prosta l przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0) i równoległa do danego niezerowego wektora u = [p, q] ma równanie

−−→ P0P = tu, t ∈ R (295)

Równanie to przedstawia postác wektorową prostej.

0 x0 x

0x

y

y0

l

p q0y

)( 000 ,yxP =

)(x,yP =

],[ gp=u

Rysunek 23: Prosta równoległa do wektora u.

0 0x

0y

A

B N

l ][A,B=N

)( 000 ,yxP =

)(x,yP =

Rysunek 24: Prosta prostopadła do wektora N.

Może býc ona zapisana w następujących postaciach

x− x0 = tp y − y0 = tq postác parametryczna t ∈ R

x− x0 p

= y − y0 q

postác proporcji

¯̄̄̄ x− x0 y − y0 p q

¯̄̄̄ = 0 postác wyznacznikowa

(296)

Punkt P = (x, y) leży na prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy −−→ P0P k u.

Uwzględniając Twierdzenie 6.23 i warunek (293) zapisany na płaszczýznie, czyli u = [ux, uy] , v = [vx, vy] mamy

uxvy − uyvx = 0 (297)

gdzie: v = −−→ P0P = [x− x0, y − y0]; u = [p, q], stąd

−−→ P0P k u⇐⇒ (x− x0) q − (y − y0) p = 0 (298)

czyli (296).

104

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

Twierdzenie 7.2 Prosta l przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0) i prostopadła do danego niezerowego wektora N = [A,B] ma równanie

N ·−−→P0P = 0 postać wektorowa (299)

W zapisie analitycznym równanie to ma postác

A (x− x0) +B (y − y0) = 0 (300)

Jest to równanie ogólne prostej przechodzącej przez jeden punkt. Wprowadzając stałą C = −Ax0 − By0 otrzymujemy równanie prostej w postaci

ogólnej Ax+By + C = 0 (301)

Definicja 7.1 Kątem nachylenia prostej l do osi 0x nazywamy kąt między osią 0x a dowol- nym wektorem niezerowym leżącym na tej prostej, czyli ^(x, l). Tangens tego kąta

m = tg (x, l) (302)

nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l na płaszczýznie 0xy. Jeżeli u = [p, q] 6= 0 i u k −−→P0P , to

m = tg (x, l) = tg (x,u) = q

p (303)

lub jeżeli P0 = (x0, y0) , P1 = (x1, y1) oraz P0 ⊂ l, P1 ⊂ l, to

m = tg (x, l) = tg ³ x, −−→ P0P1

´ = y1 − y0 x1 − x0

(304)

Każda prosta, która nie jest prostopadła do 0xma jednoznacznie okréslony współczynnik kierun- kowy (rys. 25).

Twierdzenie 7.3 Prosta l o danym współczynniku kierunkowym m, przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0) ma równanie

y − y0 = m (x− x0) postać kierunkowa prostej (305)

0y

0x0

l

P0

P1

q

p

][ p,q=u

01 xx

01 yy

Rysunek 25: Współczynnik kierunkowy m.

0y

0x

b

l

P0

P

α

α

x0 x

0xx

0yy

Rysunek 26: Przesunięcie b prostej l.

Wprowadzając stałą b = y0−mx0 nazywaną przesunięciem, otrzymamy postác kierun- kową prostej (patrz rys. 25)

y = mx+ b (306)

gdzie: b− rzędna punktu, w którym prosta l przecina ós 0y.

105

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 7.4 Prosta przechodząca przez dane dwa różne punkty P0 = (x0, y0) i P1 = (x1, y1) ma równanie

x− x0 x1 − x0

= y − y0 y1 − y0

(307)

Twierdzenie 7.5 Dwie proste l1, l2 dane równaniami

l1 : x− x1 p1

= y − y1 q1

l2 : x− x2 p2

= y − y2 q2

(308)

są wzajemnie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u1 = [p1, q1] 6= 0, u2 = [p2, q2] 6= 0 równoległe odpowiednio do prostych l1, l2 są wzajemnie równoległe, tj. gdy zachodzi proporcja

p1 p2 = q1 q2

(309)

równoważna równósci ¯̄̄̄ p1 q1 p2 q2

¯̄̄̄ = 0 (310)

l1 l2

u1 u2 q2q1

p2p1

Rysunek 27: Dwie proste równoległe.

Twierdzenie 7.6 Dwie proste l1, l2 dane równaniami

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 l2 : A2x+B2y + C2 = 0 (311)

są wzajemnie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory N1 = [A1, B1] 6= 0, N2 = [A2, B2] 6= 0 prostopadłe odpowiednio do prostych l1, l2 są wzajemnie równoległe, tj. gdy

A1 A2 = B1 B2

(312)

czyli ¯̄̄̄ A1 B1 A2 B2

¯̄̄̄ = 0 (313)

Rozróżniamy tu dwa przypadki

1. Pełna proporcja współczynników równań (311)

A1 A2 = B1 B2

= C1 C2

(314)

tzn. ¯̄̄̄ A1 B1 A2 B2

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ B1 C1 B2 C2

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ C1 A1 C2 A2

¯̄̄̄ = 0 (315)

Wówczas proste l1 i l2 pokrywają się.

106

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

2. Zachodzi tylko proporcja (312) (proporcja (314) nie zachodzi). Wówczas proste l1 i l2 są równoległe, lecz nie pokrywają się.

l1

l2B1 A1

N1

N2

B2 A2

Rysunek 28: Dwie proste równoległe.

Twierdzenie 7.7 Dwie proste l1 i l2 dane równaniami

l1 : y = m1x+ b1 l2 : y = m2x+ b2 (316)

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy

m1 = m2

Ponadto, jeżeli b1 = b2, to proste te pokrywają się.

Przykład 7.1 Zbadać równoległósć następujących prostych

a) 2x + 5y + 7 = 0 4x + 10y + 15 = 0

b) x + y = 0 x − y = 0

c) x − 3y + 1 = 0

−2x + 6y − 2 = 0 d) y = 3x + 5

x− 1 2

= y + 7

6

Rozwiązanie 7.1

a. ∙ 2 5 7 4 10 15

¸ ,

A1 A2 = 2

4 + 1

2

B1 B2

= 5

10 = 1

2

C1 C2 6= 1 2

- proste równoległe, nie pokrywają się

b. ∙ 1 1 0 1 −1 0

¸ A1 A2 6= B1 B2

- proste przecinają się

c. ∙

1 −3 1 −2 6 −2

¸ A1 A2 = B1 B2

= C1 C2

- proste pokrywają się

Twierdzenie 7.8 Dwie proste l1, l2 dane równósciami

l1 : x− x1 p1

= y − y1 q1

l2 : x− x2 p2

= y − y2 q2

(317)

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u1 = [p1, q1] , u2 = [p2, q2] są prostopadłe

p1p2 + q1q2 = 0 (318)

107

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 7.9 Dwie proste l1, l2 dane równaniami

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 l2 : A2x+B2y + C2 = 0 (319)

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory N1 = [A1, B1], N2 = [A2, B2] są prostopadłe, czyli

A1A2 +B1B2 = 0 (320)

Twierdzenie 7.10 Dwie proste l1, l2 dane równósciami

l1 : y = m1x+ b1 l2 : y = m2x+ b2 (321)

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe spełniają związek

1 +m1m2 = 0 (322)

7.2 Kąt dwóch prostych na płaszczýznie

Definicja 7.2 Mówiąc o kącie dwóch prostych zawsze mamy na mýsli kąt ostry, którego miara α = {l1, l2} ≤ π/2. Oznaczamy go ^ {l1, l2}. Kąt dwóch prostych równoległych (lub pokrywających się) jest zerowy.

Twierdzenie 7.11 Jeżeli mamy dwie proste l1, l2 opisane dowolnymi równaniami (ale tego samego rodzaju), to

cos {l1, l2} = |p1p2 + q1q2|p p21 + q

2 1

p p22 + q

2 2

(323)

cos {l1, l2} = |A1A2 +B1B2|p A21 +B

2 1

p A22 +B

2 2

(324)

tg {l1, l2} = ¯̄̄̄ m1 −m2 1 +m1m2

¯̄̄̄ (325)

l1

l2

α α

u1

u2

Rysunek 29: Kąt pomiędzy dwiema prostymi.

108

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

7.3 Odległóśc punktu od prostej

0 0x

0y

P

d P1'

P1

N = [A,B]

l: Ax + By + C = 0

Rysunek 30: Odległóśc punktu od prostej.

Mówi o niej poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 7.12 Najmniejszą odległósć punktu M = (xM , yM) od prostej l danej równaniem w postaci ogólnej

l : Ax+By + C = 0

wyraża się wzorem

d = |AxM +ByM + C|√

A2 +B2

Dowód 7.1 Niech P1 = (xP , yP ) jest dowolnym punktem prostej l (patrz rys. 30), a P = (xM , yM) punktem poza prostą. Jeżeli P1 jest punktem na l, dla którego odległósć |PP1| jest najmniejsza, to wówczas możemy zapisać, że (wektory N i

−−→ PP1

są równoległe) −−→ PP1 = λ ·N = d

gdzie: |λ| = | −−→ PP1| |N| ; d = [xP − xM , yP − yM ]. Zatem

d = |d| |N| ·N (326)

Mnożąc (326) obustronnie przez N mamy

d ·N = |d||N|N ·N

Korzystamy z własnósci iloczynu skalarnego

(xP − yM)A+ (yP − yM)B = |d|√ A2 +B2

¡ A2 +B2

¢ Następnie mamy14

AxP −AxM +ByP −ByM = |d| · |N| (327) Ponieważ punkt P leży na prostej, to musi spełniać jej równanie

AxP +ByP + C = 0

Stąd AxP +ByP = −C (328)

Czyli −AxM −ByM − C = |d| · |N|

Ostatecznie więc

|d| = |AxM +ByM + C||N| (329)

14N ·N = |N|2, czyli 1|N| ·N ·N = |N|.

109

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

7.4 Dwusieczne kątów dwóch przecinających się prostych

Twierdzenie 7.13 Jeżeli proste l1, l2 dane równaniem

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 [A1, B1] 6= 0

l2 : A2x+B2y + C2 = 0 [A2, B2] 6= 0 (330)

przecinają się, to równanie

|A1x+B1y + C1|p A21 +B

2 1

= |A2x+B2y + C2|p

A22 +B 2 2

(331)

przedstawia sumę dwusiecznych d1, d2 prostych l1, l2. Równanie to rozpisuje się na dwa, opisu- jące każdą z dwusiecznych

A1x+B1y + C1p A21 +B

2 1

= A2x+B2y + C2p

A22 +B 2 2

(332)

A1x+B1y + C1p A21 +B

2 1

= −A2x+B2y + C2p A22 +B

2 2

(333)

Jeżeli analizowane proste są równoległe i różne, to jedno z powyższych równań przedstawia prostą równolegdo l1 i l2 i jednakowo odległą od l1 i l2, a drugie z tych równań jest sprzeczne. Jeżeli proste pokrywają się l = l1 = l2, to jedno z powyższych równań przedstawia prostą

l, a drugie ma postác 0x+ 0y = 0 i jest spełnione przez dowolny punkt płaszczyzny 0xy.

7.5 Pęk prostych

Definicja 7.3 Pękiem prostych nazywamy rodzinę prostych przechodzących przez pewien wspólny punkt, zwany wierzchołkiem pęku, a także rodzinę prostych równoległych do pewnej prostej, zwanej kierunkiem peku. Pęk prostych jest wyznaczany, jeżeli są dane dwie różne proste tego pęku.

Niech będą dane dwie proste

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 l2 : A2x+B2y + C2 = 0

Utworzymy kombinację liniową tych równań

λ (A1x+B1y + C1) + µ (A2x+B2y + C2) = 0 (334)

Stąd mamy (λA1 + µA2)x+ (λB1 + µB2) y + (λC1 + µC2) = 0 (335)

7.6 Prosta w przestrzeni

Wyznaczenie prostej w przestrzeni jest możliwe na kilka sposobów. W punkcie tym przedstawimy sposób, który polega na wskazaniu jednego punktu tej prostej oraz jej kierunku. Kierunek prostej okréslamy definiując wektor niezerowy, do którego prosta ma býc równoległa.

110

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

7.6.1 Prosta przechodząca przez dany punkt i równoległa do danego wektora

Prosta l przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0, z0) i równoległa do danego niezerowego wektora u = [a, b, c] (rys. 31) ma równanie

−−→ P0P = tu, t ∈ R - postác wektorowa

x− x0 = aty − y0 = btz − z0 = ct - postác parametryczna

x− x0 a

= y − y0 b

= z − z0 c

- postác podwójnej pro-

porcji¯̄̄̄ x− x0 y − y0 a b

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ y − y0 z − z0 b c

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ x− x0 z − z0 a c

¯̄̄̄ = 0 - postác wyznacznikowa

rank

∙ x− x0 y − y0 z − z0 a b c

¸ = 1 - postác macierzowa

(336)

Przykład 7.2 Wyznaczyć prostą przechodzącą przez punkt (2, 5, 7) i równoległą do wektora [4, 3, 8].

Rozwiązanie 7.2 Najwygodniej jest wyznaczyć równanie w postaci proporcji podwójnej (336). Podstawiając odpowiednie dane otrzymujemy

x− 2 4

= y − 5 3

= z − 7 8

7.6.2 Prosta przechodząca przez dwa różne punkty

0z

P

P0

l

0x

0y

0xx − 0zz

0yy

v

a b

c

Rysunek 31: Prosta przechodząca przez P0 i równoległa do wektora v.

Zagadnienie to omawia twierdzenie:

Twierdzenie 7.14 Prosta przechodząca przez dane dwa różne punkty P0 = (x0, y0, z0) i P1 = (x1, y1, z1) jest opisana równaniami

−−→ P0P = t

−−→ P0P1 t ∈ R (337)

x− x0 = t (x1 − x0) y − y0 = t (y1 − y0) z − z0 = t (z1 − z0)

(338)

x− x0 x1 − x0

= y − y0 y1 − y0

= z − z0 z1 − z0

(339)

7.7 Płaszczyzna w przestrzeni

Twierdzenie 7.15 PłaszczyznaG przechodząca przez dany punkt P0 = (x0,y0, z0) i prostopadła do danego niezerowego wektora

111

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

N = [A,B,C] (rys. 32) jest opisana równaniami

N ·−−→P0P = 0 - postać wektorowa A (x− x0) +B (y − y0) + C (z − z0) = 0 - postać szczególna Ax+By + Cz +D = 0 - postać ogólna

(340)

Przykład 7.3 Wyznaczyć równanie płaszczyzny G symetralnej odcinkaM1M2 o końcachM1 = (−2, 1, 7), M2 = (4, 5, 3).

Rozwiązanie 7.3 Płaszczyzna G jest prostopadła do wektora −−−−→ M1M2 i przechodzi przez punkt

P0 =

µ M1x +M2x

2 , M1y +M2y

2 , M1z +M2z

2

¶ = (1, 3, 5)

Wektor −−−−→ M1M2 = [6, 4,−4]. Zgodnie z równaniem (340) mamy

6 (x− 1) + 4 (y − 3)− 4 (z − 5) = 0

Stąd otrzymujemy 3x+ 2y − 2z + 1 = 0

0z

0x

0y

P

N

P0

G

Rysunek 32: Płaszczyzna przechodząca przez P0 i prostopadła do wektora N.

Przedstawimy teraz równania płaszczyzny prze- chodzącej przez dany punkt w przestrzeni i równoległej do danych dwóch różnych wektorów.

Twierdzenie 7.16 PłaszczyznaG przechodząca przez dany punkt P0(x0, y0, z0) i równoległa do danych dwóch wektorów nierównoległych v1 = [a1, b1, c1], v2 = [a2, b2, c2] (patrz rys. 33) jest opisana równaniami −−→ P0P = tv1 + sv2, t, s ∈ R postać wektorowa⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ x− x0 = a1t+ a2s

y − y0 = b1t+ b2s

z − z0 = c1t+ c2s

postać parametryczna

¯̄̄̄ ¯̄ x− x0 a1 a2y − y0 b1 b2 z − z0 c1 c2

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 postać wyznacznikowa

(341)

Twierdzenie 7.17 Płaszczyzna G przechodząca przez trzy dane punkty (patrz rys. 33), które nie leżą na jednej prostej P0 = (x0, y0, z0) , P1 = (x1, y1, z1) , P2 = (x2, y2, z2) jest opisana równaniem wyznacznikowym¯̄̄̄

¯̄ x− x0 x1 − x0 x2 − x0y − y0 y1 − y0 y2 − y0 z − z0 z1 − z0 z2 − z0

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 (342)

112

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

0z

0y

0x

P

v2

v1

P0G

P0 P

P1

P2

Rysunek 33: Płaszczyzna przechodząca przez punkt i równoległa do wektorów i płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty.

które jest równoważne równaniu ¯̄̄̄ ¯̄̄̄ x x0 x1 x2y y0 y1 y2 z z0 z1 z2 1 1 1 1

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ = 0 (343)

Twierdzenie 7.18 Płaszczyzna G zawierająca dwie proste l1, l2 równoległe i różne

l1 : x− x1 a

= y − y1 b

= z − z1 c

l2 : x− x2 a

= y − y2 b

= z − z2 c

jest opisana równaniem ¯̄̄̄ ¯̄ x− x1 a x2 − x1y − y1 b y2 − y1 z − z1 c z2 − z1

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 (344)

7.7.1 Postác kierunkowa płaszczyzny

Podamy twierdzenie:

Twierdzenie 7.19 Dowolną płaszczyznę nierównoległą do osi 0z można przedstawíc równa- niem kierunkowym

z = ax+ by + c postać kierunkowa płaszczyzny (345)

i na odwrót, dla dowolnie obranych wartósci a, b, c równanie to przedstawia pewną płaszczyznę nierównoległą do osi 0z.

113

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

7.8 Przykłady

Przykład 7.4 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (4, 2) i

a) równoległej do wektora [3, 5]; e) przechodzącej przez punkt (1,−1); b) prostopadłej do wektora [3, 5]; f) tworzącej z osią 0x kąt 600; c) równoległej do wektora [1, 0]; g) tworzącej z osią 0y kąt −450. d) prostopadłej do wektora [1, 0];

Rozwiązanie 7.4 Przedstawimy kilka postaci rozwiązań:

a) Mamy x0 = 4, y0 = 2,u = [3, 5]. Postać ogólna −−→ P0P = tu.

x− 4 = 3t y − 2 = 5t - postać parametryczna

x− 4 3

= y − 2 5

- postać proporcji

¯̄̄̄ x− 4 y − 2 3 5

¯̄̄̄ = 0 - postać wyznacznikowa

Z postaci tej dochodzimy do zapisu ogólnego

5 (x− 4)− 3 (y − 2) = 0 → 5 (x− 4) = 3 (y − 2)

y − 2 = 5 3 (x− 4)

y = 5

3 x− 14

3 - postać kierunkowa

Czyli 5x− 3y − 14 = 0

b) N = [3, 5]. Zgodnie z Twierdzeniem 7.2 otrzymujemy

N ·−−→P0P = A (x− x0) +B (y − y0) = 0

Stąd 3 (x− 4) + 5 (y − 2) = 0.

3x+ 5y − 22 = 0 → postać ogólna

y = −3 5 x+

22

5 → postać kierunkowa

c) x0 = 4, y0 = 2, u = [1, 0] , −−→ P0P = t · u czyli x− x0 = t y − y0 = 0 → y = 2

d) N ·−−→P0P = 0, N = [1, 0] czyli 1 · (x− 4) + 0 (y − 2) = 0→ x = 4

e) x1 = 4, y1 = 2; x2 = 1, y2 = −1→ y − 2 x− 4 =

−1− 2 1− 4 . Stąd y = x− 2 lub x− y − 2 = 0.

α = 600, tgα = √ 3 = m → y = mx + b → 2 =

√ 3 · 4 + b → b = 2

¡ 1− 2

√ 3 ¢ . Stąd

y = √ 3x+ 2

¡ 1− 2

√ 3 ¢ lub y − 2 =

√ 3 (x− 4)

114

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

f) α = −450, tgα = −1 = m, y = −x+ b, 2 = −4 + b,b = 6, y = −x+ 6

Przykład 7.5 Napisać w postaci ogólnej równanie prostej, która przechodzi przez punkt (1, 3) i

a) jest równoległa do wektora [4,−1], d) przechodzi przez punkt (2, 3), b) jest prostopadła do wektora [4,−1], e) przechodzi przez punkt (1, 5). c) przechodzi przez punkt (2, 5),

Rozwiązanie 7.5 Analizujemy kolejno:

a) Wychodzimy z postaci wyznacznikowej¯̄̄̄ x− 1 y − 3 4 −1

¯̄̄̄ = − (x− 1)− 4 (y − 3) = 0

Stąd x+ 4y − 13 = 0.

b) N ·−−→P0P = 4 (x− 1)− (y − 3) = 0. Stąd 4x− y − 1 = 0.

c) x− 1 2− 1 =

y − 3 5− 3 → 2x− 2− y + 3 = 0→ 2x− y + 1 = 0.

d) x− 1 2− 1 =

y − 3 3− 3 A więc 0 (x− 1) = y − 3 czyli y = 3

e) x− 1 1− 1 =

y − 3 5− 3 Czyli 2 (x− 1) = 0 (y − 3). A więc x = 1.

Przykład 7.6 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (−1, 4) i prostopadłej do prostej

a) 2x− 5y − 7 = 0, d) y = 3, b) x− 3y = 0, e) x = 3. c) y = x,

Rozwiązanie 7.6 1. Mamy 2x − 5y − 7 = 0 → A1 = 2, B1 = −5. Z Twierdzenia 7.9 wiemy, że dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

A1A2 +B1B2 = 0

A więc 2A2 − 5B2 = 0. Jeżeli przyjmiemy, że A2 = 5, to B2 = 2. Stąd 5 (x+ 1) + 2 (y − 4) = 0 czyli 5x+ 2y − 3 = 0.

2. Na mocy Twierdzenia 7.10 mamy 1 + m1m2 = 0. Współczynnik kierunkowy prostej 2x − 5y − 7 = 0 jest równy m1 = 25

¡ y = 2

5 x− 7

5

¢ . Współczynnik kierunkowy prostej

prostopadłej jest równy m2 = −52 . A więc

y = −5 2 x+ b

Prosta ta ma przechodzíc przez P0 = (−1, 4). Stąd b przyjmuje wartósć

4 = 5

2 + b→ b = 3

2

Czyli 2y = −5x+ 3. A więc 5x+ 2y − 3 = 0.

115

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Przykład 7.7 Obliczyć współczynnik kierunkowy prostej p, która z prostą l o równaniu y = 2x tworzy kąt skierowany o mierze {l, p} równej

a) π/4 c) π/3 b) −π/4 d) −π/3

Rozwiązanie 7.7 Analizujemy kolejno:

a) Korzystamy z wzoru

tg {l, p} = ¯̄̄̄ m1 −m2 1 +m1m2

¯̄̄̄ m1 = 2,{l, p} = π/4,tg {l, p} = 1. Stąd 1 =

¯̄̄̄ 2−m2 1 + 2m2

¯̄̄̄ Przypadek 7.1

1 = − 2−m2 1 + 2m2

→ m2 = −3

Przypadek 7.2

1 = 2−m2 1 + 2m2

→ m2 = 1

3

Rozwiązaniem jest tylko wartósć m2 = −3.

b) m1 = 2, tg (−π/4) = −1 −1 =

¯̄̄̄ 2−m2 1 + 2m2

¯̄̄̄ Przypadek 7.3

−1 = − 2−m2 1 + 2m2

→ m2 = 1

3

Przypadek 7.4

−1 = 2−m2 1 + 2m2

→ m2 = −3

Rozwiązaniem jest tylko wartósć m2 = 13 .

Przykład 7.8 Wyznaczyć punkt wspólny P (x0, y0) dwóch prostych

a) l1 : 3x+ 2y − 6 = 0 l2 : 2x− 3y + 6 = 0 b) l1 : x+ y − 10 = 0 l2 : x = t, y = 2t+ 1 c) l1 : x cosα+ y sinα = a l2 : x cosβ + y sinβ = b d) l1 : y = m1x+ b1 l2 : y = m2x+ b2, m1 6= m2

Rozwiązanie 7.8

D =

¯̄̄̄ 3 2 2 −3

¯̄̄̄ = −9− 4 = −13

Dx =

¯̄̄̄ 6 2 −6 −3

¯̄̄̄ = −18 + 12 = −6

Dy =

¯̄̄̄ 3 6 2 −6

¯̄̄̄ = −18− 12 = −30

A więc x0 = DxD = 6 13 oraz y0 =

Dy D = 30

13 . Stąd P0 =

¡ 6 13 , 30 13

¢ .

116

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

Przykład 7.9 Obliczyć odległósć punktu P od prostej l mając dane

a) P = (5, 7) l : 3x+ 4y + 12 = 0 b) P = (−1,−2) l : 2x− y − 10 = 0 c) P = (4,−2) l : y = −x+ 5 d) P = (0, 0) l : x = at+ b, y = ct+ d, |a|+ |c| > 0

Rozwiązanie 7.9

d (P, l) = |Axp +Byp + C|√

A2 +B2

a)

d (P, l) = |3 · 5 + 4 · 7 + 12|√

9 + 16 = 15 + 28 + 12

5 = 11

Przykład 7.10 W pęku prostych wyznaczonych przez proste l1 : 2x + 3y + 4 = 0 i l2 : 5x+ 6y + 7 = 0 znalézć prostą l

a) przechodzącą przez początek układu,

b) równoległą do prostej 8x+ 9y + 10 = 0,

c) prostopadłej do prostej 8x+ 9y + 10 = 0.

Rozwiązanie 7.10 Równanie pęku prostych ma postać

λ (2x+ 3y + 4) + µ (5x+ 6y + 7) = 0

lub (2x+ 3y + 4) + k (5x+ 6y + 7) = 0, k =

µ

λ , λ 6= 0

Wstawiając współrzędne punktu P = (0, 0) do powyższego równania otrzymujemy

4λ+ 7µ = 0 lub 4 + 7k = 0

Czyli k = −4 7 . A więc, poszukiwane równanie ma postać

(2x+ 3y + 4)− 4 7 (5x+ 6y + 7) = 0 lub 2x+ y = 0

Suma współczynników stojących przy x i y w pęku prostych ma być równa współczynnikom stojącym przy x i y w równaniu danej prostej 8x+ 9y + 10 = 0. A więc

λ (2x+ 3y + 4) + µ (5x+ 6y + 7) = 0

Czyli równanie (2λ+ 5µ)x+ (3λ+ 6µ) y + (4λ+ 7µ) = 0

ma odpowiadać 8x+ 9y + 10 = 0

Stąd 2λ+ 5µ = 8 3λ+ 6µ = 9

117

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

D =

¯̄̄̄ 2 5 3 6

¯̄̄̄ = −3, Dλ =

¯̄̄̄ 8 5 9 6

¯̄̄̄ = 3, Dµ =

¯̄̄̄ 2 8 3 9

¯̄̄̄ = −6

λ = −1, µ = 2, k = −2

Poszukiwana prosta jest opisana równaniem

(2x+ 3y + 4)− 2 (5x+ 6y + 7) = 0 lub 8x+ 9y + 10 = 0

A więc, jest to prosta z pęku. Szukamy współrzędnych wierzchołka pęku prostych. W tym celu rozwiązujemy układ równań½

2x+ 3y + 4 = 0 5x+ 6y + 7 = 0

D =

¯̄̄̄ 2 3 5 6

¯̄̄̄ = −3, Dx =

¯̄̄̄ −4 3 −7 6

¯̄̄̄ = −3, Dy =

¯̄̄̄ 2 −4 5 −7

¯̄̄̄ = 6

A więc P0 = (1,−2). Musimy teraz wyznaczyć prostą przechodzącą przez punkt P0 i prostopadłą do prostej 8x+ 9y + 10 = 0. Z warunku prostopadłósci mamy

A1A2 +B1B2 = 0 8A2 + 9B2 = 0

Można np. przyjąć, że A2 = 9, B2 = −8. Wartósć C2 wyznaczamy korzystając ze współrzędnych P0. A więc

A2x+B2y + C2 = 0 czyli 9x− 8y + C2 = 0 9 · 1− 8 · (−2) + C2 = 0 −→ 9 + 16 + C2 = 0, C2 = −25

Prosta jest opisana równaniem 9x− 8y − 25 = 0

lub

(2x+ 3y + 4)− 43 94 (5x+ 6y + 7) = 0

Przykład 7.11 Dane są punkty A = (3, 0) , B = (11, 0) , C = (3, 6). Wyznaczyć proste zawierające dwusieczne kątów trójkąta ABC.

Rozwiązanie 7.11 x− y − 3 = 0, x+ 3y − 11 = 0, 2x+ y − 12 = 0

Przykład 7.12 Napisać w postaci proporcji podwójnej równanie prostej przechodzącej przez punkt P0 i równoległej do wektora u, mając dane

a) P0 = (1,−3, 0) , u = [3,−2, 5] b) P0 = (2, 3, 4) , u = [1, 1, 0] c) P0 = (2, 3, 4) , u = [0, 1, 0] d) P0 = (2, 3, 4) , u = [1, 0, 0]

118

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

Rozwiązanie 7.12 Na podstawie definicji mamy

x− x0 p

= y − y0 q

= z − z0 r

Stąd

a) x− 1 3

= y + 3

−2 = 2

5

b) x− 2 1

= y − 3 1

= 2− 4 0 , tzn. x− 2 = y − 3, z − 4 = 0

c) x− 2 0

= y − 3 1

= 2− 4 0 , x = 2, z = 4, y− dowolne

d) x− 2 1

= y − 3 0

= 2− 4 0 , y = 3, z = 4, x− dowolne

Przykład 7.13 Napisać w postaci parametrycznej równania prostej

a) x− 1 2

= y − 3 4

= 2− 5 6

b) 2x+ 3 = 4y + 5 = 8z

Rozwiązanie 7.13 Przyjmując

x− 1 2

= y − 3 4

= 2− 5 6

= t

otrzymujemy x = 1 + 2t y = 3 + 4t z = 5 + 6t

Przyjmując 2x+ 3 = 4y + 5 = 8z = t

otrzymujemy

x = −3 2 + t

2 y = −5

4 + t

4 z = t

8

Przykład 7.14 Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez:

a) punkt (1,−2,−1) i jest prostopadła do wektora [1,−3, 2], b) punkt (0, 2, 5) i jest równoległa do wektorów [1, 0, 0] i [2, 1,−3], c) punkty (1, 0, 5), (−1, 2, 2), (0, 3, 4), d) dwie proste równoległe l1 :

x

2 = y − 1 = x+ 2

3 , l2 :

x− 3 2

= y = 2/3.

Rozwiązanie 7.14 Zgodnie z Twierdzeniem 7.15 mamy N ·−−→P0P = 0. A więc

1 (x− 1)− 3 (y + 2) + 2 (z + 1) = 0

Stąd x− 3y + 2z − 5 = 0

Zgodnie z Twierdzeniem 7.16 −−→ P0P = tu1 + su2

119

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

A więc ¯̄̄̄ ¯̄ x− 0 1 2y − 2 0 1 z − 5 0 −3

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

Czyli

x

¯̄̄̄ 0 1 0 −3

¯̄̄̄ − (y − 2)

¯̄̄̄ 1 2 0 −3

¯̄̄̄ + (z − 5)

¯̄̄̄ 1 2 0 1

¯̄̄̄ = 0

3 (y − 2) + (z − 5) = 0 3y + z − 11 = 0

Zgodnie z Twierdzeniem 7.17 mamy¯̄̄̄ ¯̄ x− 1 −1− 1 −1y − 0 2 3 z − 2 2− 2 2

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 =

¯̄̄̄ ¯̄ x− 1 −2 −1y 2 3 z − 2 0 2

¯̄̄̄ ¯̄ =

= (x− 1) ¯̄̄̄ 2 3 0 2

¯̄̄̄ − y

¯̄̄̄ −2 −1 0 2

¯̄̄̄ + (z − 2)

¯̄̄̄ −2 −1 2 3

¯̄̄̄ =

= 4 (x− 1) + 4y − 4 (z − 2) = 0

4x+ 4y − 4z + 4 = 0, −→ x+ y − z + 1 = 0 Patrz Twierdzenie 7.18, a = 2, b = 1, c = 3¯̄̄̄

¯̄ x− 0 2 3y − 1 1 −1 z + 2 3 2

¯̄̄̄ ¯̄ = 0

Stąd x+ y − z − 3 = 0

120

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

8 Ciągi i szeregi liczbowe

8.1 Ciąg liczbowy i jego granica

Liczby naturalne (1, 2, 3, 4, . . . , n, . . .) (346)

liczby parzyste dodatnie (2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .) (347)

liczby nieparzyste dodatnie (1, 3, 5, 7, . . . , 2n− 1, . . .) (348)

odwrotnósci liczb naturalnych µ 1, 1

2 , 1

3 , 1

4 , . . . ,

1

n , . . .

¶ (349)

są przykładami ciągów.

Definicja 8.1 Funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R

f : N −→ R (350) nazywamy ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych lub ciągiem liczbowym albo krótko: ciągiem i oznaczamy

(an) lub (a1, a2, . . . , an, . . .) (351)

Symbol n nazywamy wskáznikiem, a an wyrazem o wskázniku n albo n− tym wyrazem ciągu liczbowego. Do zdefiniowania ciągu liczbowego wystarczy więc podác wzór na jego n− ty wyraz.

Uwaga 8.1 Mając na uwadze informacje uzyskane w szkole średniej, zauważamy, że odwzoro- wanie (350) charakteryzuje się tym, że jego argumentami są kolejne liczby naturalne. Nie jest więc odwzorowaniem, które ogólnie nazywamy odwzorowaniem ciągłym. Funkcję zależną od argumentu zmieniającego się skokowo nazywamy funkcją dyskretną. Jej wartósci są punktami o współrzędnych (n, f(n)) lub (n, an) (patrz rysunki w dalszej czę́sci wykładu).

Ciąg arytmetyczny (p− pierwszy wyraz, d− różnica ciągu)

(p, p+ d, p+ 2d, p+ 3d, . . . , p+ (n− 1) d, . . .) (352)

oraz ciąg geometryczny (p− pierwszy wyraz, q− iloraz ciągu)¡ p, pq, pq2, pq3, . . . , pqn−1, . . .

¢ (353)

są przykładami ciągów bardziej złożonych. Szczególnym przypadkiem ciągu jest ciąg o takich samych wyrazach - ciąg stały (c−

dowolna liczba) (c, c, c, . . . , c, . . .) (354)

który jest jednoczésnie ciągiem geometrycznym (q = 1) i arytmetycznym (d = 0).

121

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Innymi przykładami ciągów są odwzorowania

(−1, 1,−1, 1, . . . , (−1)n , . . .) (355)µ 2, 2

1

4 , 2 10

27 , 2 113

256 , . . . ,

µ 1 +

1

n

¶n , . . .

¶ (356)¡

c, √ c, 3 √ c, 4 √ c, . . . , n

√ c, . . .

¢ (357)³

1, √ 2,

3 √ 3,

4 √ 4, . . . , n

√ n, . . .

´ (358)µ

1

2 , 2

3 , 3

4 , 4

5 , . . . ,

n

n+ 1 , . . .

¶ (359)

W ciągu liczbowym bardzo ważne jest uporządkowanie wyrazów. Ciągi

(1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, . . .) (360)

i (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) (361)

pomimo tej samej liczby zer i jedynek są różne, ponieważ ich wyrazy są inaczej uporządkowane.

Definicja 8.2 Mówimy, że ciąg (an) jest:

1. rosnący (silnie rosnący), jeżeli15

∀n ∈ N an < an+1 (362)

2. niemalejący (słabo rosnący), jeżeli

∀n ∈ N an ≤ an+1 (363)

3. malejący (silnie malejący), jeżeli

∀n ∈ N an > an+1 (364)

4. nierosnący (słabo malejący), jeżeli

∀n ∈ N an ≥ an+1 (365)

5. monotoniczny, jeżeli jest niemalejący lub nierosnący,

6. silnie monotoniczny, jeżeli jest rosnący lub malejący.

Przykład 8.1 Wykazać, że ciąg okréslony wzorem

an = n

n+ 1

jest rosnący.

15Zapis ∀n ∈ N czytamy: dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych.

122

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Rozwiązanie 8.1 Należy wykazać, że różnica an+1 − an jest dodatnia dla każdego n ∈ N . Otóż dla n = m ∈ N zachodzi

am+1 − am = m+ 1

m+ 2 − m m+ 1

= (m+ 1)2 −m (m+ 2) (m+ 1) (m+ 2)

=

= 1

(m+ 1) (m+ 2) > 0

Ponieważ m jest dowolne, zatem ciąg jest rosnący.

Definicja 8.3 Otoczeniem U (g, ε) liczby g o promieniu ε (ε > 0) nazywamy przedział otwarty (g − ε, g + ε) .16

ε−g g ε+g

ε ε

Rysunek 34: Otoczenie liczby g.

Mówimy, że liczba y różni się od liczby g mniej niż o ε, jeżeli należy do otoczenia g. Zapisujemy to

y ∈ U (g, ε)⇐⇒ |y − g| < ε (366) Wiemy, że

1.41 < √ 2 < 1.42

Zatem liczby 1.41 i 1.42 różnią się od √ 2 mniej niż o

0.01, czyli należą do U ¡√ 2, 0.01

¢ .

Powiedzenie prawie wszystkie wyrazy ciągu oznacza - wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu.

Przykład 8.2 Wézmy pod uwagę ciąg o wyrazie ogólnym

an = 1

n

Możemy powiedziéc, że prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia liczby 0 o promieniu 0.02.

Rozwiązanie 8.2 Rzeczywíscie, odrzucając 50 początkowych wyrazów tego ciągu widzimy, że stwierdzenie to jest prawdziwe. Wyraz a51 = 151 i wszystkie po nim następujące należą do rozpatrywanego otoczenia. Łatwo wykazać, że dla dowolnego otoczenia liczby 0 zawsze znajdziemy taką liczbę naturalnąM , że po skrésleniuM początkowych wyrazów ciągu wszystkie następne wyrazy o wskázniku n > M będą do tego otoczenia należały. Niech ε > 0 będzie promieniem dowolnego otoczenia liczby 0. Otrzymujemy nierównósć

1

n < ε⇐⇒ n > 1

ε

Za M wystarczy przyjąć dowolną liczbę naturalną nie mniejszą od 1/ε.

Rozwiązanie 8.3 Gdy ε = 0.02, to M = 50. Dla ε = 0.00001 wartósć M = 100000. Mówimy, że liczba 0 jest granicą ciągu

¡ 1 n

¢ . Jest ona również granicą ciągu

¡ − 1 n

¢ .

Definicja 8.4 Ciąg (an) jest ograniczony, jeżeli istnieje liczba M taka, że

∀n ∈ N |an| ≤M (367) Oznacza to, że istnieje przedział ograniczony, w którym znajdują się wszystkie wyrazy tego ciągu.

16Przedział domknięty hg − ε, g + εi nazywamy otoczeniem domkniętym liczby g o promieniu ε.

123

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

an

0

ε

ε−

n an

1 =

n bn

1 −=

n n

ε+g

ε−g

g

na

Rysunek 35: Zbieżnóśc ciągów.

an

0

ε

n

Rysunek 36: Wartósci wyrazów ciągu (an).

Przykładem ciągu ograniczonego jest ciąg an =

n n+1 . Przykładem ciągu nieograniczonego

jest ciąg arytmetyczny o niezerowej różnicy d.

Definicja 8.5 Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an) wtedy i tylko wtedy, gdy17

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀n > δ |an − g| < ε (368)

co zapisujemy g = lim

n→∞ an lub g = lim an

Definicję 8.5 wypowiadamy również następująco:

Definicja 8.6 Liczba g jest granicą ciągu (an), jeżeli w jej dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu (an).

Przykład 8.3 Wykazać, że

lim 1 + (−1)n

n = 0

Rozwiązanie 8.4 Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu an = 1+(−1)n n

: 0, 1, 0, 1 2 , 0, 1

3 ,

0, 1 4 , 0, . . .. Wartósci wyrazów ciągu przedstawione są na rysunku 36. Zadanie rozwiążemy oddzielnie dla wskázników parzystych i nieparzystych. Wyrazy o wskázniku nieparzystym: a2k−1 = 0 dla każdego k ∈ N (∀k ∈ N ), więc dla

każdego ε > 0 i k ∈ N prawdą jest, że

a2k−1 ∈ U (0, ε)

Wyrazy o wskázniku parzystym : a2k = 1+12k = 2 2k = 1 k dla każdego k ∈ N . Zatem

|a2k − 0| < ε⇐⇒ 1

k < ε⇐⇒ 2k > 2

ε

Przyjmijmy, że M = 2 ε i ε = 1

50 , stąd M = 100. Wówczas

a101 = 0, a102 = 1

51 < 1

50 , a103 = 0, a104 =

1

52 < 1

50

Widzimy, że dla n > M liczba 0 jest granicą ciągu, bo |an − 0| < ε. 17Zapis ten czytamy: Dla każdego ε > 0 istnieje taka δ > 0, że dla każdego n > δ wyrażenie |an − g| < ε.

124

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Definicja 8.7 Ciąg, który ma granicę nazywamy zbieżnym, a ciąg, który nie ma granicy - rozbieżnym.

Twierdzenie 8.1 Ciąg zbieżny jest ograniczony.

Z ograniczonósci ciągu nie wynika jego zbieżnóśc. Ciąg ograniczony może býc rozbieżny, np.

(−1,+1,−1,+1, . . . , (−1)n , . . .)

Przykład 8.4 Udowodnić na podstawie definicji, że

lim n→∞

n

n+ 1 = 1

Rozwiązanie 8.5 Ciąg jest zbieżny do granicy skończonej, jeżeli |an − g| < ε. A więc mamy wykazać, że ¯̄̄̄

n

n+ 1 − 1 ¯̄̄̄ < ε

tzn. dla dowolnej liczby dodatniej ε istnieje liczba δ taka, że dla n > δ zachodzi powyższa nierównósć. Ponieważ¯̄̄̄

n

n+ 1 − 1 ¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ n

n+ 1 − n+ 1 n+ 1

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ −1 n+ 1

¯̄̄̄ =

1

n+ 1 (369)

to na mocy ¯̄̄̄ n

n+ 1 − 1 ¯̄̄̄ < ε

otrzymujemy, że 1

n+ 1 < ε (370)

Rozwiązując ostatnią nierównósć ze względu na n dochodzimy do oszacowania

n > 1− ε ε

(371)

Teraz możemy wyznaczyć liczbę δ. Mianowicie, przyjmujemy

δ = 1− ε ε

(372)

i stwierdzamy, że dla n > δ zachodzi nierównósć¯̄̄̄ n

n+ 1 − 1 ¯̄̄̄ < ε (373)

Przykład 8.5 Udowodnić na podstawie definicji, że:

lim n→∞

1

n = 0 i lim

n→∞

µ −1 n

¶ = 0 (374)

125

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Rozwiązanie 8.6 Nierównósć |an − g| < ε występująca w definicji granicy ciągu w obu rozważanych przypadkach przybiera postać

1

n < ε (375)

Zakładamy, że ε > 0. Nierównósć (375) jest równoważna nierównósci

n > 1

ε (376)

Przyjmując δ = 1/ε stwierdzamy, że dla n > δ zachodzi (374). Stwierdzenie: ciąg (an) jest zbieżny - oznacza, że ciąg ten ma pewną granicę (skończoną). Zbieżnósć ciągu oznacza istnienie granicy (skończonej) tego ciągu.

Twierdzenie 8.2 Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.

Definicja 8.8 Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +∞ (czyt.: do plus nieskończonósci) albo, że ciąg (an) ma granicę (niewłásciwą) +∞ i piszemy

an → +∞ albo lim n→∞ an = +∞ (377)

jeżeli dla dowolnej liczby A istnieje liczba δ taka, że wszystkie wyrazy ciągu (an) o wskáznikach n większych od δ są większe od A

∀A ∃δ ∀n > δ an > A (378)

Definicja 8.9 Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do −∞ albo, że ciąg (an) ma granicę (niewłásciwą) −∞, co zapisujemy

an →−∞ albo lim n→∞ an = −∞ (379)

jeżeli dla dowolnej liczby A istnieje liczba δ taka, że wszystkie wyrazy ciągu (an) o wskáznikach n większych od δ są mniejsze od A

∀A ∃δ ∀n > δ an < A (380)

Definicja 8.10 (Otoczenia ±∞)

1. Otoczeniem plus nieskończonósci nazywamy każdy przedział (A,+∞), gdzie A jest dowolną liczbą.

2. Otoczeniem minus nieskończonósci nazywamy każdy przedział (−∞, A), gdzie A jest dowolną liczbą.

Posługując się powyższymi pojęciami możemy powiedziéc, że

1. Ciąg (an) jest rozbieżny do+∞, jeżeli w każdym otoczeniu plus nieskończonósci znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

2. Ciąg (an) jest rozbieżny do −∞, jeżeli w każdym otoczeniu minus nieskończonósci znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Wniosek 8.1 Każdy ciąg arytmetyczny o różnicy dodatniej jest rozbieżny do +∞; każdy ciąg arytmetyczny o różnicy ujemnej jest rozbieżny do −∞.

Twierdzenie 8.3 Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

126

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

8.2 Własnósci ciągu geometrycznego

Twierdzenie 8.4 Własnósci ciągu geometrycznego (qn) zależą od wartósci ilorazu ciągu q, a mianowicie:

• Jeżeli q > 1, to lim n→∞ qn =∞

• Jeżeli q = 1, to lim n→∞ qn = 1

• Jeżeli |q| < 1, to lim n→∞ qn = 0

• Jeżeli q ≤ −1, to ciąg (qn) jest rozbieżny.

Twierdzenie 8.5 (O znaku wyrazów ciągu) Jeżeli granica ciągu jest liczbą dodatnią, to prawie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie. Jeżeli granica ciągu jest liczbą ujemną, to prawie wszystkie wyrazy ciągu są ujemne.

Twierdzenie 8.6 (O znaku granicy ciągu) Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych, to granica tego

ciągu jest liczbą nieujemną. Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich, to granica tego

ciągu jest liczbą niedodatnią.

Twierdzenie 8.7 (O relacjach między granicami ciągów) Jeżeli lim

n→∞ an = a, lim

n→∞ bn = b oraz a < b, to istnieje liczba δ taka, że an < bm dla n > δ i

m > δ. Jeżeli lim

n→∞ an = a, lim

n→∞ bn = b oraz an < bn dla prawie wszystkich n, to a ≤ b.

8.3 Działania na ciągach i ich granicach. Symbole nieoznaczone

Definicja 8.11 Niech będą dane dwa ciągi (an) i (bn). Ciągi (An), (Bn), (Cn) okréslone wzorami:

An = an + bn (381)

Bn = an − bn (382) Cn = an · bn (383)

nazywamy odpowiednio: sumą, różnicą i iloczynem ciągów (an) i (bn). Jeżeli bn 6= 0 dla ∀n ∈ N , to ciąg (Dn) okréslony wzorem:

Dn = an bn

(384)

nazywamy ilorazem ciągów (an) i (bn).

Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, to działaniom na tych ciągach odpowiadają analogiczne działania na granicach tych ciągów. Mówi o tym następujące twierdzenie.

127

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Twierdzenie 8.8 (O działaniach na ciągach) Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, to ciągi (an + bn), (an − bn) i (an · bn) też są zbieżne i

między ich granicami zachodzą związki18

lim n→∞

(an + bn) = lim n→∞ an + lim

n→∞ bn (385)

lim n→∞

(an − bn) = lim n→∞ an − lim

n→∞ bn (386)

lim n→∞

(an · bn) = ³ lim n→∞ an ´ · ³ lim n→∞ bn ´

(387)

Jeżeli ciągi (an) i (bn) są zbieżne oraz dla dowolnego n naturalnego bn 6= 0 i lim n→∞ bn 6= 0,

to ciąg ³ an bn

´ jest zbieżny i jego granica spełnia równósć:

lim n→∞

µ an bn

¶ = lim n→∞ an

lim n→∞ bn

(388)

Przykład 8.6 Obliczyć granicę

lim n→∞

2n2 + n

3n2 + 8 (389)

Rozwiązanie 8.7 Zauważmy, że oba ciągi (2n2 + n) i (3n2 + 8) są rozbieżne, czyli

lim n→∞

2n2 + n

3n2 + 8 = ∞ ∞

Oznacza to, że nie możemy stosować do nich wzoru (388). Przekształcimy więc wyraz ogólny ciągu liczbowego (389) dzieląc licznik i mianownik przez n w najwyższej potędze, czyli przez n2:

2n2 + n

3n2 + 8 =

2n2

n2 + n n2

3n2

n2 + 8 n2

= 2 + 1

n

3 + 8 n2

(390)

Granica ciągu ¡ 2 + 1

n

¢ jest równa 2, a ciągu

¡ 3 + 8

n2

¢ jest równa 3. Ponieważ tak przekształcone

wyrażenie (390) zawiera w liczniku i mianowniku ciągi zbieżne, zatem na mocy (384) otrzymu- jemy

lim n→∞

2n2 + n

3n2 + 8 = lim n→∞

2n2+n n2

3n2+8 n2

= lim n→∞

2 + ¤ £ ¡ ¢1n %0

3 + ¨ §

¥ ¦8n2 %0

= 2

3 (391)

Zapis ¤ £ ¡ ¢1n %0 oznacza, że wyrażenie w owalu przy n→∞ zdąża do zera.

Odpowiedź: Granica jest równa 2 3 .

Uwaga 8.2 Wyrażenie ∞∞ nazywamy nieoznaczonóscią typu ∞ ∞ (symbolem nieoznaczonym

typu ∞∞) 19.

18Poniższe relacje odczytujemy: granica sumy (różnicy, iloczynu) dwóch ciągów jest równa sumie (różnicy, iloczynowi) granic tych ciągów. 19Czytamy: nieskończonósć nad nieskończonósć.

128

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Twierdzenie 8.9 Jeżeli lim n→∞ x2n = 0, to lim

n→∞ xn = 0.

Twierdzenie 8.10 (O rachunku granic nieskończonych)

1. Jeżeli lim n→∞

an = 0 oraz ∀n an > 0, to lim n→∞

1

an = +∞

2. Jeżeli lim n→∞

an = 0 oraz ∀n an < 0, to lim n→∞

1

an = −∞

3. Jeżeli lim n→∞

an = 0 oraz ∀n an 6= 0, to lim n→∞

1

|an| = +∞

4. Jeżeli lim n→∞

an = +∞ albo lim n→∞ an = −∞, to lim

n→∞

1

an = 0

5. Jeżeli lim n→∞

an = +∞, lim n→∞ bn = b > 0, to lim

n→∞ (an · bn) = +∞

6. Jeżeli lim n→∞

an = +∞, lim n→∞ bn = b < 0, to lim

n→∞ (an · bn) = −∞

7. Jeżeli lim n→∞

an = +∞, lim n→∞ bn = +∞, to lim

n→∞ (an + bn) = +∞

8. Jeżeli lim n→∞

an = +∞ oraz ciąg (bn) jest ograniczony, to lim n→∞

(an + bn) = +∞

Uwaga 8.3 Jeżeli lim n→∞ an = +∞ i lim

n→∞ bn = 0, to granicę lim

n→∞ (an · bn) = |∞ · 0| można

wyznaczyć po szczegółowej analizie ciągów (an), (bn). Jest to tzw. nieoznaczonósć typu |∞ · 0|20 (symbol nieoznaczony typu |∞ · 0|).

Wniosek 8.2 (za [4])

an bn (an · bn) lim n→∞

(an · bn) n c/n c c n 1/n2 1/n 0 n2 1/n n +∞ n2 −1/n −n −∞ n2 (−1)n /n (−1)n n nie istnieje

Uwaga 8.4 Jeżeli lim n→∞ an = +∞ i lim

n→∞ bn = +∞, to granicę lim

n→∞ (an − bn) = |∞−∞|

można wyznaczyć po szczegółowej analizie ciągów (an) i (bn). Jest to nieoznaczonósć typu |∞−∞|21 (symbol nieoznaczony typu |∞−∞|).

Przykład 8.7 Obliczyć lim n→∞

¡√ n2 + n− n

¢ .

20Czytamy: nieskończonósć razy zero. 21Czytamy: nieskończonósć minus nieskończonósć.

129

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Rozwiązanie 8.8 Stwierdzamy, że jest to ciąg typu |∞−∞|. Mnożąc i dzieląc różnicę¡√ n2 + n− n

¢ przez sumę

¡√ n2 + n+ n

¢ dochodzimy do

√ n2 + n− n =

¡√ n2 + n− n

¢ ¡√ n2 + n+ n

¢ √ n2 + n+ n

= n√

n2 + n+ n

A więc otrzymujemy ciąg typu ¯̄∞ ∞ ¯̄ (nieoznaczonósć typu

¯̄∞ ∞ ¯̄ ). Dzieląc licznik i mianownik

przez n sprowadzamy dany ciąg do postaci

n√ n2 + n+ n

= n nr

n2

n2 + §̈ ¥¦nn2 %0 + nn

= 1r

1 + ¤ £ ¡ ¢1n %0 + 1

Stąd lim n→∞

1√ 1+ 1

n +1 = 1

2 . Odp. Granica równa się 1

2 .

8.4 Warunki zbieżnósci ciągu

Przy wykazywaniu zbieżnósci ciągu liczbowego na podstawie definicji (np. Definicji 8.6) wymagana jest znajomóśc jego granicy. Może býc tak, że liczba ta nie jest wczésniej znana, lecz dany ciąg, o ile jest zbieżny, wyznacza ją. Wówczas wyrazy tego ciągu są jej przybliżeniami. Poniżej przedstawimy twierdzenia orzekające o zbieżnósci ciągu. Opisują one warunki

zbieżnósci ciągu liczbowego.

Twierdzenie 8.11 Jeżeli ciąg jest rosnący i ograniczony, to jest zbieżny, a granica tego ciągu jest liczbą większą od dowolnego wyrazu ciągu.

Twierdzenie 8.12 Jeżeli ciąg jest rosnący i nieograniczony, to jest rozbieżny do +∞.

Twierdzenie 8.13 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony, to jest rozbieżny do +∞ albo −∞.

Twierdzenie 8.14 (O trzech ciągach) Jeżeli dwa ciągi (an) i (bn) są zbieżne do wspólnej granicy i jeżeli wyrazy trzeciego ciągu (cn)

poczynając od pewnego n0 ∈ N są zawarte między odpowiednimi wyrazami tamtych ciągów, tzn.

an ≤ cn ≤ bn lub bn ≤ cn ≤ an to ciąg (cn) jest zbieżny do tej samej granicy co ciągi (an) i (bn).

Przykład 8.8 Wykazać, że

lim n→∞

sinn

n = 0 (392)

Rozwiązanie 8.9 Korzystamy z nierównósci

−1 n ≤ sinn n ≤ 1 n

(393)

oraz z Twierdzenia 8.14.

130

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Przykład 8.9 Udowodnić, że jeżeli c > 0, to

lim n→∞

n √ c = 1 (394)

Rozwiązanie 8.10 Jeżeli c = 1, to wzór (394) jest prawdziwy. Jeżeli c > 1, to n √ c > 1.

Można wówczas przyjąć, że n √ c = 1 + xn (395)

gdzie xn > 0. Mamy zatem

c = (1 + xn) n = 1 + nxn +

n (n− 1) 2!

x2n + . . .+ x n n (396)

Stądc > 1 + nxn, a xn < c−1n . Otrzymujemy podwójną nierównósć

0 < xn < c− 1 n

(397)

Ponieważ lim n→∞

c−1 n = 0, to na mocy twierdzenia o trzech ciągach mamy

lim n→∞ xn = 0 (398)

Z (398) po uwzględnieniu (395) wynika (394). Jeżeli c < 1, to 1 c > 1 i wzór lim

n→∞ n

q 1 c = 1 jest

prawdziwy na podstawie poprzedniej czę́sci dowodu, gdyż

lim n→∞

n √ c = lim

n→∞

1 n p 1/c

= 1

lim n→∞

n p 1/c

= 1

1 = 1 (399)

Przykład 8.10 Udowodnić, że lim n→∞

n √ n = 1 (400)

Rozwiązanie 8.11 Jest to ciąg typu |∞0| (nieoznaczonósć typu |∞0|). Skorzystamy z dowodu przedstawionego w poprzednim przykładzie. Możemy przyjąć, że

n √ n = 1 + xn (401)

gdzie xn > 0, zatem dla n = 2, 3, . . . mamy:

n = (1 + xn) n = 1 + nxn +

n (n− 1) 2!

x2n + . . .+ x n n (402)

Stąd n > n(n−1) 2! x2n oraz

0 < x2n < 2

n− 1 (403)

Wykorzystujemy twierdzenie o trzech ciągach i stwierdzamy, że

lim n→∞

2

n− 1 = 0 (404)

Wobec (404) otrzymujemy, że lim n→∞ x2n = 0 (405)

Na podstawie Twierdzenia 8.9 wiemy, że jeżeli zachodzi (405), to również zachodzi

lim n→∞ xn = 0 (406)

Uwzględniając (406) w (401) dochodzimy do (400).

131

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Przykład 8.11 Obliczyć lim n→∞

n √ 8n + 3n + 11n.

Rozwiązanie 8.12 Zauważmy, że

lim n→∞

n √ 11n ≤ lim

n→∞ n √ 8n + 3n + 11n ≤ lim

n→∞ n √ 3 · 11n

Ponieważ n √ 11n = 11, a n

√ 3 · 11n = 11 · n

√ 3, zatem otrzymujemy

11 ≤ lim n→∞

n √ 8n + 3n + 11n ≤ 11 · lim

n→∞ n √ 3

Ponieważ lim n→∞

n √ 3 = 1

to 11 ≤ lim

n→∞ n √ 8n + 3n + 11n ≤ 11

Stąd otrzymujemy, że lim n→∞

n √ 8n + 3n + 11n = 11

Twierdzenie 8.15 (O warunku koniecznym i wystarczającym Cauchy’ego zbieżnósci ciągu) Warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieżnósci ciągu liczbowego (an) (do granicy

skończonej) jest, aby dla dowolnej liczby dodatniej ε istniała liczba δ taka, że wyrazy ciągu o wskáznikach większych od δ różnią się między sobą o mniej niż o ε. Zapisujemy to

∀ε > 0 ∃δ ∀n,m > δ |am − an| < ε (407)

8.5 Liczba e = 2, 718281 . . .

Twierdzenie 8.16 Ciąg o wyrazie ogólnym

an =

µ 1 +

1

n

¶n (408)

jest rosnący.

Dowód 8.1 Stosując wzór dwumienny Newtona, mamy:

an = 1 + n 1

n + n (n− 1)

2!

µ 1

n

¶2 + n (n− 1) (n− 2)

3!

µ 1

n

¶3 + . . .+

n!

n!

µ 1

n

¶n =

= 1 + 1 + 1− 1

n

2! +

¡ 1− 1

n

¢ ¡ 1− 2

n

¢ 3!

+ . . .+

¡ 1− 1

n

¢ . . . ¡ 1− n−1

n

¢ n!

(409)

Analogicznie mamy

an+1 = 1 + 1 + 1− 1

n+1

2! +

¡ 1− 1

n+1

¢ ¡ 1− 2

n+1

¢ 3!

+ . . .+

+

¡ 1 + 1

n+1

¢ . . . ¡ 1− n−1

n+1

¢ n!

+

¡ 1− 1

n+1

¢ . . . ¡ 1− n

n+1

¢ (n+ 1)!

(410)

Każdy ze składników wyznaczających sumę (409) dla an jest nie większy od odpowiedniego składnika (410). Zatem an ≤ an+1.

132

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Twierdzenie 8.17 Ciąg

an =

µ 1 +

1

n

¶n (411)

jest ograniczony.

Dowód 8.2µ 1 +

1

n

¶n = 1 + 1 +

n (n− 1) 2!

µ 1

n

¶2 + n (n− 1) (n− 2)

1 · 2 · 3

µ 1

n

¶3 + . . .+

µ 1

n

¶n =

= 1 + 1 + 1 · ¡ 1− 1

n

¢ 1 · 2 +

1 · ¡ 1− 1

n

¢ ¡ 1− 2

n

¢ 1 · 2 · 3 + . . .+

µ 1

n

¶n <

< 1 + 1 + 1

1 · 2 + 1

1 · 2 · 3 + . . .+ 1

n! < 1 + 1 +

1

2 + 1

22 + . . .+

1

2n−1 =

= 1 + 1−

¡ 1 2

¢n 1− 1

2

< 1 + 1

1− 1 2

= 3

Twierdzenie 8.18 Ciąg

an =

µ 1 +

1

n

¶n jest zbieżny.

Definicja 8.12 (Liczby e) Liczbę e definiujemy wzorem:

e = lim n→∞

µ 1 +

1

n

¶n (412)

Uwaga 8.5 Dowodzi się, że e jest liczbą niewymierną i jest ona w przybliżeniu równa

e = 2.718281828459045235 . . .

Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego, oznaczanego ln.

Twierdzenie 8.19

lim n→∞

µ 1− 1 n

¶n = 1

e (413)

Dowód 8.3 Dla n > 1 mamy

1− 1 n =

1

1 + 1 n−1

(414)

Wobec tego µ 1− 1 n

¶n =

1¡ 1 + 1

n−1 ¢n = 1¡

1 + 1 n−1 ¢n−1 · 11 + 1

n−1

133

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Stąd22,23

lim n→∞

µ 1− 1 n

¶n = lim n→∞

1¡ 1 + 1

n−1 ¢n−1 · limn→∞ 11 + 1

n−1 =

= 1

lim n→∞

¡ 1 + 1

n−1 ¢n−1 · 1lim

n→∞

¡ 1 + 1

n−1 ¢ = 1 e · 1 1 = 1

e

Przykład 8.12 Obliczyć wartósć granicy ciągu

an = 3 √ n3 + 7n2 − n (415)

Rozwiązanie 8.13 Na początku przekształcimy powyższe wyrażenie zgodnie z wzorem¡ a2 + ab+ b2

¢ = ¡ a3 − b3

¢ / (a− b)

Mamy więc a− b = a3−b3 a2+ab+b2

. Czyli

lim n→∞

¡ 3 √ n3 + 7n2 − n

¢ = lim n→∞

n3 + 7n2 − n3 3

q (n3 + 7n2)2 + n 3

√ n3 + 7n2 + n2

=

= lim n→∞

7n2

3 √ n6 + 14n5 + 49n4 + n 3

√ n3 + 7n2 + n2

=

= lim n→∞

7n2

n2

n2

n2 +

3

r n6

n6 + ¨ §

¥ ¦14n5n6 %0 +

¨ §

¥ ¦49n4n6 %0 + 3

r n3

n3 + ¨ §

¥ ¦7n2n3 %0

= 7

3

Przykład 8.13 Obliczyć granicę ciągu

1 + 5 + 9 + . . .+ (4n− 3) 1 + 2 + 3 + . . .+ n

(416)

Rozwiązanie 8.14 W liczniku i w mianowniku mamy ciągi arytmetyczne: pierwszy z różnicą d = 4, drugi z różnicą d = 1. W obu przypadkach pierwszy wyraz ciągu p = 1. Wyznaczymy sumy obu ciągów:

1 + 5 + 9 + . . .+ (4n− 3) = 1 + (4n− 3) 2

· n

1 + 2 + 3 + . . .+ n = 1 + n

2 · n

Oba ciągi są rozbieżne do +∞. Ale

lim n→∞

[1 + (4n− 3)] n 2

(1 + n) n 2

= lim n→∞

4n− 2 1 + n

= lim n→∞

4− ¤ £ ¡ ¢2n %0

1 + ¤ £ ¡ ¢1n %0

= 4

22Wykorzystano tu twierdzenie lim n−→∞

³ 1 + 1n−1

´n−1 = lim n−→∞

¡ 1 + 1n

¢n = e oraz granicę lim

n−→∞ 1 n−1 = 0.

23Ogólnie mamy: lim n→∞

¡ 1 + an

¢n = lim n→∞

h¡ 1 + an

¢n/aia = ea oraz lim

n→∞

¡ 1− an

¢n = lim n→∞

h¡ 1− an

¢n/aia =

e−a.

134

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Przykład 8.14 Obliczyć granicę ciągu µ 1− 1 n2

¶n (417)

Rozwiązanie 8.15 Ponieważµ 1− 1 n2

¶n =

∙µ 1− 1 n

¶µ 1 +

1

n

¶¸n =

µ 1− 1 n

¶nµ 1 +

1

n

¶n Zatem

lim n→∞

µ 1− 1 n2

¶n = lim

n→∞

µ 1− 1 n

¶nµ 1 +

1

n

¶n =

= lim n→∞

µ 1− 1 n

¶n lim n→∞

µ 1 +

1

n

¶n = 1

e · e = 1

Przykład 8.15 Obliczyć granicę ciągów

a) an = µ 1− 1

3n

¶2n b) an =

µ 1 +

1

n

¶2n+1 c) an =

µ 1− 1 n

¶n+1 Rozwiązanie 8.16 Odpowiednio przekształcamy

a) µ 1− 1

3n

¶2n =

"µ 1− 1

3n

¶2n#3/2·2/3 =

"µ 1− 1

3n

¶3n#2/3 . Stąd

lim n→∞

"µ 1− 1

3n

¶3n#2/3 =

µ 1

e

¶2/3 = e−2/3

b) Rozwijamy wyrażenieµ 1 +

1

n

¶2n+1 =

µ 1 +

1

n

¶2nµ 1 +

1

n

¶ =

µ 1 +

1

n

¶nµ 1 +

1

n

¶nµ 1 +

1

n

¶ Stąd

lim n→∞

µ 1 +

1

n

¶2n+1 = lim n→∞

µ 1 +

1

n

¶n · lim n→∞

µ 1 +

1

n

¶ = e · e · 1 = e2

c) µ 1− 1 n

¶n+1 =

µ 1− 1 n

¶n · µ 1− 1 n

¶ . Stąd

lim n→∞

µ 1− 1 n

¶n+1 = lim n→∞

µ 1− 1 n

¶n · lim n→∞

µ 1− 1 n

¶ = 1

e · 1 = e−1

135

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

8.6 Sumowanie wyrazów ciągu

Definicja 8.13 Jeżeli dany jest ciąg (an), to suma n kolejnych wyrazów tego ciągu (poczynając od pierwszego)

a1 + a2 + a3 + . . .+ an = sn n ∈ N (418) jest okrésloną funkcją zmiennej n24.

Poniżej podamy przykłady ciągów, dla których istnieją wzory wyrażające sn w zależnósci od n:

• ciąg arytmetyczny (p− wyraz pierwszy, d− różnica)

p+ (p+ d) + (p+ 2d) + . . .+ [p+ (n− 1) d] = n 2 [2p+ (n− 1) d] (419)

• ciąg geometryczny (p− wyraz pierwszy, q− iloraz, q 6= 1)

p+ pq + pq2 + . . .+ pqn−1 = p 1− qn 1− q (420)

• ciąg liczb naturalnych 1 + 2 + 3 + . . .+ n =

n (n+ 1)

2 (421)

• ciąg kwadratów liczb naturalnych

12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = n

6 (2n+ 1) (n+ 1) (422)

• ciąg liczb nieparzystych

1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2 (423)

• ciąg kwadratów liczb nieparzystych

12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 = n 3

¡ 4n2 − 1

¢ (424)

8.7 Szereg liczbowy i jego suma

Definicja 8.14 Jeżeli jest dany ciąg liczbowy

(a1, a2, . . . , an, . . .) (425)

to ciąg sum s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an = nX k=1

ak

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(426)

24Dla n = 1 przyjmujemy, że s1 = a1.

136

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

nazywamy szeregiem o wyrazach an i oznaczamy symbolem

a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . . lub ∞X n=1

an (427)

Sumy (426) nazywamy sumami czę́sciowymi szeregu (427). Szereg jest więc ciągiem sum czę́sciowych.

Definicja 8.15 Szereg (427) nazywamy zbieżnym, gdy istnieje skończona granica

S = lim n→∞ sn (428)

natomiast rozbieżny w przeciwnym przypadku. Liczbę S nazywamy sumą szeregu. Szereg zbieżny ma sumę; szereg rozbieżny sumy nie ma.

S = a1 + a2 + . . .+ an + . . . lub ∞X n=1

an = S (429)

Wniosek 8.3 Szereg 1

1 · 2 + 1

2 · 3 + . . .+ 1

n (n+ 1) + . . . jest zbieżny, bo jego sumy czę́sciowe

sn = 1

1 · 2 + 1

2 · 3 + . . .+ 1

n (n+ 1) =

=

µ 1

1 − 1 2

¶ +

µ 1

2 − 1 3

¶ +

µ 1

3 − 1 4

¶ + . . .+

µ 1

n− 1 − 1

n

¶ +

µ 1

n − 1 n+ 1

¶ =

= 1− 1 n+ 1

tworzą ciąg zbieżny do granicy 1. Liczba 1 jest sumą tego szeregu

1

1 · 2 + 1

2 · 3 + . . .+ 1

n (n+ 1) + . . . = 1 = S (430)

Wniosek 8.4 Szereg 1+1+1+ . . . jest rozbieżny, bo ciąg sum czę́sciowych (sn) = (1, 2, 3, . . .) jest rozbieżny.

Wniosek 8.5 Szereg (1− 1 + 1− 1 + . . .) jest rozbieżny, bo ciąg sum czę́sciowych (sn) = (1, 0, 1, 0, . . .) jest rozbieżny.

Uwaga 8.6 Symbol a1 + a2 + a3 + . . . oznacza szereg (czyli ciąg sum czę́sciowych), ale jeżeli szereg jest zbieżny, to symbol ten oznacza również sumę szeregu (czyli liczbę). W praktyce ta dwuznacznósć wymaga upewnienia się, czy dany szereg jest zbieżny.

Twierdzenie 8.20 (Warunek konieczny zbieżnósci szeregu liczbowego) Jeżeli szereg a1+ a2+ . . .+ an+ . . . jest zbieżny, to ciąg wyrazów tego szeregu dąży do zera

lim n→∞ an = 0 (431)

137

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Uwaga 8.7 Nie jest słuszne (!) stwierdzenie odwrotne, czyli:

Jeżeli lim n→∞ an = 0, to szereg jest zbieżny.

Uwaga 8.8 Jeżeli warunek (431) nie zachodzi, to szereg jest rozbieżny!

Przykład 8.16 Szereg

101

1000 + 102

2000 + 103

3000 + . . .+

100 + n

1000n + . . .

jest rozbieżny, bo ciąg jego wyrazów nie dąży do 0.

Rozwiązanie 8.17 Rzeczywíscie

lim n→∞ an = lim

n→∞

100 + n

1000n = lim n→∞

100 n + 1

1000 =

1

1000 6= 0

Definicja 8.16 (Szeregu geometrycznego) Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg

p+ pq + pq2 + . . .+ pqn−1 + . . . = ∞X n=1

pqn (432)

w którym wyraz początkowy p i iloraz q są liczbami dowolnymi. Jeżeli p = 0, to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0. Jeżeli p 6= 0 i |q| ≥ 1, to ciąg wyrazów nie dąży do 0 i szereg jest rozbieżny. Jeżeli |q| < 1, to

lim n→∞

sn = lim n→∞

¡ p+ pq + pq2 + . . .+ pqn−1

¢ = lim n→∞ p 1− qn 1− q =

p

1− q Twierdzenie 8.21 Szereg geometryczny o ilorazie bezwzględnie mniejszym od 1 jest zbieżny

p+ pq + pq2 + . . .+ pqn−1 + . . . = p

1− q dla |q| < 1

Wniosek 8.6 Szeregi geometryczne zbieżne

1 + 1

2 + 1

4 + 1

8 + . . . =

1

1− 1 2

= 2

1− 1 2 + 1

4 − 1 8 + . . . =

1

1− ¡ −1 2

¢ = 2 3

1 + x+ x2 + x3 + . . . = 1

1− x dla |x| < 1

1− x+ x2 − x3 + . . . = 1 1 + x

dla |x| < 1

1 + x2 + x4 + x6 + . . . = 1

1− x2 dla |x| < 1

1− x2 + x4 − x6 + . . . = 1 1 + x2

dla |x| < 1

138

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Definicja 8.17 (Szeregu harmonicznego) Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg, którego wyrazy są odwrotnósciami liczb

naturalnych

1 + 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n + . . . =

∞X n=1

1

n (433)

Twierdzenie 8.22 Szereg harmoniczny jest rozbieżny, a ciąg jego sum czę́sciowych rósnie do +∞

1=L

Przykład szeregu geometrycznego

1

2 112

1

... 16 1

8 1

4 1

2 1

2 1 ;

2 1

= ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛ −

=

=++++=

==

S

qp

Rysunek 37: Szereg geometryczny i jego suma.

Definicja 8.18 Szeregiem harmonicznym rzędu r nazywamy szereg, którego wyrazy są odw- rotnósciami r−tych potęg liczb naturalnych

1 + 1

2r + 1

3r + . . .+

1

nr + . . . =

∞X n=1

1

nr (434)

Twierdzenie 8.23 Szereg harmoniczny rzędu r > 1 jest zbieżny, a rzędu r < 1 jest rozbieżny.

Uwaga 8.9 Szereg harmoniczny (433) jest szeregiem rzędu r = 1.

Przykład 8.17 Pokażemy, że ciąg sum czę́sciowych szeregu harmonicznego (433) jest nieog- raniczony.

Rozwiązanie 8.18 W tym celu pogrupujemy jego wyrazy

1 +

µ 1

2 + . . .+

1

10

¶ | {z } +

µ 1

11 + . . .+

1

100

¶ | {z }+

µ 1

101 + . . .+

1

1000

¶ | {z }+ . . .

9 wyrazów 90 wyrazów 900 wyrazów

Zauważmy, że każda wydzielona grupa ma wartósć większą od 0.9. Uwzględniając dostatecznie wiele takich grup, otrzymamy sumę czę́sciową większą od wybranej liczby A.

139

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Przykład 8.18 Pokażemy, że ciąg sum czę́sciowych (sn) szeregu harmonicznego rzędu r > 1 jest rosnący, ale ograniczony.

Rozwiązanie 8.19 W tym celu pogrupujemy wyrazyµ 1 +

1

2r + . . .+

1

9r

¶ | {z } +

µ 1

10r + . . .+

1

99r

¶ | {z }+

µ 1

100r + . . .+

1

999r

¶ | {z }+ . . .

9 wyrazów 90 wyrazów 900 wyrazów

Stwierdzamy, że pierwsza grupa obejmuje 9 wyrazów, wśród których największy ma wartósć 1. Wartósć tej grupy nie przekracza 9. Druga grupa zawiera 90 wyrazów. Największy wśród nich ma wartósć 1/10r, suma nie przekracza 90/10r = 9 · (10/10r). Wartósć trzeciej grupy nie przekracza 900/100r = 9 · (100/100r) = 9 · (10/10r)2. Otrzymane ograniczenia górne kolejnych grup są wyrazami szeregu geometrycznego o ilorazie 10/10r < 1. A więc

sn < 9

" 1 +

10

10r +

µ 10

10r

¶2 + . . .

# =

9

1− 10 10r

Oznacza to, że ciąg (sn) jest ograniczony.

Wniosek 8.7 Szereg harmoniczny rzędu 2 jest zbieżny i jego suma jest równa

1 + 1

4 + 1

9 + . . .+

1

n2 + . . . =

π2

6 (435)

Wniosek 8.8 Szereg harmoniczny rzędu r = 1/2 jest rozbieżny

1 + 1√ 2 + 1√ 3 + . . .+

1√ n + . . . = +∞ (436)

8.8 Kryteria zbieżnósci szeregów

Definicja 8.19 (odcinka sumowego szeregu) Różnicę

SM − SN = aN+1 + . . .+ aM = MX

n=N+1

an (437)

sum czę́sciowych

SM = a1 + . . .+ aM SN = a1 + . . .+ aN (438)

(M > N) szeregu a1 + a2 + . . .+ aN + . . .+ aM + . . . nazywamy odcinkiem sumowym danego szeregu.

Twierdzenie 8.24 (Warunek konieczny i wystarczający Cauchy’ego zbieżnósci szeregu) Szereg a1+a2+ . . .+an+ . . . jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby ε > 0

istnieje δ taka, że dla dowolnych liczb naturalnych M,N spełniających warunek M > N > δ odcinek sumowy aN+1 + . . .+ aM jest bezwzględnie mniejszy od ε

∀ε > 0 ∃δ ∀M > N > δ ¯̄̄̄ ¯ MX

n=N+1

an

¯̄̄̄ ¯ < ε (439)

140

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Twierdzenie 8.25 (Szeregi o wyrazach dodatnich) Szereg o wyrazach dodatnich i sumach czę́sciowych ograniczonych jest zbieżny.

Definicja 8.20 (Majoranty, minoranty) Jeżeli mając dany szereg o wyrazach dodatnich

a1 + a2 + . . .+ an + . . . (440)

utworzymy szereg M1 +M2 + . . .+Mn + . . . (441)

o wyrazach Mn ≥ an, to szereg ten nazywamy majorantą danego szeregu, a jeżeli utworzymy szereg

m1 +m2 + . . .+mn + . . . (442)

o wyrazach 0 < mn ≤ an, to szereg ten nazywamy minorantą danego szeregu.

Twierdzenie 8.26 (Kryteria porównawcze) Jeżeli majoranta danego szeregu jest zbieżna, to i dany szereg jest zbieżny. Jeżeli minoranta danego szeregu jest rozbieżna, to i dany szereg jest rozbieżny.

Wniosek 8.9 Szereg 1

1! + 1

2! + 1

3! + . . .+

1

n! + . . .

jest zbieżny, gdyż ma majorantę

1 + 1

2 +

1

2 · 2 + 1

2 · 2 · 2 + . . .

która jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

Wniosek 8.10 Szereg

1 + 1

3 + 1

5 + 1

7 + . . .

jest rozbieżny, gdyż ma minorantę

1

2 + 1

4 + 1

6 + . . . =

1

2

µ 1 +

1

2 + 1

3 + 1

4 + . . .

¶ która jest szeregiem harmonicznym pomnożonym przez 1/2, a więc rozbieżnym.

Twierdzenie 8.27 (Kryterium ilorazowe d’Alemberta) Jeżeli w szeregu o wyrazach dodatnich a1 + a2 + . . . + an + . . . ciąg ilorazów an+1/an ma

granicę mniejszą od 1 lim n→∞

an+1 an

= g < 1 (443)

to szereg ten jest zbieżny. Jeżeli zás granica ta jest większa od 1

lim n→∞

an+1 an

= g > 1 (444)

to szereg ten jest rozbieżny.

141

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Uwaga 8.10 Kryterium d’Alemberta nie orzeka o zbieżnósci szeregu, gdy lim n→∞

an+1 an

= 1 lub

gdy granica ta nie istnieje.

Wniosek 8.11 Szereg 1+ x

1! + x2

2! + . . .+

xn

n! + . . . jest zbieżny dla dowolnej dodatniej wartósci

x, gdyż

lim n→∞

∙ xn+1

(n+ 1)! : xn

n!

¸ = lim n→∞

x

n+ 1 = 0 < 1

Wniosek 8.12 Szereg 1 + 2!

22 + 3!

33 + . . .+

n!

nn + . . . jest zbieżny, gdyż

lim n→∞

∙ (n+ 1)!

(n+ 1)n+1 : n!

nn

¸ = lim n→∞

1¡ 1 + 1

n

¢n = 1 e < 1

Przykład 8.19 Zbadaj szereg 1 + 2x+ 3x2 + . . .+ nxn−1 + . . ., gdzie x > 0.

Rozwiązanie 8.20 Mamy

lim n→∞

∙ (n+ 1)xn

nxn−1

¸ = lim n→∞

(n+ 1)x

n = lim n→∞

µ 1 +

1

n

¶ x = x

Zatem szereg ten jest zbieżny dla 0 < x < 1, a rozbieżny dla x > 1. W przypadku x = 1 kryterium ilorazowe nie orzeka o zbieżnósci, ale bezpósrednio widać, że szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku (431)

lim n→∞ an = 0 (445)

Wniosek 8.13 W przypadku szeregu harmonicznego dowolnego rzędu

lim n→∞

∙ 1

(n+ 1)r : 1

nr

¸ = lim n→∞

µ n

n+ 1

¶r =

µ lim n→∞

n

n+ 1

¶r = 1 (446)

Kryterium ilorazowe nie orzeka o zbieżnósci. Mówimy, że szeregi harmoniczne nie reagują na kryterium ilorazowe.

Twierdzenie 8.28 (Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego) Jeżeli w szeregu o wyrazach dodatnich a1 + a2 + . . .+ an + . . . ciąg pierwiastków n

√ an ma

granicę mniejszą od 1 lim n→∞

n √ an = g < 1 (447)

to szereg ten jest zbieżny. Jeżeli g > 1, to szereg jest rozbieżny

Uwaga 8.11 Kryterium Cauchy’ego nie orzeka o zbieżnósci szeregu, gdy lim n→∞

n √ an = 1 lub

gdy granica ta nie istnieje.

Przykład 8.20 Zbadaj szereg ∞P n=1

nc/cn, gdzie c > 1.

Rozwiązanie 8.21 Mamy

lim n→∞

n

r nc

cn = lim n→∞

( n √ n) c

c =

³ lim n→∞

n √ n ´c

c = 1

c < 1

Szereg jest zbieżny.

142

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

Wniosek 8.14 Szeregi harmoniczne nie reagują na kryterium pierwiastkowe, bowiem

lim n→∞

n

r 1

nr = 1

Definicja 8.21 (Szereg naprzemienny) Szereg, którego wyrazy są naprzemian dodatnie i ujemne

a1 − a2 + a3 − a4 + . . . (448)

przy czym wszystkie liczby a1, a2, . . . , an, . . . są dodatnie, nazywamy szeregiem naprzemien- nym.

Uwaga 8.12 Szereg (448) możemy również zapisać

∞X n=1

(−1)n+1 an, an > 0 (449)

Twierdzenie 8.29 (Kryterium Leibniza) Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący i lim

n→∞ an = 0, to szereg naprzemienny jest zbieżny, suma

czę́sciowa sn różni się od sumy S szeregu mniej niż o an+1

|sn − S| < an+1

Wniosek 8.15 Poniższe szeregi naprzemienne25

1− 1 2 + 1

3 − 1 4 + 1

5 − 1 6 + . . . = ln 2 (450)

1− 1 3 + 1

5 − 1 7 + 1

9 − 1 11 + . . . =

π

4 (451)

1− 1 2 + 1

4 − 1 8 + 1

16 − 1 32 + . . . =

2

3 (452)

są zbieżne na podstawie kryterium Leibniza. Natomiast szeregi

1− 1 10 + 1

2 − 1 20 + 1

4 − 1 40 + . . . =

9

5 (453)

1− 1 10 + 1

2 − 1 20 + 1

3 − 1 30 + . . . = +∞ − rozbieżny (454)

nie spełniają założeń kryterium Leibniza.

8.9 Zbieżnóśc bezwzględna i zbieżnóśc warunkowa

Twierdzenie 8.30 (Zbieżnósć bezwzględna i zbieżnósć warunkowa) Niech będzie dany szereg (o wyrazach dowolnych)

a1 + a2 + . . .+ an + . . . = ∞X n=1

an (455)

25Szereg (450) nazywamy szeregiem anharmonicznym.

143

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

oraz szereg modułów wyrazów danego szeregu

|a1|+ |a2|+ . . .+ |an|+ . . . = ∞X n=1

|an| (456)

Jeżeli szereg (455) jest zbieżny, a szereg (456) jest rozbieżny, to mówimy, że szereg (455) jest zbieżny warunkowo. Jeżeli szereg (456) jest zbieżny, to szereg (455) jest zbieżny bezwzględnie (implikacja odwrotna nie zachodzi)26

Przykład 8.21 Szeregi (452) i (453) są bezwzględnie zbieżne. Szeregi (450) i (451) są warunkowo zbieżne.

Rozwiązanie 8.22 Udowodnimy to. Szereg utworzony z modułów (452) 1 + 1

2 + 1

4 + 1

8 + 1

16 + · · · +

¡ 1 2

¢n + · · · jest szeregiem

geometrycznym o ilorazie q = 1 2 . Jego granicę podalísmy we Wniosku 8.6 (patrz również

Definicja 8.21 i Twierdzenie 8.21). Szereg utworzony z modułów (453)

1 + 1

10 + 1

2 + 1

20 + 1

4 + 1

40 + · · · =

= 1 + 1

2 + 1

4 + · · ·+

µ 1

2

¶n + · · ·+ 1

10 + 1

20 + 1

40 + · · · =

= 1 + 1

2 + 1

4 + · · ·+

µ 1

2

¶n + · · ·+ 1

10

µ 1 +

1

2 + 1

4 + · · ·+

µ 1

2

¶n + · · ·

¶ =

= 2 + 1

10 · 2 = 11

5

jest sumą dwóch szeregów geometrycznych o ilorazie q = 1 2 .

Szereg utworzony z modułów wyrazów szeregu (450) jest szeregiem harmonicznym rozbieżnym

1 + 1

2 + 1

3 + 1

4 + · · ·+ 1

n + · · ·

Szereg utworzony z modułów wyrazów szeregu (451)

1 + 1

3 + 1

5 + 1

7 + · · ·+ 1

2n− 1 + · · ·

jest szeregiem rozbieżnym27.

26Szereg anharmoniczny jest zbieżny, a szereg modułów jego wyrazów (szereg harmoniczny) jest rozbieżny. 27Bowiem

1. 1 + 13 + 1 5 +

1 7 +

1 9 +

1 11 · · ·+

1 2n−1 + · · · = 1 +

1 2 +

1 3 +

1 4 +

1 5 + · · ·−

¡ 1 2 +

1 4 +

1 6 +

1 8 + · · ·

¢ = 1 + 12 +

1 3 +

1 4 +

1 5 + · · ·−

1 2

¡ 1 + 12 +

1 3 +

1 4 +

1 5 + · · ·

¢ = 12

¡ 1 + 12 +

1 3 +

1 4 +

1 5 + · · ·

¢ 2. Analizowany szereg ma minorantę 12 +

1 4 +

1 6 + . . . =

1 2

¡ 1 + 12 +

1 3 +

1 4 + . . .

¢ , która jest rozbieżna.

144

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

8.10 Przykłady

Przykład 8.22 Obliczając sn i lim n→∞ sn, stwierdzíc, czy dany szereg jest zbieżny i jaką ma

sumę

a) 1

100 +

1

100 +

1

100 + · · · =

∞X n=1

1

100

b) 1

400 +

1

200 +

1

100 + . . . =

∞X n=0

1

400 · 2n

c) 1

1 · 2 + 1

2 · 3 + 1

3 · 4 + . . . = ∞X n=1

1

n (n+ 1)

d) 2

1 · 3 + 2

5 · 5 + 2

5 · 7 + . . . = ∞X n=1

2

(2n− 1) (2n+ 1)

Rozwiązanie 8.23 Sprawdzimy warunki zbieżnósci szeregów.

a) sn = n100 ; limn→∞ an = lim

n→∞ 1 100

= 1 100

6= 0 −→ ciąg wyrazów nie zdąża do zera; szereg rozbieżny.

b) S = lim n→∞ sn = +∞. Jest to szereg geometryczny rozbieżny z p = 1400 , q = 2. Zatem

sn = p 1−qn 1−q =

1 400 (2n − 1) oraz

S = lim n→∞ sn = lim

n→∞

∞X n=1

2n

400 = lim n→∞

1

400 (2n − 1) = +∞

c) Rozkładając każdy wyraz an na różnicę dwóch ułamków an = 1n(n+1) = 1 n − 1 n+1

i tworząc sumę czę́sciową otrzymujemy sn = 1 − 1n+1 . Zauważmy, że limn→∞ an = limn→∞

1 n(n+1)

= 0.

Zatem ciąg wyrazów tego szeregu zdąża do zera. Jest więc spełniony warunek konieczny zbieżnósci szeregu. Następnie mamy sn = 1− 1n+1 oraz S = limn→∞ sn = limn→∞

¡ 1− 1

n+1

¢ = 1.

A więc szereg jest zbieżny i ma sumę S = 1.

d) Mamy an = 2(2n−1)(2n+1) −→ limn→∞ an = limn→∞ 2

(2n−1)(2n+1) = 0. Spełniony jest warunek

konieczny zbieżnósci szeregu. Następnie mamy an = 2(2n−1)(2n+1) = 1

2n−1 − 1

2n+1 . W

wyniku otrzymujemy

1

1 − 1 3 + 1

3 − 1 5 + 1

5 − 1 7 + . . . = 1− 1

2n+ 1 = sn

S = lim n→∞ sn = lim

n→∞

µ 1− 1

2n+ 1

¶ = 1

145

docsity.com

8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE MATEMATYKA

Przykład 8.23 Zbadać, czy poniższy szereg spełnia warunek konieczny zbieżnósci, a jeżeli spełnia, to obliczyć S = lim

n→∞ sn oraz stwierdzić, czy szereg jest zbieżny i jaką ma sumę.

a) ∞X n=2

2

n2 − 1 b) ∞X n=1

2n + 3n

6n c)

∞X n=1

¡√ n− √ n− 1

¢

d) ∞X n=1

log

µ 1 +

1

n

¶ e)

∞X n=1

2 + (−1)n

2n f)

∞X n=1

1

n2 + 4n+ 3

Rozwiązanie 8.24 Przekształcimy poszczególne wyrażenia.

a) Rozłożymy wyraz an = 2n2−1 = 1 n−1 −

1 n+1 . Stąd a2 + a3 + · · ·+ an = 11 −

1 3 + 1

2 − 1

4 + 1

3 −

1 5 + 1

4 − 1

6 + . . .+ 1

n−2 − 1 n + 1 n−1 −

1 n+1

= 1+ 1 2 − 1 n − 1 n+1

= sn. A więc S = lim n→∞ sn =

3 2 .

Ponieważ lim n→∞ an = lim

n→∞ 2 n2−1 = 0, to spełniony jest warunek zbieżnósci szeregu; szereg

jest zbieżny; jego suma jest równa 3 2 .

b) Zauważmy, że an = 2 n+3n

6n = 1

3n + 1

2n . Ponieważ lim

n→∞ an = lim

n→∞

¡ 1 3n + 1

2n

¢ = 0, to

spełniony jest warunek konieczny zbieżnósci szeregu. Widzimy, że szereg jest sumą szeregów geometrycznych

S1 = ∞X n=1

1

3n = 1

3

µ 1 +

1

3 + 1

32 + . . .

¶ = 1

3 · 1−

¡ 1 3

¢n 1− 1

3

= 1

3 · 3 2 = 1

2

S2 = ∞X n=1

1

2n = 1

2

µ 1 +

1

2 + 1

22 + . . .

¶ = 1

2 · 1−

¡ 1 2

¢n 1− 1

2

= 1

Stąd

S = 1

2 + 1 =

3

2

c) Przekształcimy wyrażenie

√ n− √ n− 1 = (

√ n− √ n− 1)(√n+

√ n− 1)√

n+ √ n− 1

= 1√

n+ √ n− 1

Stąd an = 1√

n+ √ n− 1

, czyli lim n→∞ an = 0. Szereg spełnia warunek konieczny zbieżnósci

szeregu. Następnie mamy

sn = nX m=1

¡√ m−

√ m− 1

¢ =

= √ 1− √ 0 + √ 2− √ 1 + √ 3− √ 2 + . . .+

√ n− 1−

√ n− 2 +

√ n− √ n− 1 =

√ n

A więc sn = √ n, czyli S = lim

n→∞ sn = lim

n→∞

√ n = +∞. Analizowany szereg jest rozbieżny

(pomimo spełnienia warunku koniecznego zbieżnósci!).

146

docsity.com

MATEMATYKA 8. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE

d) Szereg spełnia warunek konieczny zbieżnósci: lim n→∞ an = lim

n→∞ log ¡ 1 + 1

n

¢ = 0. Ale

ponieważ nX m=1

log

µ 1 +

1

m

¶ = log (1 + 1) + log

µ 1 +

1

2

¶ + log

µ 1 +

1

3

¶ =

= log

∙ 2

1 · 3 2 · 4 3 · 5 4 · . . . · n

(n− 1) · (n+ 1)

n

¸ = log (n+ 1)

czyli sn = log (n+ 1), a S = lim n→∞ sn = lim

n→∞ log (n+ 1) = +∞, to szereg jest rozbieżny

(pomimo spełnienia warunku koniecznego zbieżnósci!).

e) Szereg spełnia warunek konieczny zbieżnósci: lim n→∞ an = lim

n→∞ 2+(−1)n 2n

= 0

sn = nX m=1

2 + (−1)m

2m =

= 1

2 + 3

22 + 1

23 + 3

24 + . . . =

1

2 + 1

23 + . . .+

1

22n−1 + 3

µ 1

22 + 1

24 + . . .

¶ =

= 1

2

µ 1 +

1

22 + . . .

¶ + 3

22

µ 1 +

1

22 + . . .

¶ = 1

2 · 1−

¡ 1 4

¢n 1− 1

4

+ 3

4 · 1−

¡ 1 4

¢n 1− 1

4

=

=

µ 1

2 + 3

4

¶ · 1−

¡ 1 4

¢n 3 4

= 5

4 · 4 3

∙ 1−

µ 1

4

¶n¸ = 5

3

∙ 1−

µ 1

4

¶n¸ S = lim

n→∞ sn = lim

n→∞

5

3

∙ 1−

µ 1

4

¶n¸ = 5

3

A więc szereg jest zbieżny.

f) Szereg spełnia warunek konieczny zbieżnósci: lim n→∞ an = lim

n→∞ 1

n2+4n+3 = 0. Rozłożymy

wyrażenie wymierne na ułamki proste. W tym celu przyjmiemy 1

n2 + 4n+ 3 = A

n+ 1 + B

n+ 3 =

1

(n+ 1) (n+ 3)

A więc 1

n2 + 4n+ 3 =

1

2 (n+ 1) − 1 2 (n+ 3)

Czyli

sn = nX m=1

∙ 1

2 (m+ 1) − 1 2 (m+ 3)

¸ = 1

2

∙ 1

2 − 1 4 + 1

3 − 1 5 + 1

4 − 1 6 + 1

5 − 1 7 +

. . .+ 1

n− 2 − 1

n +

1

n− 1 − 1

n+ 1 + 1

n − 1 n+ 2

+ 1

n+ 1 − 1 n+ 3

¸ =

= 1

2

µ 1

2 + 1

3 − 1 n+ 2

− 1 n+ 3

¶ = 5

12 − 1 2 (n+ 2)

− 1 2 (n+ 3)

Stąd sn = 512 − 1

2(n+2) − 1

2(n+3) oraz S = lim

n→∞ sn = lim

n→∞

h 5 12 − 1

2(n+2) − 1

2(n+3)

i = 5

12 .

147

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

9 Przestrzeń metryczna

Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Zbiór wszystkich n−wyrazowych ciągów

x = (x1, x2, . . . , xn) (457)

gdzie x1, x2, . . . , xn są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy n−wymiarową przest- rzenią arytmetyczną. Każdy ciąg (457) nazywamy punktem tej przestrzeni, a liczby x1, x2, . . . , xn współrzędnymi tego punktu.

Definicja 9.1 Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X, w którym każdej parze ele- mentów x, y przyporządkowana została liczba ρ (x, y), zwana odległóscią punktu x od punktu y, spełniająca następujące warunki:

1◦ ρ (x, y) ≥ 0 oraz ρ (x, y) = 0⇐⇒ x = y czyli ρ (x, x) = 0 2◦ ρ (x, y) = ρ (y, x) warunek symetrii 3◦ ρ (x, z) ≤ ρ (x, y) + ρ (y, z) nierównósć trójkąta

Elementy x, y, z, . . . przestrzeni metrycznej nazywamy punktami. Zamiast odległósć mówimy też metryka.

Często zamiast wyrażenia ρ (·, ·) używamy symbolu d (·, ·) od łacińskiego słowa distantia - odległósć. Zamiast d (x, y) piszemy także dist (x, y).

Wniosek 9.1 Przestrzeń arytmetyczna 2−wymiarowa punktów p = (p1, p2) , q = (q1, q2) z od- ległóscią zdefiniowaną wzorem

ρ (p, q) = |p1 − q1|+ |p2 − q2|

jest przestrzenią metryczną.

Wniosek 9.2 Zbiór funkcji f (x) , g (x) , . . . ciągłych w przedziale < 0, 1 > z odległóscią okrésloną wzorem

ρ (f, g) = sup 0≤x≤1

|f (x)− q (x)| (458)

stanowi przestrzeń metryczną.

Definicja 9.2 Przestrzeń arytmetyczną n−wymiarową z odległóscią wyrażoną wzorem

ρ (x, y) =

q (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 (459)

nazywamy n−wymiarową przestrzenią euklidesową i oznaczamy En lub tradycyjnie przez Rn.

9.0.1 Iloczyn skalarny

Definicja 9.3 Iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej V zdefiniowanym nad cia- łem K liczb rzeczywistych nazywamy funkcję, która każdej parze elementów x i y ∈ V przypo- rządkowuje liczbę rzeczywistą (x,y) i spełnia następujące warunki:

148

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

1. jest liniowa ze względu na wektory przestrzeni V

(γx+ λz,y) = γ (x,y) + λ (z,y) ∀x,y, z ∈ V, ∀γ, λ ∈ K

2. (y,x) = (x,y), ∀x,y ∈ V ,

3. jest dodatnio okréslona, to znaczy (x,x) > 0 dla ∀x 6= 0 oraz (x,x) = 0 dla x = 0.

W przypadku, gdy V ∈ Rn iloczyn skalarny jest równy

(x,y) = ¡ yT ,x

¢ =

nX i=1

xiyi

Ponadto, dla każdej macierzy kwadratowej stopnia n i dowolnych dwóch wektorów x,y ∈ V zachodzi relacja

(Ax,y) = ¡ x,ATy

¢ Przestrzeń liniową (wektorową) V , w której okréslony jest iloczyn skalarny (·, ·) nazywamy

przestrzenią unitarną.

9.0.2 Norma wektora

Definicja 9.4 Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K liczb rzeczywistych. Mó- wimy, że funkcja k·k przyporządkowująca każdemu elementowi v ∈ V liczbę rzeczywistą kvk ∈ R jest normą w przestrzeni V , jeżeli spełnia następujące aksjomaty:

1. (i) kvk ≥ 0 ∀v ∈ V (ii) kvk = 0⇐⇒ v = 0

2. kαvk = |α| kvk ∀α ∈ K, ∀v ∈ V

3. kv+wk ≤ kvk+ kwk ∀v,w ∈ V (nierównósć trójkąta)

gdzie |α| oznacza wartósć bezwzględną liczby α dla K = R.

Przestrzeń liniową V z okrésloną w niej normą k·k, czyli parę (V, k·k) nazywamy przestrze- nią unormowaną. Przykładem przestrzeni unormowanej jest przestrzeń Rn z tak zwaną p−normą (lub normą wektorową Höldera). Normę wektora x o składowych {xi} definiujemy

kxkp = µ nP i=1

|xi|p ¶1/p

dla 1 ≤ p <∞ (460)

Każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią unormowaną, jeżeli za normę przyjmiemy

kxk = p (x,x) (461)

Każdy wektor przestrzeni V charakteryzujący się normą równą 1 nazywamy wektorem jednostkowym. Należy zapamiętác, że przy p → ∞ norma wektora kxkp istnieje, jest

149

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

skończona i równa się maksymalnej wartósci bezwzględnej składowej wektora x. Normę taką nazywamy normą nieskończoną lub normą maksimum (niekiedy normą maksymalną)

kxk∞ = max1≤i≤n |xi| (462)

np. k [a, b, c] k∞ = max (|a| , |b| , |c|). Jeżeli p→∞, to słuszna jest relacja

lim n→∞

kxkn = kxk∞

Przykład 9.1 Obliczyć normę maksimum wektora [8,−10, 2].

Rozwiązanie 9.1 Na podstawie definicji normy maksimum wektora (462) otrzymujemy

k[8,−10, 2]k∞ = max1≤i≤3 (|8| , |−10| , |2|) = 10

Jeżeli p = 1, to definiujemy tak zwaną normę pierwszą

kxk1 = nX i=1

|xi| (463)

która jest sumą bezwzględnych wartósci współrzędnych wektor x, np. k [a, b, c] k1 = |a|+ |b|+ |c|.

Przykład 9.2 Obliczyć normę pierwszą wektora [8,−10, 2].

Rozwiązanie 9.2 Na podstawie definicji normy pierwszej (463) otrzymujemy

k [8,−10, 2] k1 = |8|+ |−10|+ |2| = 20

Gdy p = 2, to na podstawie definicji (460) otrzymujemy tak zwaną normę drugą wektora lub normę euklidesową wektora

kxk2 = (x,x) 1/2 =

à nX i=1

|xi|2 !1/2

= ¡ xTx

¢1/2 (464)

np.

°°°°∙ ab ¸°°°°

2

= q¡ |a|2 + |b|2

¢ . Norma druga wektora jest często nazywana euklidesową

długóscią wektora. Zauważmy, że w przestrzeni unitarnej zdefiniowana jest norma druga, ponieważ pojawia

się tu iloczyn skalarny wektorów.

Własnóśc 9.1 (Nierównósć Cauchy-Schwarza) Dla każdej pary wektorów x,y ∈ Rn zachodzi nierównósć

|(x,y)| = ¯̄ yTx

¯̄ ≤ kxk2 kyk2 (465)

Jeżeli y = αx, to dla dowolnej liczby α ∈ R wyrażenie (465) staje się równóscią.

Przykład 9.3 Sprawdzíc nierównósć (465) dla wektorów: x = [2,−1, 4], y = [1, 1, 3].

150

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

Rozwiązanie 9.3 Obliczamy iloczyn skalarny (x,y) = 2 · 1+ (−1) · 1+ 4 · 3 = 13. Następnie obliczamy wartósci normy drugiej poszczególnych wektorów: kxk2 =

p 22 + (−1)2 + 42 =

√ 21;

kyk2 = √ 12 + 11 + 32 =

√ 11. Stąd kxk2 kyk2 =

√ 21 · 11 =

√ 231 > 13.

Iloczyn skalarny w przestrzeni Rn może býc powiązany z p−normą w Rn przy pomocy nierównósci Höldera

|(x,y)| ≤ kxkp kykq dla 1

p + 1

q = 1 (466)

Przykład 9.4 Obliczyć normy wektorów x1 = ∙ −0.61541 −0.78821

¸ i x2 =

⎡⎣ 0.310520.79954 −0.51411

⎤⎦. Rozwiązanie 9.4 Wykorzystujemy definicje norm wektora dla p = 1, 2, ∞. Kolejno otrzymujemy:

norma x1 kx1kp x2 kx2kp

p = 1

°°°°∙ −0.61541−0.78821 ¸°°°°

1

= nP i=1

|xi| = 1.40362

°°°°°° ⎡⎣ 0.310520.79954 −0.51411

⎤⎦°°°°°° 1

= 1.62417

p = 2

°°°°∙ −0.61541−0.78821 ¸°°°°

2

=

µ nP i=1

|xi|2 ¶1/2

= 1.00000

°°°°°° ⎡⎣ 0.310520.79954 −0.51411

⎤⎦°°°°°° 2

= 1.00000

p =∞ °°°°∙ −0.61541−0.78821

¸°°°° ∞

= max 1≤i≤n

|xi| = 0.78821

°°°°°° ⎡⎣ 0.310520.79954 −0.51411

⎤⎦°°°°°° ∞

= 0.79954

(467)

9.0.3 Norma macierzy

Własnóśc 9.2 Niech k·k będzie normą w przestrzeni Rn, a A ∈Rn×n będzie macierzą z n liniowo niezależnymi kolumnami. Wówczas funkcja k·kA2 o własnósci

kAkA2 = kAxk

jest normą macierzy w Rn.

Definicja 9.5 Norma macierzy k·k jest funkcją przekształcającą Rm×n w R o poniższych własnósciach28:

1. kAk ≥ 0 ∀A ∈ Rm×ni kAk = 0⇐⇒ A = 0 2. kαAk = |α| kAk ∀α ∈ R, ∀A ∈ Rm×n 3. kA+Bk ≤ kAk+ kBk ∀A,B ∈ Rm×n (nierównósć trójkąta) 4. kABk ≤ kAk · kBk ∀A,B ∈ Rm×n

28Do opisu normy wektora i normy macierzy używamy tego samego symbolu: k·k.

151

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

Definicja 9.6 Mówimy, że norma macierzy k·k jest zgodna lub spójna z normą wektora k·k, jeżeli

kAxk ≤ kAk kxk ∀x ∈ Rn (468)

Twierdzenie 9.1 Niech k·k jest normą wektora. Funkcję

kAk = sup x6=0

kAxk kxk = supkxk=1

kAxk (469)

nazywamy normą macierzy indukowaną przez normę wektora. Zapis sup (A) oznacza kres górny zbioru A. Wzór (469) można zapisać używając dotychczasowej notacji

kAkp = sup x6=0

kAxkp kxkp

(470)

Często zapis

kAk = max x6=0

kAxk kxk

nazywamy normą euklidesową macierzyA. Jest ona równa największej wartósci wynikają- cej z operacji kAxkkxk . Wyrażenie (470) jest równoważne równaniu

kAkp = sup kxkp=1

kAxkp = maxkxkp=1 kAxkp (471)

Ostatni zapis oznacza, że istnieje wektor x spełniający warunek kxkp = 1, dla którego norma kAxkp osiąga maksimum.

Przykład 9.5 Wyznaczyć na podstawie powyższego twierdzenia normy p (p = 1, 2,∞) macie- rzy A =

∙ 1 2 3 1

¸ , jeżeli x =

∙ 1 0

¸ .

Rozwiązanie 9.5 Na wstępie obliczymy normy wektora kxk. Norma pierwsza wektora jest równa: kxk1 =

°°°°∙ 10 ¸°°°°

1

= 1, norma druga kxk2 = °°°°∙ 10

¸°°°° 2

= 1, a norma maksimum

kxk∞ = °°°°∙ 10

¸°°°° ∞ = 1. Następnie obliczamy iloczyn:

∙ 1 2 3 1

¸ ∙ 1 0

¸ =

∙ 1 3

¸ . W związku

z powyższym norma pierwsza iloczynu kAxk1 jest równa °°°°∙ 13

¸°°°° 1

= 4; norma druga kAxk2

równa

°°°°∙ 13 ¸°°°°

2

= √ 10 = 3.162, a norma maksimum równa kAxk∞ =

°°°°∙ 13 ¸°°°° ∞ = 3. To,

czy wektor x = ∙ 1 0

¸ jest tym wektorem, dla którego norma macierzy kAk osiąga kres górny

wymaga dalszej analizy. Jeżeli zamiast wektora x = ∙ 1 0

¸ wézmiemy wektor x =

∙ 0 1

¸ ,

którego norma p również jest równa 1, to iloczyn ∙ 1 2 3 1

¸ ∙ 0 1

¸ =

∙ 2 1

¸ , a poszczególne

normy mają wartósci: kAxk1 = 3, kAxk2 = °°°°∙ 21

¸°°°° 2

= √ 5 i kAxk∞ =

°°°°∙ 21 ¸°°°° ∞ = 2.

152

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

Skąd te różnice i czy którás z otrzymanych wartósci jest rzeczywíscie równa normie p macierzy A? Otóż pamiętajmy, że kAkp = sup

kxkp=1 kAxkp i norma macierzy przyjmuje wartóśc

kresu górnego normy iloczynu macierzy A i wektora x, którego norma p jest równa 1, kxkp = 1. Istnieje nieskończenie wiele takich wektorów. Na przykład, normy pierwsze wektorów

x =

∙ t

1− t

¸ i x =

∙ 1− t t

¸ są równe jednósci dla każdego t ∈< 0; 1 >, tj. kxk1 =°°°°∙ t1− t

¸°°°° 1

=

°°°°∙ 1− tt ¸°°°°

1

= |t| + |1− t|, a ponieważ t jest dodatnie, to °°°°∙ t1− t

¸°°°° 1

=°°°°∙ 1− tt ¸°°°°

1

= t + 1 − t = 1. Podobnie jest z wektorami, których norma maksimum

jest równa jednósci, tj. x = ∙ t 1

¸ lub x =

∙ 1 t

¸ dla każdego t ∈< 0; 1 >, czyli kxk∞ =°°°°∙ 1t

¸°°°° ∞ =

°°°°∙ t1 ¸°°°° ∞ = 1. Analogicznie wyznaczamy wektory, których norma druga

równa się 1: kxk2 = °°°°∙ t√1− t2

¸°°°° 2

= p t2 + (1− t2) = 1 lub kxk2 =

°°°°∙ √1− t2t ¸°°°°

2

=p t2 + (1− t2) = 1 dla każdego t ∈< 0; 1 >. W ten sposób norma maksimum wektora kxk∞ = max1≤i≤n |xi| indukuje normę maksimum

macierzy

max 1≤i≤n

nX j=1

|aij| (472)

Jest to maksymalna suma bezwzględnych wartósci elementów stojących w i−tym wierszu macierzy A. Oznacza to, że kresem górnym iloczynu

sup kxk∞=1

kAxk∞ = sup t∈<0;1>

µ∙ 1 2 3 1

¸ ∙ 1 t

¸¶ = sup t∈<0;1>

∙ 1 + 2t 3 + t

¸ oraz iloczynu

sup kxk∞=1

kAxk∞ = sup t∈<0;1>

µ∙ 1 2 3 1

¸ ∙ t 1

¸¶ = sup t∈<0;1>

∙ t+ 2 3t+ 1

¸

są wartósci

°°°°∙ 1 + 2t3 + t ¸°°°° ∞

t=1 = 4 oraz

°°°°∙ t+ 23t+ 1 ¸°°°° ∞

t=1 = 4. Zobaczmy, że zgodnie z (472)

kAk∞ równa się dokładnie 4, kAk∞ = °°°°∙ 1 23 1

¸°°°° ∞ = 4.

A więc, jeżeli

A =

∙ 1 2 3 1

¸ i x =

∙ 1 1

¸ to

kAk∞ = sup kxk∞=1

kAxk∞ = maxkxk∞=1 kAxk∞ = maxkxk∞=1

°°°°∙ 1 23 1 ¸ ∙

1 1

¸°°°° ∞ =

°°°°∙ 34 ¸°°°° ∞ = 4

Pokazalísmy, że rzeczywíscie normamaksimumwektora indukuje normę maksimummacierzy.

153

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

Przykład 9.6 Wyznaczyć normę maksimum macierzy A =

⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦. Sprawdzíc, ile wynosi norma kAxk∞, jeżeli x =

£ 1 1 1

¤T .

Rozwiązanie 9.6 Norma maksimum macierzy A zgodnie z (472) jest równa

kAk∞ =

°°°°°° ⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦°°°°°° ∞

= max(13, 11, 21) = 21

Wykonujemy mnożenie Ax =

⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦⎡⎣ 11 1

⎤⎦ = ⎡⎣ −15 21

⎤⎦. A więc kAxk∞ = 21. Przejd́zmy teraz do wyznaczenia normy pierwszej macierzy A. Obliczamy ją na podstawie

relacji

kAk1 = max1≤j≤n

nX i=1

|aij| (473)

Jest to maksymalna suma bezwzględnych wartósci elementów stojących w j−tej kolumnie macierzy A. A więc, jeżeli

A =

∙ 1 2 3 1

¸ to zgodnie z (473) norma kAk1 = 4. Sprawdzimy, czy norma pierwsza wektora indukuje normę pierwszą macierzy. Przypominamy, że

kAk1 = sup kxk1=1

kAxk1 = maxkxk1=1 kAxk1

oraz x = ∙ t

1− t

¸ lub x =

∙ 1− t t

¸ . Jak pamiętamy, normy pierwsze tych wektorów dla

t ∈< 0, 1 > są równe 1. W związku z tym

Ax =

∙ 1 2 3 1

¸ ∙ t

1− t

¸ =

∙ −t+ 2 1 + 2t

¸ lub

Ax =

∙ 1 2 3 1

¸ ∙ 1− t t

¸ =

∙ 1 + t 3− 2t

¸ i normy pierwsze wektora Ax°°°°∙ −t+ 21 + 2t

¸°°°° 1

= |t− 2|+ |1 + 2t| = 2− t+ 1 + 2t = 3 + t t=1= 4

lub °°°°∙ 1 + t3− 2t ¸°°°°

1

= |1 + t|+ |−3 + 2t| = 1 + t+ 3− 2t = 4− t t=0= 4

154

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

Odpowiednie wektory mają postác

t = 1 x =

∙ 1 0

¸

t = 0 x =

∙ 1 0

¸ Rzeczywíscie, norma pierwsza wektora indukuje normę pierwszą macierzy.

Przykład 9.7 Obliczyć normę pierwszą macierzy A =

⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦. Wyznaczyć normy pierwsze iloczynów Axi, jeżeli x1 =

£ 1 0 0

¤T , x2 =

£ 0 1 0

¤T i x3 =

£ 0 0 1

¤T .

Rozwiązanie 9.7 Norma pierwsza macierzy A zgodnie z (473) jest równa

kAk1 =

°°°°°° ⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦°°°°°° 1

= max(20, 15, 10) = 20

a kAx1k1 = 20, kAx2k1 = 15 i kAx3k1 = 10.

Jeżeli macierz A jest macierzą symetryczną, to kAk1 = kAk∞.

Przykład 9.8 Obliczyć normy dla p = 1 i p =∞ macierzy symetrycznej

A =

⎡⎣ 5 −7 1−7 3 5 1 5 4

⎤⎦

Rozwiązanie 9.8 Norma pierwsza równa się: kAk1 =

°°°°°° ⎡⎣ 5 −7 1−7 3 5

1 5 4

⎤⎦°°°°°° 1

= 15 i jest

to maksymalna suma wartósci bezwzględnych elementów drugiej kolumny, natomiast norma

maksimum jest równa: kAk∞ =

°°°°°° ⎡⎣ 5 −7 1−7 3 5

1 5 4

⎤⎦°°°°°° ∞

= 15 i jest to maksymalna suma wartósci

bezwzględnych elementów drugiego wiersza. A więc: kAk1 = kAk∞.

Na zakończenie sprawdzimy, czy norma druga wektora indukuje normę drugą macierzy. Jest to norma, która przy obliczaniu stwarza najwięcej trudnósci. Często nazywana jest normą spektralną macierzy. Wychodząc z definicji normy indukowanej (469), otrzymujemy

kAk2 = sup x6=0

kAxk2 kxk2

= sup kxk2=1

kAxk2

155

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

norma 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rysunek 38: Norma druga macierzy Ax1.

Pomijając złożone przekształcenia możemy również napisác, że

kAk2 = max λ∈Spect(ATA)

p λ(ATA) (474)

gdzie przez Spect(B) rozumiemy zbiór wartósci własnych macierzy B. Biorąc pod uwagę (474) otrzymujemy dla

macierzy A = ∙ 1 2 3 1

¸ kAk2 =

°°°°∙ 1 23 1 ¸°°°°

2

= 5

2 + 1

2

√ 5 = 3.618

Pamiętamy również postacie wektorów, których norma druga jest równa 1. Są to:

x1 =

∙ t√ 1− t2

¸ i x2 =

∙ √ 1− t2 t

¸

norma 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Rysunek 39: Norma druga macierzy Ax2.

Tak więc:

Ax1 =

∙ 1 2 3 1

¸ ∙ t√ 1− t2

¸ =

=

∙ t+ 2

√ 1− t2

3t+ √ 1− t2

¸ i

Ax2 =

∙ 1 2 3 1

¸ ∙ √ 1− t2 t

¸ =

=

∙ 2t+

√ 1− t2

t+ 3 √ 1− t2

¸ Stąd

kAx1k2 = °°°°∙ t+ 2√1− t23t+√1− t2

¸°°°° 2

=

q 5t2 + 10t

√ 1− t2 + 5 (475)

oraz

kAx2k2 = °°°°∙ 2t+√1− t2t+ 3√1− t2

¸°°°° 2

=

q −5t2 + 10t

√ 1− t2 + 10 (476)

Funkcja (475) osiąga maksimum równe 5 2 + 1

2

√ 5 = 3.618 dla t1 =

q 1 2 + 1

10

√ 5 = 0.85065.

Jej przebieg jest przedstawiony na rysunku 38.

Funkcja (476) osiąga maksimum również równe 5 2 + 1 2

√ 5 ale dla t2 =

q 1 2 − 1

10

√ 5 = 0.52573.

Jej przebieg jest przedstawiony na rysunku 39. A więc wektory x1 i x2 mają współrzędne

x1 =

∙ t1p 1− t21

¸ =

⎡⎣ q12 + 110√5q 1 2 − 1

10

√ 5

⎤⎦ ≈ ∙ 0.85065 0.52573

¸

kAx1k2 = q 5t21 + 10t1

p 1− t21 + 5 = 52 +

1 2

√ 5

156

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

i

x2 =

∙ p 1− t22 t2

¸ =

⎡⎣ q12 − 110√5q 1 2 + 1

10

√ 5

⎤⎦ ≈ ∙ 0.52573 0.85065

¸

kAx2k2 = q −5t22 + 10t2

p 1− t22 + 10 = 52 +

1 2

√ 5

Ponieważ kx1k2 =

°°°°°° ⎡⎣ q12 + 110√5q

1 2 − 1

10

√ 5

⎤⎦°°°°°° 2

= 1 i kx2k2 =

°°°°°° ⎡⎣ q12 − 110√5q

1 2 + 1

10

√ 5

⎤⎦°°°°°° 2

= 1 oraz

kAk2 = kAx1k2 = kAx2k2 = 52 + 1 2

√ 5 = 3.618, to norma druga wektora indukuje normę

drugą macierzy.

Przykład 9.9 Obliczyć normę drugą macierzy symetrycznej:

A =

⎡⎣ 5 −7 1−7 3 5 1 5 4

⎤⎦ Rozwiązanie 9.9 Ponieważ w przypadku macierzy symetrycznych macierz transponowana jest równa macierzy wyj́sciowej AT = A, to wystarczy wyznaczyć maksymalną wartósć własną macierzy A. Wielomian charakterystyczny ma postać: λ3 − 12λ2 − 28λ + 334 = 0. Stąd Spect(A) = {−5.2806, 5.2634, 12.017}. A więc:

kAk2 = 12.017

9.0.4 Szczególne przypadki normy drugiej macierzy

Do szczególnych przypadków normy drugiej macierzy zaliczamy:

1. °°ATA°°

2 = kAk22

2. °°AT°°

2 = kAk2

3. Jeżeli A jest rzeczywistą macierzą symetryczną, to kAk2 = ρ(A)

4. Ponadto: kAk22 ≤ kAk1 kAk∞.

Przykład 9.10 Obliczyć normę drugą niesymetrycznej macierzy A ∈Rn×n:

A =

⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦ Rozwiązanie 9.10 Ponieważ macierz A nie jest macierzą symetryczną, to zgodnie z (39) musimy skonstruować macierz transponowaną AT i następnie wykonać mnożenie ATA :

AT =

⎡⎣ 5 −3 12−7 3 5 1 5 4

⎤⎦ 157

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

ATA =

⎡⎣ 5 −3 12−7 3 5 1 5 4

⎤⎦⎡⎣ 5 −7 1−3 3 5 12 5 4

⎤⎦ = ⎡⎣ 178 16 3816 83 28

38 28 42

⎤⎦ Otrzymalísmy macierz symetryczną. Obliczymy jej wartósci własne na podstawie wielomianu charakterystycznego macierzy:

λ3 − 303λ2 + 23252λ− 384400 = 0

Stąd: λ1 = 22.792, λ2 = 87.534 i λ3 = 192.67. Ponieważ kAk2 = max λi∈Spect(ATA)

√ λi =

√ 192.67 = 13.881, zatem kAk2 = 13.881. Zauważmy ponadto, że zachodzi tu nierównósć

kAk22 ≤ kAk1 kAk∞. Mianowicie: 13.8812 = 192.68 < 20 · 21 = 420.

9.0.5 Norma Frobeniusa

Zamiast normy spektralnej (normy drugiej) macierzy w praktyce często wykorzystuje się tak zwaną normę Frobeniusa

kAkF = Ã nX i=1

nX j=1

|aij|2 !1/2

=

q tr(AAT ) (477)

lub normę Hilberta-Schmidta (niekiedy nazywaną również normą euklidesową macierzy A ∈Cn2 , C− przestrzeń zespolona) definiowaną dlaA ∈ Rm×n podobnie jak norma Frobeniusa

kAkHS = Ã nX i=1

nX j=1

|aij|2 !1/2

Funkcja okréslona wyrażeniem (477) jest zgodna z euklidesową normą drugą wektora. Rzeczywíscie

kAxk22 = nX i=1

¯̄̄̄ ¯ nX j=1

aijxj

¯̄̄̄ ¯ 2

≤ nX i=1

à nX j=1

|aij|2 nX j=1

|xj|2 ! = kAk2F kxk

2 2

Norma Frobeniusa macierzy jednostkowej In jest równa: kInkF = √ n.

9.0.6 Przykłady

Przykład 9.11 Obliczyć normę Frobeniusa macierzy A ∈Rn×n

A =

⎡⎣ 5 −3 12−7 3 5 1 5 4

⎤⎦ Rozwiązanie 9.11 Zgodnie z (40) otrzymujemy

kAkF =

°°°°°° ⎡⎣ 5 −3 12−7 3 5

1 5 4

⎤⎦°°°°°° F

= √ 303

158

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

Sprawdzimy, czy druga relacja opisująca normę Frobeniusa (40) jest prawdziwa. Otóż

AAT =

⎡⎣ 5 −3 12−7 3 5 1 5 4

⎤⎦⎡⎣ 5 −3 12−7 3 5 1 5 4

⎤⎦T = ⎡⎣ 178 16 3816 83 28

38 28 42

⎤⎦ Ślad macierzy AAT przyjmuje wartósć

tr(AAT ) = 303

Stąd

kAkF = q tr(AAT ) =

√ 303

Przykład 9.12 Obliczyć normy macierzy niesymetrycznej

A =

∙ 1 −3 −5 2

¸ Rozwiązanie 9.12 Poznalísmy normę pierwszą, drugą, maksimum i Frobeniusa, zatem otrzy- mujemy

kAk1 = 6 kAk2 = 12 √ 65 + 1

2

√ 13 = 5.8339 kAk∞ = 7 kAkF =

√ 39

9.1 Okréslonóśc macierzy i okréslonóśc formy kwadratowej

Definicja 9.7 Mówimy, że macierz A ∈Rn×n jest dodatnio okréslona w Rn, jeżeli

(Ax,x) = xTAx > 0 ∀x ∈ Rn, x 6= 0 (478)

Jeżeli nierównósć ostrą zastąpimy nierównóscią słabą (≥), to mówimy, że macierz A jest macierzą dodatnio półokrésloną.

Niech A jest macierzą symetryczną. Wyrażenie xTAx w R2 i dla x 6= 0 rozpisujemy następująco:

xTAx = [x1, x2]

∙ a b b c

¸ ∙ x1 x2

¸ = [x1, x2]

∙ ax1 + bx2 bx1 + cx2

¸ = ax21 + 2bx1x2 + cx

2 2 (479)

gdzie A = ∙ a b b c

¸ , x = [x1, x2].

Wyrażenie Φ (x1, x2) = ax21 + 2bx1x2 + cx 2 2 = Ax

2 1 + 2Bx1x2 + Cx

2 2 nazywamy formą

kwadratową macierzy A w R2. Na przykład, niech

A =

⎡⎣ 1 2 −12 −3 0 −1 0 7

⎤⎦ to

x2 + 4xy − 2xz − 3y2 + 7z2 =

⎡⎣ xy z

⎤⎦T ⎡⎣ 1 2 −12 −3 0 −1 0 7

⎤⎦⎡⎣ xy z

⎤⎦ 159

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

jest formą kwadratową macierzy A. Formą kwadratową pewnej macierzy B w R3 jest np. wyrażenie: q (x1, x2, x3) = x21 + 5x1x2 − 17x1x3 +

√ 7x2x3 − 12x22 − 9x22.

Na podstawie znaku prawej strony wyrażenia (479) możemy wyznaczýc okréslonóśc ma- cierzy A dla wszystkich wektorów x 6= 0. I tak:

Definicja 9.8 Macierz A2×2 jest dodatnio okréslona, jeżeli xTAx > 0 ∀x ∈ R2\{0}

Definicja 9.9 Macierz A2×2 jest dodatnio półokréslona, jeżeli xTAx ≥ 0 ∀x ∈ R2\{0}

Definicja 9.10 Macierz A2×2 jest ujemnie okréslona, jeżeli xTAx < 0 ∀x ∈ R2\{0}

Definicja 9.11 MacierzA2×2 jest ujemnie półokréslona, jeżeli xTAx ≤ 0 ∀x ∈ R2\{0}.

O macierzach spełniających warunek xTAx = 0 ∀x ∈ R2\{0}mówimy również, że są nieokréslone. Powyższe definicje są prawdziwe dla macierzy symetrycznych dowolnego stopniaA ∈Rn×n.

Jeżeli którýs z elementów stojących na przekątnej głównej macierzy A

A =

⎡⎢⎢⎢⎣ a11

a22 . . . ann

⎤⎥⎥⎥⎦ jest ujemny lub równy zeru (aii ≤ 0), to macierz A nie jest macierzą dodatnio okrésloną. Podobnie, jeżeli którýs z elementów stojących na przekątnej gwnej macierzy A jest dodatni lub równy zeru (aii ≥ 0), to macierz A nie jest macierzą ujemnie okrésloną.

Wniosek 9.3 Jeżeli elementy stojące na przekątnej głównej macierzy A przyjmują różne znaki, to taka macierz jest macierzą nieokrésloną.

Twierdzenie 9.2 (Kryterium elementów głównych) Macierz An×n jest ujemnie okréslona, jeżeli wartósci głównych minorów zmieniają znak naprzemiennie, począwszy od D1 < 0, to znaczy

D1 < 0 D2 > 0 D3 < 0 D4 > 0 itd.

Uwaga 9.1 Okréslonósć formy kwadratowej jest równoważna okréslonósci macierzy.

Przykład 9.13 Sprawdzíc okréslonósć formy kwadratowej

q(x, y, z) = −4x2 − 2y2 − z2 + 4xy + 2xz

Rozwiązanie 9.13 Macierz odpowiadająca powyższej formie kwadratowej ma postać⎡⎣ −4 2 12 −2 0 1 0 −1

⎤⎦ 160

docsity.com

MATEMATYKA 9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA

Poszczególne wyznaczniki główne przyjmują wartósci

D1 = |a11| = |−4| = −4 < 0

D2 =

¯̄̄̄ −4 2 2 −2

¯̄̄̄ = 8− 4 = 4

D3 =

¯̄̄̄ ¯̄ −4 2 12 −2 0

1 0 −1

¯̄̄̄ ¯̄ = −2

A więc, macierz jest macierzą ujemnie okrésloną, czyli forma kwadratowa jest formą ujemnie okrésloną.

Wró́cmy do zapisu (479) xTAx =ax21 + 2bx1x2 + cx

2 2

Dodajmy i odejmijmy od prawej strony (479) wyrażenie b 2

a x22. W rezultacie otrzymamy

xTAx = ax21 + 2bx1x2 + cx 2 2 +

² ±

¯ °b

2

a x22 −

b2

a x22 =

= a

µ x21 +

2b

a x1x2 +

b2

a x22

¶ − b

2

a x22 + cx

2 2 =

= a

µ x1 +

b

a x2

¶2 + (ac− b2) a

x22

(480)

Ponieważ ¡ x1 +

b a x2 ¢2 i x22 są dodatnie, to okréslonóśc macierzyAwynika ze znaku elementu

a i znaku ułamka ( ac−b2) a

.

1. Jeżeli a > 0 i ac − b2 > 0, to forma kwadratowa (480), a tym samym macierz A jest dodatnio okréslona, np. macierz A =

∙ 2 −1 −1 1

¸ jest macierzą dodatnio okrésloną.

2. Jeżeli a > 0 i ac−b2 ≥ 0, to macierzA jest macierzą dodatnio półokrésloną, np. macierz A =

∙ 1 −1 −1 1

¸ jest macierzą dodatnio półokrésloną (w tym przypadku ac− b2 = 0).

3. Jeżeli a ≥ 0 i ac − b2 ≥ 0, to macierz A jest macierzą dodatnio półokrésloną, np. macierz A =

∙ 0 0 0 1

¸ jest macierzą dodatnio półokrésloną (w tym przypadku a = 0 i

ac− b2 = 0).

4. Jeżeli a ≤ 0 i ac − b2 ≤ 0, to macierz A jest macierzą ujemnie półokrésloną, np. A =∙ −1 −1 −1 −1

¸ .

5. Jeżeli a < 0 i ac − b2 > 0, to macierz A jest macierzą ujemnie okrésloną, np. A =∙ −2 −1 −1 −1

¸ .

6. Jeżeli a ≤ 0 i ac−b2 < 0, to macierzA jest macierzą nieokrésloną, np. A = ∙

0 −1 −1 1

¸ ,

B =

∙ −2 2 2 −1

¸ .

161

docsity.com

9. PRZESTRZEŃ METRYCZNA MATEMATYKA

Pa ra

bo la

H ip

er bo

laElip sa

Okrąg

H ip

er bo

la

Rysunek 40: Stożkowe.

Na zakończenie przedstawimy kilka wniosków.

Wniosek 9.4 Jeżeli macierz A nie jest macierzą ani ujemnie półokrésloną, ani dodatnio półokrésloną, to jest macierzą nieokrésloną.

Wniosek 9.5 Macierz jednostkowa I jest macierzą dodatnio okrésloną.

Wniosek 9.6 Każdej macierzy dowolnie okréslonej odpowiada forma kwadratowa o okréslonósci danej macierzy.

Jeżeli B = ∙ −2 2 2 −1

¸ i x = [x1, x2], to

xTBx =

∙ x1 x2

¸T ∙ −2 2 2 −1

¸ ∙ x1 x2

¸ =

= −2x21 + 4x1x2 − x22 = x22 − 2 (x1 − x2) 2

- forma kwadratowa jest nieokréslona (różnica kwadratów), bo macierz A jest macierzą nieokrésloną itd.

Jeżeli przyjmiemy, że macierzA = ∙

2 −1 −1 2

¸ , to 1

2 A =

∙ 1 −1

2

−1 2

1

¸ i forma kwadratowa

xT 1 2 Ax jest równa x21 − x1x2 + x22 = 12

£ x21 + (x1 − x2)

2 + x22 ¤ i jest zawsze dodatnia (suma

trzech kwadratów), z wyjątkiem x = 0. Ostatnią formę kwadratową możemy również zapisác w postaci sumy dwóch kwadratów: x21 − x1x2 + x22 =

¡ x1 − 12x2

¢2 + 3

4 x22. Formę kwadratową

xTAx = 2x21 − 2x1x2 + 2x22 przedstawimy w innej postaci, mianowicie xTAx = 3 ³ x1−x2√

2

´2 +

1 ³ x1+x2√

2

´2 . Łatwo sprawdzíc, że współczynniki 3 i 1 są wartósciami własnymi macierzy A, a

wektory h 1√ 2 ,− 1√

2

i i h 1√ 2 , 1√

2

i są wektorami własnymi tej macierzy.

Jeżeli macierz B = ∙

1 −1 −1 1

¸ , to odpowiadająca jej forma kwadratowa ma postác

xTBx = x21−x1x2+x22 = (x1 − x2) 2, która przyjmuje wartósci dodatnie lub zero. A więc w tym

przypadku macierz B jest macierzą dodatnio półokrésloną. Natomiast macierz symetryczna

C =

∙ 1 −3 −3 1

¸ generuje dodatnią lub ujemną formę kwadratową, zależną od współrzędnych

wektora x. Mianowicie: xTCx = x21 − 6x1x2 + x22 = (x1 − 3x2) 2 − 8x22 - różnica kwadratów.

Macierz C jest macierzą nieokrésloną.

162

docsity.com

MATEMATYKA 10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

10 Funkcje jednej zmiennej

10.1 Otoczenie i sąsiedztwo. Punkt skupienia. Definicja funkcji zmiennej x.

Niech c oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, a δ dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią

c ∈ R δ > 0, δ ∈ R (481)

Definicja 10.1 (Otoczenia) Przedział (c− δ; c+ δ) nazywamy otoczeniem obustronnym punktu c o promieniu δ i

oznaczamy U (c; δ) (482)

Otoczenia jednostronne definiujemy następująco:

• otoczenie prawostronne punktu c o promieniu δ: przedział

< c; c+ δ) (483)

• otoczenie lewostronne punktu c o promieniu δ: przedział

(c− δ; c > (484)

Definicja 10.2 (Sąsiedztwa) Przedział (c; c+ δ) nazywamy sąsiedztwem prawostronnym punktu c o promieniu δ. Przedział (c− δ; c) nazywamy sąsiedztwem lewostronnym punktu c o promieniu δ. Sumę sąsiedztw jednostronnych nazywamy sąsiedztwem punktu c o promieniu δ i ozna-

czamy S (c; δ)⇐⇒ (c− δ; c+ δ)− {c} (485)

z powyższych definicji wynikają następujące wnioski:

1. x ∈ U (c; δ)⇐⇒ |x− c| < δ

2. x ∈ S (c; δ)⇐⇒ 0 < |x− c| < δ

3. Punkt c należy do każdego ze swych otoczeń

4. Punkt c nie należy do żadnego ze swych sąsiedztw.

Przedział (δ; +∞) nazywamy otoczeniem (lub sąsiedztwem) plus nieskończonósci. Przedział (−∞;−δ) nazywamy otoczeniem minus nieskończonósci. Symbole +∞ i −∞ nie oznaczają ani liczb, ani punktów na osi liczbowej. Nazywamy je

liczbami nieskończonymi lub punktami niewłásciwymi. W odniesieniu do punktów niewłásciwych terminy otoczenia i sąsiedztwo są równoważne.

Niech X ⊂ R i Y ⊂ R29 29Zapis ten czytamy: zbiór X jest podzbiorem zbioru R.

163

docsity.com

10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Definicja 10.3 (Funkcji) Odwzorowanie f : X → Y nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej30.

Uwaga 10.1 Zwykle stosujemy oznaczenie y = f (x) dla x ∈ X.

Definicja 10.4 (Dziedziny i przeciwdziedziny)

1. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy Df .

2. Zbiór Rf = {y : y = f (x) ∧ x ∈ Df} nazywamy przeciwdziedziną funkcji f .

3. Jeżeli Rf 6= Y , to mówimy, że f odwzorowuje X w Y .

4. Jeżeli Rf = Y , to mówimy, że f odwzorowuje X na Y .

5. Jeżeli funkcja rzeczywista jednej zmiennej rzeczywistej jest okréslona za pomocą wzoru y = f (x), to zbiór {x : f (x) ∈ R} nazywamy dziedziną naturalną tej funkcji.

Definicja 10.5 (Wykresu) Zbiór {(x, y) : x ∈ Df ∧ y = f (x)} nazywamy wykresem funkcji f (x).

Przykład 10.1 Funkcja y = x2 jest nieujemna w każdym otoczeniu 0 oraz dodatnia w każdym sąsiedztwie 0 (rys. 41), a funkcja y = lnx jest ujemna w prawostronnym sąsiedztwie 0 oraz dodatnia w pewnym sąsiedztwie +∞ (rys. 42).

Rozwiązanie 10.1 Wystarczy przedyskutować rysunki 41 i 42.

0

1

2

3

4

5

-2 -1 1 2

),0( δS ),0( δU

Rysunek 41: Otoczenie i sąsiedztwo punktu 0.

-8

-6

-4

-2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

xln

Rysunek 42: Prawostronne otoczenie i sąsiedztwo punktu 0.

Definicja 10.6 (Punktu skupienia) Punkt c nazywamy punktem skupienia zbioru D ⊂ R, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu

c znajduje się przynajmniej jeden punkt zbioru D. Punkt c jest więc punktem skupienia zbioru D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg punktów

(x1, x2, . . .) takich, że dla wszystkich n ∈ N

xn ∈ D , xn 6= c , lim n→∞ xn = c (486)

Wniosek 10.1 Liczba 1 jest punktem skupienia zbioru liczb n n+1 , gdzie n ∈ N .

30Jest to odwzorowanie f zbioru X w zbiór Y.

164

docsity.com

MATEMATYKA 10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

10.2 Rodzaje funkcji

W punkcie tym omówimy podstawowe typy funkcji zmiennej x.

10.2.1 Okréslanie funkcji jednej zmiennej

Funkcje jednej zmiennej mogą býc okréslane:

1. w postaci jawnej, wówczas y jest wyrażone przez x za pomocą wzoru y = f(x);

2. w postaci uwikłanej, gdy x i y są w relacji F (x, y) = 0, np. y2 − x2 − √ 2 = 0 lub

xey − yex − 2 = 0;

3. w postaci parametrycznej, gdy wartósci x i y są wyrażone przez trzecią zmienną t (parametr) za pomocą równań x = ϕ(t), y = ψ(t), np. x = r sin t, y = r cos t.

10.2.2 Funkcje wzajemnie odwrotne

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

Rysunek 43: Funkcje y = ex, y = lnx, y = sinx i y = arcsinx.

Dwie funkcje y = f(x) i x = ϕ(y) nazywamy wzajemnie odwrotnymi , jeżeli każda para wartósci a, b spełniająca warunek b = f(a) spełnia też warunek a = ϕ(b) i odwrotnie: każda para wartósci b, a spełniająca warunek a = ϕ(b) spełnia też warunek b = f(a).

Uwaga 10.2 Aby funkcja y = f(x) była odwracalna, musi być jednoznaczna (tj. różnym wartósciom y odpowiadają różne wartósci x) i jednokrotna (tzn. różnym wartósciom x odpowiadają różne wartósci y). Funkcja

odwrotna jest również jednoznaczna i jednokrotna. Funkcję odwrotną zapisujemy jako funkcję zmiennej x; zamiast x = ϕ(y) piszemy y = ϕ(x). Wykresy funkcji y = f(x) i y = ϕ(x) są symetryczne względem prostej y = x.

Poniżej przedstawione są przykłady funkcji odwrotnych. Zostały one zapisane zgodnie z regułą przytoczoną w powyższej uwadze: w drugiej kolumnie x = ϕ(y), w następnej y = ϕ(x).

y = x2 x = √ y y =

√ x

y = ex x = ln y y = lnx

y = x+ 1

2− x x = 2y − 1 y + 1

y = 2x− 1 x+ 1

10.2.3 Funkcje elementarne

Definicja 10.7 Funkcje elementarne są to funkcje okréslone wzorami zawierającymi skończoną liczbę operacji algebraicznych wykonanych na zmiennej niezależnej, na funkcji oraz na pewnych stałych.

165

docsity.com

10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

Funkcje elementarne dzielimy na funkcje algebraiczne i funkcje przestępne. W funkcjach algebraicznych zmienna x i funkcja y są związane równaniem algebraicznym:X

aiy k = 0

w której współczynniki ai są wielomianami zmiennej x, np. (x−1)y2+xy−x2−1 = 0. Jeżeli równanie takie rozwiążemy względem y, to ẃsród rozwiązań znajdą się funkcje wymienione poniżej.

1. Funkcja całkowita wymierna: y = a0xn+ a1xn−1+ . . .+ an−1x+ an; w szczególnósci może to býc funkcja stała y = a, liniowa y = ax+b, funkcja kwadratowa y = ax2+bx+c (są to funkcje potęgowe).

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 1 2 3 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2xy = 2xy =

4xy =

4xy =

6xy =

c

6xy =

0xy =

0xy =

Rysunek 44: Funkcje potęgowe z wykładnikiem parzystym.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 1 2 3

1xy =

1xy =

3xy = 3xy =7xy =

7xy =

5xy =

5xy =

Rysunek 45: Funkcje potęgowe z wykładnikiem nieparzystym.

2. Funkcja wymierna ułamkowa, czyli iloraz dwóch wielomanów

y = a0x

n + a1x n−1 + . . .+ an−1x+ an

b0xn + b1xn−1 + . . .+ bn−1x+ bn

przy czym licznik nie dzieli się przez mianownik. Na rysunku 47 przedstawiamy przykła- dowe wykresy funkcji y, z mianownikiem w postaci funkcji kwadratowej. W szczególnósci może to býc funkcja homograficzna y = ax+b

cx+d , w której c 6= 0 oraz ad− bc 6= 0.

166

docsity.com

MATEMATYKA 10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2 -1 1 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.6 0.8 1 1.2 1.4

1−= xy 1−= xy

1−= xy 2−= xy

2−= xy

3−= xy

3−= xy

4−= xy 4−= xy 4−= xy

Rysunek 46: Funkcje potęgowe z wykładnikiem ujemnym.

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4x -5

0

5

10

15

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10x -40

-20

20

40

-20 -10 10 20

Rysunek 47: Funkcje wymierne ułamkowe: ∆mianownika < 0. ∆mianownika = 0. ∆mianownika > 0.

3. Funkcja niewymierna, czyli taka, w której występuje pierwiastkowanie zmiennej nieza- leżnej, np. y =

√ x+ 8, y = 3

√ x2 + 1.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1

0

1

2

-4 -2 2 4

Rysunek 48: Funkcje pierwiastkowe: y = x1/2, y = x3/2 i y = x1/3.

Definicja 10.8 Funkcją przestępną jest funkcja, której nie można wyrazić równaniem P aiy k =

0, gdzie ai są wielomianami zmiennej x.

Najprostszymi funkcjami przestępnymi są:

1. Funkcje wykładnicze: y = abx+c, y = ex, y = 3x2−3x+5

2. Funkcje logarytmiczne: y = loga ϕ(x), y = ln(2x+ 1), y = log3 (x2 − 2x) (patrz rys. 51).

3. Funkcje trygonometryczne: y = sin(2x+ 1), y = cosx, y = tan x 2 (patrz rys. 53)31.

31Funkcje tangens i cotangens często zapisywane są jako tg i ctg. W wykładzie będziemy posługiwać się zapisem: tan = tg i cot = ctg.

167

docsity.com

10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

0

200

400

600

800

-1 1 2 3 0

200

400

600

800

-1 1 2 3 4 5

Rysunek 49: Funkcje wykładnicze: y = abx+c i y = 3x 2−3x+5.

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 6 7 8

1, >= aay x 1, <= aay x

( )x5.1x2xex3x10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8

( )x10/9

( )x10/1

( )x5.1/1

( )x2/1 ( )xe/1

Rysunek 50: Funkcje wykładnicze z a > 1 i 0 < a < 1.

4. Funkcje cyklometryczne: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arccotx (czytamy arkus sinus, kosinus, tangens, kotangens x). Są to funkcje odwrotne względem funkcji trygonometrycznych, przy czym uwzględnia się tylko jeden półokres funkcji (patrz Uwaga 10.2, str. 165).

-1

1

2

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y = arcsinx

y = arccosx

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4

y = arctanx

Rysunek 54: Funkcje cyklometryczne: y = arcsinx, y = arccosx oraz y = arctanx.

Funkcje cyklometryczne często opisujemy następująco: arcsinx = sin−1 x, arccosx = cos−1 x, arctanx = tan−1 x, arccotx = cot−1 x. Zapisu tego nie wolno utożsamiác z operacją dzielenia: 1 podzielone przez funkcję, tzn. sin−1 x 6= 1

sinx .

y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y |y| ≤ π/2 y = arccosx ⇐⇒ x = cos y 0 ≤ y ≤ π y = arctanx ⇐⇒ x = tan y |y| < π/2 y = arccotx ⇐⇒ x = cot y 0 < y < π

168

docsity.com

MATEMATYKA 10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

-10

-8

-6

-4

-2

0

2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

-2 -1 1 2 3 4

Rysunek 51: Funkcje logarytmiczne: y = ln (2x+ 1) i y = log3 ¡ x2 − 2x

¢ .

-3

-2

-1

1

2

3

1 2 3 4 5

xxy e lnlog ==

xy 10log=

xy 2log=

xy 10/1log=

xy 2/1log=

Rysunek 52: Funkcje logarytmiczne z różnymi podstawami.

5. Funkcje hiperboliczne: y = sinhx, y = coshx, y = tanhx, y = cothx (czytamy sinus hiperboliczny x, kosinus, tangens i kotangens hiperboliczny x). Są to funkcje pola okréslane na hiperboli równoosiowej o równaniu x2−y2 = 1 (następne wykłady). Funkcje te można również opisác następująco:

y = ex − e−x

2 = sinhx y =

ex + e−x

2 = coshx

y = ex − e−x ex + e−x

= tanhx cothx = 1

tanhx = ex + e−x

ex − e−x

Funkcje sinhx, tanhx, cothx są dobrymi przykładami funkcji nieparzystych (patrz podpunkt 10.2.5, str. 172). Funkcję coshx często nazywamy linią łańcuchową. Jest to funkcja parzysta. Jej wykres leży powyżej wykresu paraboli y = 1 + 0.5x2.

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y = sinhx

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y = coshx

y = 1 + 0.5x2

Rysunek 55: Funkcje hiperboliczne: y = sinhx i y = coshx.

169

docsity.com

10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 1 2 3

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4

y = sinxy = cosx

Rysunek 53: Funkcje trygonometryczne: y = sin (2x+ 1), y = tan (x/2) oraz y = sinx i y = cosx.

-1

-0.5

0.5

1

-3 -2 -1 1 2 3

y = tanhx

-6

-4

-2

2

4

6

-2 -1 1 2

y = cothx

Rysunek 56: Funkcje hiperboliczne: y = tanhx i y = cothx.

Do podstawowych tożsamósci zachodzącychmiędzy funkcjami hiperbolicznymi zaliczamy

cosh2 x− sinh2 x = µ ex + e−x

2

¶2 − µ ex − e−x

2

¶2 = 1

sinhx

coshx = tanhx

sinh 2x = 2 sinhx coshx cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x

6. Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych: arsinhx, arcoshx, artanhx, arcothx (czytamy area sinus, kosinus, tangens, kotangens x). Wymienione funkcje można również opisác następująco:

arsinhx = ln ¡ x+ √ x2 + 1

¢ arcoshx = ln

¡ x± √ x2 − 1

¢ , x ≥ 1

artanhx = 1

2 ln 1 + x

1− x, |x| < 1 arcothx = 1

2 ln x+ 1

x− 1 , |x| > 1

Funkcje area często opisujemy następująco: arsinhx = sinh−1 x, arcoshx = cosh−1 x, artanhx = tanh−1 x, arcothx = coth−1 x. Zapisu tego nie wolno utożsamiác z operacją dzielenia: 1 podzielone przez funkcję, tzn. sinh−1 x 6= 1

sinhx .

10.2.4 Funkcje nieelementarne

Funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi nazywamy funkcjami nieelementarnymi . Funkcje takie okréslamy następująco.

1. Przy pomocy kilku wzorów dla różnych przedziałów, np.

y =

⎧⎨⎩ −1 dla x < 00 dla x = 0 1 dla x > 0

170

docsity.com

MATEMATYKA 10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

-3

-2

-1

1

2

3

-4 -2 2 4

y = arsinhx

-2

-1

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

y = arcoshx

Rysunek 57: Funkcje (odwrotne): y = sinh−1 x i y = cosh−1 x.

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -0.5 0.5 1

y = artanhx

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3

y = arcothx

Rysunek 58: Funkcje (odwrotne): y = tanh−1 x i y = coth−1 x.

2. Przy pomocy przej́scia granicznego, np.

y = lim n→∞

1

1 + x4n

3. Przy pomocy równań różniczkowych, których rozwiązań nie można wyrazíc w skończonej postaci.

4. Przy pomocy równań funkcyjnych.

Prostymi przykładami funkcji nieelementarnych są:

1. Czę́sć całkowita liczby x, zwana entier x: funkcja y jest największą liczbą całkowitą, która nie przewyższa zmiennej x. Oznaczamy ją y = E(x) lub y = [x] (rys. 485).

2. Wartósć bezwzględna lub moduł liczby x : y = ½ −x dla x < 0 x dla x ≥ 0 (rys. 59).

3. Znak liczby x zwany signum x : y =

⎧⎨⎩ −1 dla x < 00 dla x = 0 1 dla x > 0

. Funkcję tę oznaczamy y =

sgnx (rys. 59).

171

docsity.com

10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ MATEMATYKA

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4

0

1

2

3

4

-4 -2 2 4

Rysunek 59: Funkcje nieelementarne: y = E(x), y = |x| i y = sign x.

10.2.5 Funkcje parzyste, nieparzyste i okresowe

1. Funkcje parzyste. Mówimy, że funkcja f(x) jest funkcją parzystą, jeżeli dla każdego x z przedziału oznaczonósci funkcji zachodzi równóśc

f(−x) = f(x)

Funkcją parzystą jest: y = cosx; y = x4 − 5x2 − 1

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4

y = cosx

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y = sinhx

-1

-0.5

0

0.5

1

2 4 6 8 10 12 14 16

T

xx

( ) ( )xfxf =−

( ) ( )xfxf −=−

x x

Rysunek 60: Funkcja parzysta y = cosx, funkcja nieparzysta y = sinhx i funkcja okresowa y = cosx.

Z poznanych wczésniej funkcji funkcją parzystą jest funkcja y = coshx, bowiem

y(−x) = e −x + ex

2 = ex + e−x

2 = y(x)

2. Funkcje nieparzyste. Mówimy, że funkcja f(x) jest funkcją nieparzystą, jeżeli dla każdego x z przedziału oznaczonósci funkcji zachodzi równóśc

f(−x) = −f(x)

Funkcjami nieparzystymi są np. funkcje: y = sinx; y = x3. Również funkcja y = sinhx jest funkcją nieparzystą, bowiem

y(−x) = e −x − ex 2

= −e x − e−x 2

= −y(x)

3. Funkcje okresowe. Mówimy, że funkcja f(x) jest funkcją okresową, jeżeli dla każdego x z przedziału oznaczonósci funkcji zachodzi równóśc

f(x+ T ) = f(x)

Liczbę T nazywamy okresem funkcji. Funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne: sin(x+ 2π) = sinx; cos(x+ 2π) = cosx.

172

docsity.com

MATEMATYKA 10. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

4. Funkcje monotoniczne. Jeżeli funkcja f(x) ma na przedziale (a, b) tę własnóśc, że dla każdych dwóch wartósci x1, x2 spełniającej warunek a < x1 < x2 < b zachodzi nierównóśc f(x1) ≤ f(x2), to taką funkcję nazywamy monotonicznie rosnącą na przedziale (a, b). Jeżeli przy spełnieniu warunku a < x1 < x2 < b zachodzi nierównóśc f(x1) ≥ f(x2), to funkcję tę nazywamy monotonicznie malejącą na przedziale (a, b)

0

5

10

15

20

25

30

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Rysunek 61: Funkcja malejąca i rosnąca.

5. Funkcje ograniczone. Funkcję nazywamy ograniczoną od góry, jeżeli jej wartósci nie przewyższają pewnej liczby M i ograniczoną od dołu, jeżeli jej wartósci nie są mniejsze od pewnej liczby m. Funkcję ograniczoną od góry i od dołu nazywamy funkcją ograniczoną.

173

docsity.com

11. GRANICA FUNKCJI MATEMATYKA

11 Granica funkcji

Wypowiadając definicję granicy funkcji będziemy stosowác za [4] następujące oznaczenia: f− funkcja jednej zmiennej; D− dziedzina funkcji; x− argument; c, g− liczby (skończone). Rozróżniamy dziewię́c przypadków, których numerację przedstawia tabela

f (x) −→ g f (x) −→ +∞ f (x) −→ −∞ x −→ c 1 2 3 x −→∞ 4 6 7 x −→ −∞ 5 8 9

Tablica 1: Typy granic funkcji

Przypadkom tym nadajemy nazwy: 1− granica skończona w skończonósci; 2, 3− granica nieskończona w skończonósci; 4, 5− granica skończona w nieskończonósci; 6, 7, 8, 9− granica nieskończona w nieskończonósci. Zamiast granica skończona mówimy też granica włásciwa; zamiast granica nieskończona - granica niewłásciwa. Rozważając granicę funkcji dla

1. x −→ c

2. x −→ +∞

3. x −→ −∞

Zakładamy, że

1. c jest punktem skupienia dziedziny funkcji

2. +∞ jest punktem skupienia dziedziny funkcji

3. −∞ jest punktem skupienia dziedziny funkcji.

Podamy dwie definicje granicy - według Heinego i Cauchy’ego.

Definicja 11.1 (Granicy funkcji według Heinego) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

ciągu (xn) o wyrazach xn ∈ S, zbieżnego do x0, ciąg wartósci funkcji (f (xn)) jest zbieżny do g, co zapisujemy

lim x→x0

f (x) = g

lub (487)

f (x) −→ x→x0

g ⇐⇒ ∀ (xn) ∀n ∈ N , xn ∈ S lim n→∞ xn = x0 =⇒ lim

n→∞ f (xn) = g

Definicja 11.2 (Granicy funkcji według Cauchy’ego) Liczbę g nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej

liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego argumentu x spełniającego nierównósć 0 < |x− x0| < δ zachodzi nierównósć |f (x)− g| < ε, co zapisujemy

lim x→x0

f (x) = g ⇐⇒ (488)

⇐⇒ (∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x (0 < |x− x0| < δ)) =⇒ (|f (x)− g| < ε)

174

docsity.com

MATEMATYKA 11. GRANICA FUNKCJI

-2 0 2 4 6 8 10 0

2

4

6

8

10

12

y=x

( ) 0lim =−∞→ xxfx

( ) 2 1 x

xxfy +==

∞ →

Rysunek 62: Granica funkcji w nieskończonósci oraz asymptota ukósna funkcji.

Uwaga 11.1 Definicja Heinego jest równoważna Definicji Cauchy’ego. Granicę g ∈ R nazy- wamy granicą włásciwą.

Twierdzenie 11.1 Jeżeli

lim x→x0

f (x) = g i lim x→x0

h (x) = p, to

lim x→x0

[f (x)± h (x)] = g ± p

(489)

lim x→x0

[f (x) · h (x)] = g · p

oraz przy dodatkowym założeniu, że p 6= 0

lim x→x0

f (x)

h (x) = g

p (490)

Twierdzenie 11.2 (O granicy funkcji złożonej) Jeżeli lim

x→x0 f (x) = y0 i lim

y→y0 h (y) = g oraz f (x) 6= y0 dla każdego x z pewnego sąsiedztwa

punktu x0, to lim x→x0

h (f (x)) = lim y→y0 h (y) = g (491)

Definicja 11.3 (Granicy niewłásciwej w punkcie według Heinego)

1. Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie x0 granicę niewłásciwą +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn ∈ S i zbieżnego do x0, ciąg (f (xn)) jest rozbieżny do +∞

175

docsity.com

11. GRANICA FUNKCJI MATEMATYKA

lim x→x0

f (x) = +∞ lub f (x) −→ x→x0

+∞ (492)

2. Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie x0 granicę niewłásciwą −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn ∈ S i zbieżnego do x0, ciąg (f (xn)) jest rozbieżny do −∞

lim x→x0

f (x) = −∞ lub f (x) −→ x→x0

−∞ (493)

Definicja 11.4 (Granicy niewłásciwej w punkcie według Cauchy’ego)

1. Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie x0 granicę niewłásciwą +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego argumentu x spełniającego nierównósć 0 < |x− x0| < δ zachodzi nierównósć f (x) > M

lim x→x0

f (x) = +∞⇐⇒ ∀M ∃δ > 0 ∀x (0 < |x− x0| < δ) =⇒ (f (x) > M) (494)

2. Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie x0 granicę niewłásciwą −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego argumentu x spełniającego nierównósć 0 < |x− x0| < δ zachodzi nierównósć f (x) < M

lim x→x0

f (x) = −∞⇐⇒ ∀M ∃δ > 0 ∀x (0 < |x− x0| < δ) =⇒ (f (x) < M) (495)

Uwaga 11.2 Jeżeli w okrésleniu granicy (włásciwej lub niewłásciwej) funkcji f (x) w punkcie x0 zastąpimy sąsiedztwo S tego punktu przez sąsiedztwo lewostronne (x0 − δ;x0) lub prawo- stronne (x;x0 + δ), to otrzymamy okréslenie tzw. granicy jednostronnej

• lewostronnej lim x→x0−

f (x)

• prawostronnej lim x→x0+

f (x).

Twierdzenie 11.3 Funkcja f (x) ma granicę (włásciwą lub niewłásciwą) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

lim x→x0−

f (x) = lim x→x0+

f (x) (496)

Niech funkcja f (x) jest okréslona na przedziale (a;∞).

Definicja 11.5 (Granicy według Cauchy’ego w +∞) Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie niewłásciwym +∞ granicę g wtedy i tylko wtedy,

gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ taka, że dla każdego argumentu x > δ zachodzi nierównósć: |f (x)− g| < ε, co zapisujemy

lim x→+∞

f (x) = g ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ ∀x > δ =⇒ |f (x)− g| < ε (497)

176

docsity.com

MATEMATYKA 11. GRANICA FUNKCJI

Definicja 11.6 (Granicy według Heinego w +∞) Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie niewłásciwym +∞ granicę g wtedy i tylko wtedy,

gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn ∈ (a;∞), rozbieżnego do +∞, ciąg (f (xn)) jest zbieżny do g, co zapisujemy

lim x→+∞

f (x) = g lub f(x) −→ x→+∞

g (498)

Niech funkcja f (x) jest okréslona na przedziale (−∞; a).

Definicja 11.7 (Granicy według Heinego w −∞) Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie niewłásciwym −∞ granicę g wtedy i tylko wtedy,

gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn ∈ (−∞; a), rozbieżnego do −∞, ciąg (f (xn)) jest zbieżny do g, co zapisujemy

lim x→−∞

f (x) = g lub f(x) −→ x→−∞

g (499)

Definicja 11.8 (Granicy według Cauchy’ego w −∞) Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie niewłásciwym −∞ granicę g wtedy i tylko wtedy,

gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ taka, że dla każdego argumentu x < δ zachodzi nierównósć |f (x)− g| < ε, co zapisujemy

lim x→−∞

f (x) = g ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ ∀x < δ =⇒ |f (x)− g| < ε (500)

Uwaga 11.3 Podobnie okréslamy granice niewłásciwe −∞ oraz +∞ funkcji w punktach nie- włásciwych −∞ i +∞.

Przykład 11.1 Obliczyć lim x→0 f (x), jeżeli

f (x) = x4 + 5x3 + 11x2 + 16x+ 12

x3 + 16x2 + 52x+ 48

Rozwiązanie 11.1 Podstawiamy za x wartósć 0. W efekcie otrzymujemy

lim x→0

x4 + 5x3 + 11x2 + 16x+ 12

x3 + 16x2 + 52x+ 48 = 12

48 = 1

4

Odp. Wartósć granicy = 1/4.

Przykład 11.2 Obliczyć lim x→−2

f (x), gdy f (x) jest funkcją z Przykładu 11.1.

Rozwiązanie 11.2 lim x→−2

f (x) = 0 0 . Sprawdzamy, czy licznik i mianownik f (x) możemy

podzielíc przez (x+ 2) (x 6= −2). Okazuje się, że możemy, zatem

lim x→−2

x4 + 5x3 + 11x2 + 16x+ 12

x3 + 16x2 + 52x+ 48 = lim x→−2

(x+ 2) (x3 + 3x2 + 5x+ 6)

(x+ 2) (x2 + 14x+ 24) =

= lim x→−2

x3 + 3x2 + 5x+ 6

x2 + 14x+ 24 = 0

0

Ponownie sprawdzamy, czy możemy wydzielíc z licznika i mianownika czynnik (x+ 2) (x 6= −2). Widzimy, że jest to możliwe, zatem

lim x→−2

x3 + 3x2 + 5x+ 6

x2 + 14x+ 24 = lim x→−2

(x+ 2) (x2 + x+ 3)

(x+ 2) (x+ 12) = lim x→−2

x2 + x+ 3

x+ 12 = 1

2

Odp. Granica jest równa 1/2.

177

docsity.com

11. GRANICA FUNKCJI MATEMATYKA

Uwaga 11.4 Przy rozwiązywaniu zadań można korzystać z następujących granic

lim x→a

sinx = sin a (501)

lim x→0

sinx

x = 1 (502)

lim x→0 ax = 1, a > 0 (503)

lim x→0

ax − 1 x

= ln a, a > 0 (504)

lim x→0

ln (1 + x)

x = 1 (505)

lim x→0

ln (1 +mx)

x = m (506)

lim x→0

(1 + x)m − 1 x

= m (507)

Definicja 11.9 (Liczby e) Liczbę e okréslamy wzorem:

e = lim |x|→∞

µ 1 +

1

x

¶x (508)

11.1 Warunki istnienia granicy. Rachunek granic niewłásciwych

Na wstępie przytoczymy podstawowe twierdzenia.

Twierdzenie 11.4 (O granicy lewostronnej) Jeżeli funkcja f (x) jest rosnąca i ograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie S

punktu x0, to istnieje skończona granica lewostronna funkcji w punkcie x0

lim x→x0−

f (x) = g (509)

i granica ta jest większa od wszystkich wartósci, które f (x) przyjmuje w S.

Twierdzenie 11.5 (O granicy prawostronnej) Jeżeli funkcja f (x) jest rosnąca i ograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie S

punktu x0, to istnieje skończona granica prawostronna funkcji w punkcie x0

lim x→x0+

f (x) = g (510)

i granica ta jest mniejsza od wartósci, które f (x) przyjmuje dla dowolnego x ∈ S.

Twierdzenie 11.6 (O trzech funkcjach) Załóżmy, że funkcja f (x) oraz dwie funkcje g (x) i G (x) są okréslone w pewnym sąsiedztwie

S punktu x0. Jeżeli dla każdego x ∈ S jest

g (x) ≤ f (x) ≤ G (x)

i jeżeli lim x→x0

g (x) = lim x→x0 G (x) = l, to lim

x→x0 f (x) = l.

178

docsity.com

MATEMATYKA 11. GRANICA FUNKCJI

Uwaga 11.5 Analogiczne twierdzenie można sformułować dla granic jednostronnych, dla gra- nic w nieskończonósci oraz dla granic niewłásciwych.

Twierdzenie 11.7 (O warunku nieistnienia granicy skończonej) Jeżeli funkcja f (x) okréslona w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 nie ma granicy skończonej

w punkcie x0, to istnieje ciąg (xn) , xn ∈ S, xn → x0 taki, że odpowiadający mu ciąg wartósci funkcji (f (xn)) jest rozbieżny.

Twierdzenie 11.8 Jeżeli funkcja f jest okréslona w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 i dla pewnego ciągu (xn) , xn ∈ S, xn → x0, ciąg (f (xn)) jest rozbieżny, to funkcja f (x) nie ma w punkcie x0 granicy skończonej.

Twierdzenie 11.9 (O warunkach Cauchy’ego istnienia granicy skończonej) Niech x0 oznacza liczbę skończoną albo +∞ albo −∞ i załóżmy, że f (x) jest funkcją

okrésloną w pewnym sąsiedztwie punktu x0. Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia granicy skończonej lim

x→x0 f (x) jest, aby dla ∀ε > 0 ∃S (x0; δ) takie, że dla każdych dwóch

punktów x 0 , x00 należących do S (x0, δ) zachodzi nierównósć

|f (x0)− f (x00)| < ε (511)

Twierdzenie 11.10 Jeżeli funkcja f (x) ma w punkcie x0 granicę skończoną, to istnieje sąsiedztwo punktu x0, w którym funkcja f (x) jest ograniczona.

Uwaga 11.6 Z istnienia granicy skończonej wynika ograniczonósć funkcji. Natomiast z ogra- niczonósci funkcji nie wynika istnienie granicy. Na przykład funkcja f (x) = sin 1

x jest ograni-

czona, ale lim x→x0

sin 1 x nie istnieje (dla x0 = 0). Podobnie funkcja f (x) = cos 1x jest ograniczona,

ale limx→0 cos 1x nie istnieje.

Twierdzenie 11.11 (O granicach funkcji)

Jeżeli lim x→x0

f (x) = 0+, to lim x→x0

1

f (x) = +∞

Jeżeli lim x→x0

f (x) = 0−, to lim x→x0

1

f (x) = −∞

Jeżeli lim x→x0

f (x) = 0 i f (x) 6= 0 dla x ∈ S (x0; δ), to lim x→x0

1

|f (x)| = +∞

Jeżeli lim x→x0

f (x) = +∞ albo lim x→x0

f (x) = −∞, to lim x→x0

1

|f (x)| = 0 Jeżeli lim

x→x0 f (x) = +∞ i lim

x→x0 g (x) = G > 0, to lim

x→x0 f (x) · g (x) = +∞

Jeżeli lim x→x0

f (x) = +∞ i lim x→x0 g (x) = G < 0, to lim

x→x0 f (x) · g (x) = −∞

Jeżeli lim x→x0 f (x) = +∞ i funkcja g(x) jest ograniczona w sąsiedztwie punktu x0, to

lim x→x0

f (x) g (x) = +∞ Jeżeli lim

x→x0 f (x) = +∞ i lim

x→x0 g (x) = +∞, to lim

x→x0 [f (x) + g (x)] = +∞

Jeżeli lim x→x0

f (x) = +∞ i lim x→x0

g (x) = 0, to granicę lim x→x0

f (x) · g (x) można wyznaczyć po szczegółowej analizie funkcji f (x) i g (x)32. Jeżeli lim

x→x0 f (x) = +∞ i lim

x→x0 g (x) = +∞, to granicę lim

x→x0 [f (x)− g (x)] można wyznaczyć

po szczegółowej analizie funkcji f (x) i g(x)33. 32Czytamy: nieskończonósć razy zero. 33Czytamy: nieskończonósć minus nieskończonósć.

179

docsity.com

11. GRANICA FUNKCJI MATEMATYKA

11.2 Symbole nieoznaczone

Dla funkcji argumentu rzeczywistego okréslamy następujące symbole nieoznaczone

∞ · 0; ∞−∞; 0 0 ; ∞ ∞ ; ∞

0; 1∞; 00

(z niektórymi z nich spotkamy się przy ciągach liczbowych).

Definicja 11.10 Jeżeli funkcja u (x) okréslona w sąsiedztwie S (x; δ) jest zapisana w postaci ilorazu u (x) = f(x)

g(x) , przy czym lim

x→x0 |f (x)| = ∞, lim

x→x0 |g (x)| = ∞, to mówimy, że u (x) jest

dla x dążącego do x0 funkcją typu ∞∞ lub nieoznaczonóscią typu ∞ ∞ .

Definicja 11.11 Jeżeli funkcja u (x) okréslona w sąsiedztwie S (x; δ) jest zapisana w postaci ilorazu u (x) = f(x)

g(x) , przy czym lim

x→x0 f (x) = 0, lim

x→x0 g (x) = 0, to mówimy, że u (x) jest dla x

dążącego do x0 funkcją typu 00 lub nieoznaczonóscią typu 0 0 .

Definicja 11.12 Jeżeli funkcja u (x) okréslona w sąsiedztwie S (x; δ) jest zapisana w postaci iloczynu u (x) = f (x) · g (x), przy czym lim

x→x0 |f (x)| = +∞, lim

x→x0 g (x) = 0, to mówimy, że

u (x) jest dla x dążącego do x0 funkcją typu ∞ · 0 lub nieoznaczonóscią typu ∞ · 0.

Przekształcając funkcję u(x) do postaci u(x) = f(x)/1/g(x) lub u(x) = g(x)/1/f(x), sprowadzamy to zagadnienie do przypadku nieoznaczonósci typu ∞∞ lub

0 0 .

Definicja 11.13 Jeżeli funkcja u (x) okréslona w sąsiedztwie S (x; δ) jest dana w postaci różnicy u (x) = f(x) − g(x), przy czym lim

x→x0 |f (x)| = ∞, lim

x→x0 |g (x)| = ∞, to mówimy,

że u (x) jest dla x dążącego do x0 funkcją typu ∞−∞ lub nieoznaczonóscią typu ∞−∞.

Przekształcając różnicę f(x)− g(x) = ³

1 f(x) − 1 g(x)

´ : 1 f(x)g(x)

, nieoznaczonóśc typu f(x)− g(x) sprowadzamy do postaci ∞∞ lub

0 0 .

Definicja 11.14 Jeżeli u(x) = f(x)g(x) i lim x→x0

f (x) = 0, lim x→x0

g (x) = 0 (nieoznaczonósć typu

00), to w pierwszej kolejnósci znajdujemy granicę A funkcji lnu(x) = g(x)·ln f(x), prowadzącej do nieoznaczonósci typu 0 ·∞, a następnie delogarytmujemy ją i obliczamy granicę eA.

W przypadku nieoznaczonósci typu 1∞ i ∞0 postępujemy analogicznie.

Przykład 11.3 Obliczyć granice funkcji

a) lim x→∞

(2x+ 1) sin 1

x b) lim

x→∞

¡√ 1 + x−√x

¢ c) lim

x→c

x− c x2 − c2 d) limx→∞

2x+ 1

x

e) lim x→∞

µ 1 +

1

x

¶x f) lim

x→∞

ex (2 + sinx)

ex

180

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
Zobacz i pobierz cały dokument.
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome